13. Kapitel
Das GEAR-Verfahren (BDF): ein Mehrschrittverfahren
Stellvertretend für die Verfahrensgruppe der Mehrschritt-Verfahren soll hier nur das BDF-Verfahren (Backward Differentiation Methods), das auch unter der Bezeichnung Gear-Verfahren bekannt ist, besprochen werden.Die Idee besteht darin, dass auf der Grundlage von N-1 bekannten Werten vi-N bis vi der zu lösenden Differentialgleichung ein neuer Wert vi+1 vorher gesagt wird. Natürlich wird diese Vorhersage Fehler behaftet sein. Darum muss im Anschluss an die Vorhersage noch eine iterative Verbesserung des neuen Wertes erfolgen.
Zunächst aber wollen wir uns mit dem Vorhersageteil befassen. Dazu betrachten wir die .
Abb. Lösungsprinzip des BDF-Verfahrens
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Nun konstruieren wir ein Polynom (blaue gestrichelte Kurve),
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Und wozu das Ganze? Polynome sind differenzierbar:
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Abb. Polynom P(n)
Wie werden nun die Koeffizienten an des Polynoms so bestimmt, dass die Stützstellen des Polynoms P(n) mit den Stützstellen der Funktion v(n·Δt) überein stimmen? Der mathematische Werkzeugkasten bietet hier eine ganze Reihe unterschiedlicher Möglichkeiten, wie z.B. das Interpolationsverfahren nach NEWTON oder das Interpolationsverfahren nach LAGRANGE an.
In letzteren Fall spielen die Koeffizienten Li(x) der LAGRANGE-Basis eine wichtige Rolle. Auf unser Problem angewendet berechnen sich diese Koeffizienten zu
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Beachte weiterhin: Unter der Voraussetzung, dass jedes tn = n·Δt ist, verschwindet der Zeitbezug vollständig aus der Gleichung. Die vi bis vi-N sind bekannte Werte und daher als Konstanten zu betrachten. Nur vi+1 ist nicht bekannt, also als die maßgebliche Variable zu betrachten.
Das Beispielprogramm listet all b-Koeffizienten für die Schrittzahlen von
2 bis 10 auf
Abb. Berechnung aller BDF-Koeffizienten für N = 2 ... 10
Bitte einen Augenblick Geduld
während das Programm geladen wird!
während das Programm geladen wird!
Abb. Berechnung aller BDF-Koeffizienten für N = 2 ... 10
Jetzt kann die Gleichsetzung des differenzierten Polynoms mit der Gradientenfunktion gemäß erfolgen:
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Nun zeigt sich aber, dass der neue Wert die Berechnung der Gradientenfunktion f(vi+1) unter Verwendung genau dieses Wertes voraussetzt. Es handelt sich hier also wieder um eine implizite Berechnungsvorschrift für die Lösung der DGl.! Damit kommen wir zum zweiten Teil der Aufgabe.
ist in den meisten Fällen mit einer Fixpunktiteration am einfachsten zu behandeln. In der Implementierung sieht das so aus, dass der gerade gefundene neue Wert in die Berechnung der Gradientenfunktion eingeht und so einen verbesserten Wert für vi+1 liefert. Diese Iteration wird so lange fortgesetzt, bis die Verbesserung unter einer festgesetzten Schranke ε liegt. Eine Bedingung für die Lösbarkeit ist die Wahl eines geeigneten Startpunktes für die Iteration. In unserem Fall bietet sich dafür der letzte bekannte Wert, also vi, an.
Bleibt nun noch die Frage, wo nehme ich die ersten N-1 Stützstellen her, wenn die Berechnung gerade begonnen hat? Da bleibt nur, diese Stützstellen mit einem Einschritt-Verfahren (z.B. EULER-CAUCHY oder RUNGE-KUTTA) zu berechnen. Diese sog. Vorleistung ist immer zu erbringen, wenn ein Mehrschrittverfahren angewendet werden soll.
Die Implementierung beginnt wie üblich mit der Instanzierung des Solvers in der setup()-Funktion, wobei Angaben über die Schrittzahl N, die maximale Anzahl R von Rückweisungen und die Genauigkeitsschranke ε erforderlich sind. Und für die Ausführung des Programms ist eine Gradientenfunktion notwendig:
Abb. Anwendung des BDF-(6)-Verfahrens
Im Beispielprogramm werden je ein 2-, 4- und 6-stufiges BDF-Lösungsverfahren gegenüber gestellt. Zu lösen ist die Differntialgleichung für ein hängendes Feder-Masse-System, dessen Eigenfrequenz f0 und Dämpfung δ frei wählbar sind.
Schlussfolgerungen: Es ist eine Tatsache, dass die Approximation einer Kurve anhand ausgewählter Stützstellen durch ein Polynom zunächst nur für die Stützstellen und deren unmittelbarer Umgebung eine Deckung erlaubt. Zwischen den Stützstellen und vor allem außerhalb des Bereiches, der durch die Stützstellen beschrieben ist, kann es zu erheblichen Abweichungen kommen. Je höher der Grad des Polynoms, also je mehr Stützstellen in die Interpolation eingehen, um so gravierender sind diese Abweichungen. Aus diesem Grund darf für das BDF-Verfahren der Grad des Polynoms nicht größer als N ≤ 6 sein.
Aus eben diesem Grund ist auch die Wahl eines impliziten Verfahrens für die Lösung der DGl. mittels Polynom sehr sinnvoll. Denn auf diese Weise wird die neue Stützstelle in den Bereich des Polynoms eingebunden, in dem die Approximationsgenauigkeit noch sehr groß ist.
Im Versuch scheint, wie das Verhalten der Kontrollfunktion ΔW nahelegt, die Lösung mit einem Polynom 4. Grades nicht sehr stabil zu sein, da die Energie über der Zeit zunimmt (auch ein Polynom 3. Grades scheint keine stabile Lösung zu liefern). Dieses Verhalten ist von der gewählten Schrittweite unabhängig. Allerdings muss hinzugefügt werden, dass diese Instabilität Größenordnungen unter der Instabilität liegt, sollte die Schrittzahl N > 6 sein!
Weil das BDF-Verfahren ein implizites Verfahren ist, wird diesem
Verfahren ein besonders hohes Potential zur Lösung steifer
Differentialgleichungen nachgesagt. Was die Genauigkeit betrifft, kann es aber
mit dem RUNGE-KUTTA-(4)-Verfahren oder dem DORMAND-PRINCE-(45)-Verfahren nicht
mithalten.
