8. Kapitel

Trägheitsmomente von Körpern

Von der Punktmasse zum Körper

Betrachten wir zunächst wie sich Momente, die von mehreren Kräften herrühren, errechnen lassen (): Zwei Gewichte G₁ und G₂ greifen in unterschiedlichen Abständen r₁ und r₂ an einem einem gemeinsamen Balken an. Der Balken sei starr und masselos - so hat er keinen Einfluss auf das Experiment. Wie groß muss nun die Kraft F, die im Abstand r angreift, sein, damit die Anordnung im Gleichgewicht ist? Ein einfaches Gedankenexperiment bringt uns zu dem Schluss, dass hier die Summe der einzelnen Drehmomente kompensiert werden muss:

()

Denn würden die beiden Gewichte nacheinander angebracht werden, müsste die Kraft F jeweils das Drehmoment des gerade wirksamen Gewichtes kompensieren. Da sich aber Kräfte in gleicher Wirkrichtung addieren, so müsste die insgesamt aufzubringende Kraft aus der Summe der beiden Teilkräft gebildet werden. Daher folgt:

Abb. Zwei Punktmassen - ein Drehmoment?

()

Gilt diese Aussage auch für die Trägheitsmomente? Addieren sich Trägheitsmomente wie Teilmassen in translatorischen Systemen? Dazu betrachten wir die .

Zur Beatwortung dieser Frage bemühen wir die kinetische Energiebillanz:

()

Die kinetische Gesamtenergie W_kin setzt sich aus der Summe der kinetischen Energien W_{kin ₁} und W_{kin ₂} der Massen m₁ und m₂ zusammen. Daher:

()

Abb. Drehmoment und Trägheitsmoment

Die beiden Teilgeschwindigkeiten v₁ und v_s sind nicht unabhängig voneinander! Vielmehr ergeben sie sich aus dem Produkt der gemeinsamen Winkelgeschwindigkeit ω und dem jeweiligen Abstand vom Drehpunkt r₁ bzw. r₂:

()

Werden jetzt die Quadrate aufgelöst und werden die Produkte m·r² gemäß durch die jeweiligen Trägheitsmomente J₁ bzw. J₂ ersetzt, so erhalten wir mit

()

den Beweis, dass auch Trägheitsmomente von Massen additiv zusammengesetzt werden können, vorausgesetzt, sie sind an einem gemeinsamen Drehpunkt befestigt.

So wie die Addition von verteilten Massen für die translatorische Bewegung, gilt auch für die rotatorische Bewegung die Addition von Trägheitsmomenten, wenn sie auf einen gemeinsamen Drehpunkt bezogen sind.

Berechnung von Trägheitsmomenten beliebig geformter Körper

Wichtige Körper - Eine Einführung

Die Berechnung der Trägheitsmomente von Körpern erfolgt analog zu , indem der Körper in unendlich viele Teilmassen dm zerlegt wird. Der Einfachheit halber betrachten wir zunächst einen Scheiben förmigen Körper. Generell gilt eine solche Einschränkung aber nicht!

Zur Berechnung des Trägheitsmomentes wird der Körper in unendlich feine Quader mit den Maßen dx × dy × d zerlegt. d ist die Längsdimension, also die Scheibendicke, des Quaders, die parallel zur Drehachse verläuft. Jeder Quader wird durch eine "Punkt"masse, die sich im Abstand r vom Schwerpunkt S befindet () repräsentiert (Dass wir den Schwerpunkt als Bezugspunkt wählen, hat besondere Gründe, die weiter unten (Satz von Steiner) erläutert werden). Anschließend wird die Integration über alle Masseelemente durchgeführt. Ein Masseelement wird durch seine ortsabhängige (!) Dichte ρ(x, y) und sein Volumen d·dx·dy ausgedrückt. Da wir die Dicke d als konstant angenommen haben, kann d vor das Integral gezogen werden:

()

Abb. Berechnung des Trägheitsmomentes

Ein beliebig geformter Körper (3D!) kann sich um beliebig viele Achsen drehen. Achsen, die parallel zu den Koordinaten eines orthogonalen Koordinatensystems und durch den Schwerpunkt S des Körpers verlaufen, werden Hauptachsen genannt. Für jede der Hauptachsen wird ein Trägheitsmoment berechnet, das sich in der Regel von den Trägheitsmomenten der anderen Hauptachsen unterscheiden wird.

Das Trägheitsmoment selbst wird so berechnet, dass alle Massenelemente dm multipliziert mit den Abstandsquadraten r² aufsummiert werden. Selbstredend, dass diese Abstandsquadrate von Hauptachse zu Hauptachse und auch die Integrationsgrenzen unterschiedlich sind!

Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann die Umrechnung bei bekannten Haupt-Trägheitsmomenten in solche anderer, beliebiger Achsen erfolgen.

on/off

So können wir den Gedankengang von wieder aufgreifen. Das Gesamtträgheitsmoment J wird durch die Summation aller Teilträgheitsmomente dJ = r·dm gebildet.
Dabei ist zu bedenken, dass es infolge der verschiedenen möglichen Drehachsen (siehe hierzu das Kapitel "Freiheitsgrade"), auch - je nach Achsenwahl - unterschiedliche Trägheitsmomente gibt. Um Irrtümern vorzubeugen, wird deshalb in der Literatur oft durch einen Index am Trägheitsmoment J_x, J_y bzw. J_z mitgeteilt, um welche Achse sich der Körper dreht (siehe 6. Geistesblitz). Ich bevorzuge dagegen eine Zuordnung des jeweiligen Trägheitsmomentes zu entsprechenden Abbildungen des betreffenden Körpers einschließlich der Drehachse, zu der das Trägheitsmoment gehört.
Weil sich Körper über alle drei Dimensionen erstrecken, eine Dimension aber sinnvoller Weise parallel zur Drehachse verläuft, wird die Summation der Teilträgheitsmomente dJ im allgemeinen durch eine zweifache Integration durchzuführen sein. In der Regel gibt es aber immer vereinfachende geometrischen Bedingungen, die die Intagration auf weniger Freiheitsgrade beschränken.

Trägheitsmoment eines dünnen Stabes

Besondere geometrische Formen der Körper, wie z.B. Rotationssymmetrie oder sehr schlanke Formen, können zu einer Vereinfachung der Rechnung führen. Deshalb wollen wir zunächst eine einfachere Anordnung, nämlich einen dünnen, starren Stab mit der konstanten Querschnittsfläche A und der Länge l, betrachten. Dünn ist ein Stab dann, wenn seine Breite b und seine Höhe h viel kleiner als seine Länge l sind. So darf der Stab als eindimensionales Objekt betrachtet werden, dessen Drehachse senkrecht zu dieser Dimension verläuft. Folglich darf der Stab in unendlich dünne Schichten zerlegt werden, die wegen ihrer geringen Breite und Höhe in einem Messepunkt konzentriert werden können. links zeigt einen solchen Stab. Entsprechend der Idee nach wird dieser Stab in eine unendliche Menge von Punktmassen dm zerlegt rechts), die jede für sich ein kleines Trägheitsmoment bilden. Weil der Stab als sehr dünn angenommen wird, können die kleinen Ersatzmassen alle hintereinander angeordnet werden, das vereinfacht die Berechnung und Summation der Teilträgheitsmomente!

Wenn nun das Trägheitsmoment einer einzelnen Punktmasse gemäß berechnet wird und die Trägheitsmomente der einzelnen Punktmassen summiert werden, dann wird die Summation der unendliche vielen, unendlich kleinen Punktmassen dm durch eine Integration (hier im Beispiel aus Symmetrieüberlegungen in den Grenzen von -R bis R) ausgeführt:

()

kann vereinfacht werden, weil die unendlich kleine Masse dm durch ihre Dichte ρ(r) und ihr Teilvolumen dV und dieses wiederum als Produkt aus Grundfläche A·dr ausgedrückt werden kann. Dadurch entsteht ein Integral, das im Integranten nur noch Funktionen vom Radius r enthält ():

Abb. Berechnung des Trägheitsmomentes eines dünnen Stabes

()

d m = ρ (r) \cdot A \cdot d r

Ist der Stab homogen (), hat also über sein ganzes Volumen eine konstante Dichte ρ, vereinfacht sich das Integral in und die Dichte ρ kann vor das Integral gezogen werden. Außerdem ist auch noch die Fläche über den ganzen Integrationsbereich unveränderlich. Alle diese Bedingungen erfüllt der homogener Stab.

Sinnvoller Weise wird das Trägheitsmoment des Stabes auf den Schwerpunkt S bezogen. In diesem Fall liegen der Schwerpunkt und Mittelpunkt übereinander. Da der Stab verschiedene Drehachsen haben kann, legen wir uns hier zunächst auf die Anordnung nach fest. Dadurch werden die Integrationsgrenzen auf jeweils die halbe Länge ±l/2 festgelegt.

()

Abb. Der homogene Stab

Lösen des Integrals, Einsetzen der Grenzen und Ordnen ergibt:

()

Stehen die Angaben für Dichte und Querschnittsfläche nicht zur Verfügung, tut es auch die Gesamtmasse m, da

m = ρ \cdot V = ρ \cdot A \cdot l

()

Übrigens, bei dünnen Stäben spielt die Form der Querschnittsfläche keine Rolle. Ein runder, dünner Stab hat demzufolge das gleiche Trägheitsmoment.

Trägheitsmoment eines Hohlzylinders

Dank seiner Rotationssymmetrie ist das Trägheitsmoment des Hohlzylinders besonders einfach zu berechnen. Dazu bietet sich eine Rechnung in Polarkoordinaten an.

Zu berechnen sei das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders, der sich um seine Symmetrieachse drehen soll. Gegeben sind die Dichte ρ bzw. seine Masse m, die Länge l sowie sein Innen- und Außenradius r_i bzw. r_a ().

Die Vorgehensweise ist wie oben beschrieben. Wir zerlegen den Hohlzylinder in dünne Hohlzylinder der Stärke dr, berechnen deren Teilträgheitsmomente und integrieren entsprechend .
Von besonderem Vorteil ist, dass alle Punkte im Hohlzylinder den gleichen Abstand zum Drehpunkt haben. Darum darf als Masseelement dm der ganze unendlich dünne Hohlzylinder angesehen werden:

()

So kann das Integral gemäß an den Hohlzylinder angepasst werden:

()

Abb. Der Hohlzylinder

Ausführen der Integration

()

und Einführung der Masse m des Hohlzylinders unter Anwendung der 3. Binomischen Formel:

()

weil

m = 2 π \cdot ρ \cdot l \cdot ({r_{a}}^{2} - {r_{i}}^{2})

Wird der Innenradius r_i bis auf Null verkleinert, erhalten wir das Trägheitsmoment des homogenen Vollzylinders (Walze):

()

Die elliptische Scheibe: Berechnung des Trägheitsmomentes

Anders als der Zylinder ist die elliptische Scheibe kein rotationssymmetrisches Objekt. D.h. die Masseelemente eines Ringes haben keinen konstanten Abstand vom Drehpunkt, was aber für eine Behandlung in Polarkoordinaten Voraussetzung ist. Also ist eine Lösung in Polarkoordinaten ausgeschlossen. Aber es gibt eine andere Lösung, nämlich die Verwendung elliptischer Koordinaten. Diese tragen den Unterschieden in den Achsen einer Ellipse Rechnung ():

()

Eine Ellipse wird mathematisch durch die implizite Gleichung beschrieben:

()

Auflösen nach y:

()

Abb. Zylinder mit elliptischer Basis

ist für Werte von -a ≤ x ≤ +a definiert. Sie drückt zum einen die obere und zum anderen die untere Ellipsenhälfte aus.

Nun zur Berechnung des Trägheitsmomentes. Zunächst drücken wir die Kenngrößen des Trägheitsmomentes entsprechend in kartesischen Koordinaten aus:

()

Wie sich zeigt, muss das Masseelement dm durch das Produkt der differentiell kleinen Elemente dx und dy ausgedrückt werden. Folglich muss auch die Integration für beide Koordinaten x und y nacheinander ausgeführt werden. Dabei zeigt sich sofort die Schwierigkeit dieser Lösungsmethode. Während die Integrationsgrenzen für die x-Koordinate mit -a und +a sehr einfach zu bestimmen sind, gilt das für die y-Koordinate nicht, denn sie hat ja dem Profil der Ellipse zu folgen. Somit berechnen wir das Trägheitsmoment in kartesischen Koordinaten zu:

()

Die Verwendung anderer, an das zu lösende Problem angepasste Koordinaten, verlangt eine geeignete Transformation der Koordinaten. Im Fall der elliptischen Scheibe wären dies die elliptischen Koordinaten:

Diese unterscheiden sich von den Polarkoordinaten dadurch, dass sie mit den Streckungsfaktoren a bzw. b für die x- bzw. y-Koordinate versehen sind und sich so direkt der Ellipsenform anpassen lassen.
Nun ist aber ersichtlich, dass diese Transformation Verzerrungen der differentiell kleinen Flächen- (bzw. Volumen) Elemente nach sich zieht:

Um diesen Verzerrungen entgegen zu wirken, müssen also auch die differentiell kleinen Elemente dx und dy transformiert werden. Die Vermittlung übernimmt hier die JACOBI-Determinante:

In unserem spezielle Fall können die partiellen Differentialquotienten leicht ermittelt werden und ergeben

so dass sich schließlich die einfache Transformationsvorschrift ergibt:

Um diesem Dilemma aus dem Weg zu gehen, führen wir die elliptischen Koordinaten entsprechend ein. Dabei ist zu berücksichtigen, dass das Produkt dx·dy in kartesischen Koordinaten durch eine Transformation in das entsprechende Produkt dr·dφ entsprechend in elliptische Koordinaten zu transformieren ist:

()

wobei

r^{2} = x^{2} + y^{2}

ist.

on/off

Infolge der Wahl der elliptischen Koordinaten sehen die Integrationsgrenzen gemäß nun sehr einfach aus. Für die Radiuskoordinate gilt 0 ≤ r ≤ 1 und für die Winkelkoordinate 0 ≤ φ ≤ 2π.
Die weiter folgenden Schritte erklären sich selbst. Die Teilergebnisse

(a)

(b)

(c)

(d)

führen auf das Endergebnis:

()

weil

m = π \cdot ρ \cdot a \cdot b \cdot l

ist.

Trägheitsmoment eines Quaders

Die Berechnung des Trägheitsmomentes eines Quaders oder Würfels ist etwas aufwändiger, da hier tatsächlich mit einer Doppelintegration gearbeitet werden muss. Das Massenelement dm berechnet sich hier zu:

()

Somit lautet das Integral nach

()

Damit haben wir hier ein Doppelintegral vorliegen. Die Lösung erfolg so, dass zunächst das innere Integral, also über x bei unveränderlichem y gelöst wird. Damit wurde das Trägheitsmoment eines unendlich schmalen Streifens längs der x-Achse berechnet. Jetzt wird das äußere Integral, also über y gelöst, wobei nun alle Teilträgheitsmomente der Streifen summiert werden.
Allerdings ist es dazu notwendig, den Radius r durch die Koordinaten x, y zu ersetzen. Andernfalls wäre die Integration aus mathematischer Sicht unmöglich. Dazu bietet sich der Satz des PYTHAGORAS an (). So kann in ein lösbares Doppelintegral überführt werden:

Abb. Quader, Rotation um die z-Achse

()

Nun wird, wie oben beschrieben, zunächst die Integration über x unter Beachtung der Integrationsgrenzen -b/2 ≤ x ≤ b/2 ausgeführt. Anschließend erfolgt die Integration über y unter Beachtung der Integrationsgrenzen -h/2 ≤ y ≤ h/2:

()

Einsetzen der Integrationsgrenzen und Vereinfachen unter Beachtung der Masse des Quaders

m = ρ \cdot l \cdot b \cdot h

ergibt:

()

Trägheitsmoment einer Hohlkugel

Die Berechnung des Trägheitsmomentes einer Hohlkugel erfolgt wegen ihrer Rotationssymmetrie wieder in Polarkoordinaten. Zum einen gibt es den Winkel θ, der die Kugelschale von 0 bis π überstreicht und zum anderen den Radius r, der die Kugelschale von r_i bis r_a beschreibt ().

Danach berechnet sich das Masseelement dm, hier als Kreisring, zu:

()

Das Integral nach muss modifiziert werden, da nicht der Kugelradius r, sondern der für die Rotation um eine Achse effektive Radius r' des Kreisrings

()

Abb. Die Hohlkugel

Die Berechnung des Masseelementes dm ist im Falle der Hohlkugel etwas diffiziler als in anderen Fällen. Das rotierende Masseelement ist hier ein Kreisring, dessen Masse aus dem Produkt von Umfang U, Querschnittsfläche dA und Dichte ρ gebildet wird:

Der Umfang wiederum wird über den effektiven Radius r' berechnet. Dieser Radius ändert sich aber über die gesamte Kugelhülle in Abhängigkeit vom Winkel θ:

Radius r' als Funktion von θ

mit

Die Querschnittsfläche dA wird als Produkt aus Winkel abhängiger Strecke r·dθ und Radius abhängiger Strecke dr gebildet:

was schließlich zum Masseelement dm führt:

für die Berechnung der Teilträgheitsmomente wirksam ist. So lautet nun die Berechnungsvorschrift für das Trägheitsmoment:

()

on/off

vereinfachen führt auf:

()

Auch hier liegt wieder ein Doppelintegral vor. Das innere summiert alle Teilringe zu einem Schalenspalt ...

()

... das äußere summiert alle Spalten zur Gesamtschale:

Das Integral hat die Lösung:

()

on/off

daraus folgt schließlich

()

Mit der Gesamtmasse der Hohlkugel

()

beträgt das Massenträgheitsmoment der Hohlkugel...

()

... und das der Kugel (Vollkugel), wenn r_i = 0:

()

Hier findest Du Trägheitsmomente weiterer geometrischer Körper!

Trägheitsmoment und Schwerpunkt von Polygonen

Neben den oben beschriebenen geometrisch einfachen Figuren gibt es gerade in der Spielewelt Objekte, die nur näherungsweise durch Polygone beschrieben werden können. Denken wir da zum Beispiel an den Kometen Tschuri. Sollte mit einem solchen Objekt ein Stoßereignis modelliert werden, dann sind neben den Punkten P_i des das Objekt umfassenden Polygons, auch noch die Kenntnis seines Schwerpunktes und seines Trägheitsmomentes notwendig.
Da wir uns vorläufig im 2D-Raum befinden, müssen wir für die Berechnung des Trägheitsmomentes eine Annahme machen, nämlich, dass das Objekt flach (also eine Scheibe) mit einer bestimmten Höhe h ist (). Zur Berechnung der Masse benötigen wir noch die Fläche A und die Dichte ρ des Objektes. Die Fläche berechnen wir nach der GAUßschen Trapezformel ():

()

Worin die x_i bzw. y_i die Koordinaten der Eckpunkte P_i des Polygons darstellen. Somit ergibt sich die Masse m des Objektes, vorausgesetzt der Körper ist homogen, zu

Abb. scheibenförmiges Polygon

()

Auch für die Berechnung des Schwerpunktes S gibt es eine bekannte Beziehung, die sich aus der GAUßschen Trapezformel herleitet:

()

Wieder sei daran erinnert, dass wir uns nur mit den 2D-Aufgaben beschäftigen wollen. Das bedeutet, dass, sofern der Körper homogen ist, Massenschwerpunkt und Flächenschwerpunkt zusammen fallen.
Bleibt nun noch die Berechnung des (Massen)-Trägheitsmomentes J, das aus den selben Gründen dem Flächenträgheitsmoment identisch ist:

()

Die Herleitung der Formel für die Berechnung des Flächenträgheitsmomentes eine Polygons findest Du im nebenstehenden Bücherstapel.
Das gesuchte Massenträgheitsmoment des scheibenförmigen (!) Polygons berechnet sich wieder ganz einfach zu:

()

Für den 3D-Fall gelten im Grunde die gleichen Beziehungen, nur dass nunmehr der Schwerpunkt 3-dimensional berechnet werden muss. Komplizierter die Berechnung des Massenträgheitsmomentes. Davon gibt es ja nunmehr 3, entsprechend der 6 Freiheitsgrade eines starren Körpers. Auch hier kann das Objekt scheibchenweise, in jede der drei Koordinaten, bearbeitet werden. Das Massenträgheitsmoment ergibt sich dann aus der Summation der einzelnen Scheibenträgheitsmomente, wobei die Abweichungen der einzelnen Schwerachsen vom gemeinsamen Schwerpunkt mit Hilfe des Satzes von STEINER korrigiert werden müssen.

Für die Erfassung einer Kontur auf der Basis eines Images habe ich ein Programm zur Konturerfassung geschrieben, mit dessen Hilfe eine Kontur und alle dazu gehörigen Kenngrößen ermittelt und in einem file namens contour.txt gespeichert werden können. Das Konturerfassungsprogramm erfüllt noch eine weitere Herausforderung, nämlich, dass das Image und die dazugehörige Kontur deckungsgleich sein müssen. Dann nämlich kann das Image den sichtbaren Teil und die Kontur die Kollisionserkennung befriedigen.

Da es zweckmäßig ist, das Trägheitsmoment in Bezug auf den Schwerpunkt zu berechnen, ist eine rechnerische Verschiebung der Bildmitte in den Schwerpunkt vorzunehmen. Wichtig ist hier, dass der Mittelpunkt des Images nicht zwangsläufig mit dem Schwerpunkt des Objektes (durch den ja die freie Achse bei einer Drehbewegung hindurch geht) identisch sein müssen! Also müssen durch eine geeignete Verschiebung des Images beide Punkte zur Deckung gebracht werden (). Hierfür werden die auf den Erfassungsrahmen normierten Daten x'_S und y'_S mit dem file contour.txt mit geliefert. Beide Größen sind durch Entnormierung auf die wirklichen Abmessungen des Objektes anzupassen, um dann das Image bis zur Deckungsgleichheit zu verschieben.
Auch mitgeliefert werden die tatsächlichen Abmaße des Objektes gemessen in [pixel]. Je nach Orientierung betrifft das die Breite oder die Höhe des Objektes. In meinen Programmen wird dieser Wert unter der Bezeichnung polygonWidth gespeichert. Damit kann die Entnormierung aller normierten Werte Image-gerecht vorgenommen werden. Grundsätzlich kann die Entnormierung auch mit willkürlich gewählten Werten vorgenommen werden, dann ist aber das Image ebenfalls mit diesem Wert zu Vergrößern (Verkleinern).

Abb. Image - Bildmitte und Schwerpunkt
Quelle: ESA/Rosetta/MPS for OSIRIS Team MPS/UPD/LAM/IAA/SSO/INTA/UPM/DASP/IDA

Genaugenommen berechnen wir das Trägheitsmoment J des als Kontur erfassten Objektes nicht direkt, sondern indirekt über das Flächenträgheitsmoment I. Unter den Vorraussetzungen:

das Objekt ist scheibenförmig,
die Masse m des Objektes ist bakannt,
die Dicke h der Scheibe ist konstant und
die Dichteverteilung der Scheibe ist homogen.

es gelten:

das Massenelement dm einer Scheibe beträgt

somit kann der Zusammenhang zwischen beiden Momenten hergestellt werden:

Mit der Gesamtmasse m der Scheibe

kann nun das Trägheitsmoment aus den ermittelten Konturparametern Fläche A und Flächenträgheitsmoment I errechnet werden:

was unter Verwendung der normierten Konturparameter bedeutet:

Der Vorteil der normierten Kenngrößen liegt darin, dass bei bekannter größter Abmessung l eines Objektes in der Realität, sehr einfach aus den normierten Größen die realen errechnet werden können:

()

Voraussetzung für die Berechnung des Trägheitsmomentes J ist allerdings, dass das Objekt scheibenförmig mit konstanter Dicke und Dichte ist. Bei bakannter Masse m:

on/off

()

Symbol	Bedeutung
G	Gewichtskraft [N]
r	Abstand, Radius [m]
M	Drehmoment [Nm] (nicht zu verwechseln mit Maßstab!)
φ	Pendelwinkel [°] oder [rad]
ω	Winkelgeschwindigkeit [°/s] oder [rad/s]
m	Masse [kg]
dm	differentiell kleines Masseelement [kg]
W	Energie [Ws] oder [Nm]
J	Massenträgheitsmoment [kgm²]
L	Drehimpuls [kgm²/s]
A	Querschnittsfläche [m²]
ρ	Materialdichte [kg/m³]
t	Zeit [s]