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Lösung von nicht elementar lösbaren Aufgaben mittels numerischer Methoden

Numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit gegebenen Anfangsbedingungen

Einführung in die numerische Lösungsmethoden für gewöhn­liche Differentialgleichungen

Die numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit gegebenen Anfangsbedingungen ist das Instrument, mit dessen Hilfe alle kinematischen Problemstellungen, die durch eine Differentialgleichung beschrieben werden, gelöst werden.

Interaktionsfähigkeit - ein Argument für die numerische Lösung von Differentialgleichungen

Der Vorteil geschlossener, also analytischer Lösungen von Differentialgleichungen besteht in ihrer Genauigkeit. Allerdings steht dem oft oder gar meistens die Unmöglichkeit einer solchen Lösung entgegen. Ein Beispiel hierfür ist die Lösung der Bewegung unter Einfluss der Strömungsreibung nach STOKES. Aber es gibt noch einen weiteren gewichtigen Grund für eine numerische Lösung von Differentialgleichungen: Analytische Lösungen werden stets durch konkrete Anfangsbedingungen an die zu lösende Aufgabe angepasst. Das hat zur Folge, dass nach dem Start der Bewegung eine Änderung der Anfangsbedingungen nicht mehr möglich ist. Damit eine Interaktion möglich wird, müsste zum Zeitpunkt des Eingriffs die aktuelle Berechnung beendet und mit neuen Anfangsbedingen wieder gestartet werden. Um sicher zu stellen, dass es dabei keinen Bruch in der Bewegung gibt, müssten alle Endwerte (Zeit, Ort und Geschwindigkeit) der Bewegung(en) des ersten Zeitraums gemerkt und als neue Startwerte für den zweiten Zeitraum verwendet werden. zeigt in der Gegenüberstellung die Bewegung einer Kugel auf der "Schiefen Ebene", deren Neigung durch den Spieler verändert werden kann, indem der mit "handle" gekennzeichnete Kreis per Drag'n Drop auf oder ab bewegt wird. Es ist leicht zu erkennen, dass die ausschließliche Verwendung der analytischen Lösung der DGl. (exakt) zu befremdlichen Ergebnissen führt. Hingegen zeigt die numerische Lösung (ODE) das erwartete Verhalten.

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Abb. Interaktionsfähigkeit: analytische versus numerische Lösungsmethoden

Warum und wieso die numerische Lösung die Interaktivität unserer Programme ermöglicht, wird in den folgenden Kapiteln erläutert.

Numerische Lösung von Differentialgleichungen 1. Ordnung

Um es vorweg zu nehmen: wir sind keine Mathematiker und haben nicht deren Anspruch an die Genauigkeit numerischer Lösungsverfahren. Unser Ziel ist, da wiederhole ich mich, die möglichst realitätsnahe und ortstreue Darstellung von Bewegungsabläufen. Da zu zählt auch, und da treffen wir uns wieder mit den Mathematikern, dass die Lösungen stabil sind. Also nicht aus dem Ruder laufen, wenn der Betrachtungszeitraum groß wird. Aus den selben Gründen interessieren uns auch nicht die Lösungsverfahren schlechthin, sondern nur solche, die uns Bewegungsgleichungen für beschleunigte Massen oder Trägheitsmomente liefern, also für Differentialgleichungen 2. Ordnung!

Die analytische Lösung von Differentialgleichungen ist meist sehr aufwändig, mitunter sogar unmöglich. Hinzu kommt, dass eine analytische Lösung nur schwer auf Interaktionen eingestellt werden kann. Das liegt daran, dass sie als Lösung der Differentialgleichung eine Formel liefert, die durch die gewählten Anfangsbedingungen eine typische Situation abbildet. Ändert sich die Situation infolge einer Nutzerinteraktion, ist die bisherige Formel obsolet! So kommt es wieder heraus: die numerische Lösung ist die vorteilhafteste!

Aus den genannten Gründen wollen wir hier einige alternative Lösungsmöglichkeiten besprechen und hinsichtlich Rechenaufwand, Genauigkeit, Stabilität und Ortstreue untersuchen und das wiederum unter besonderer Berücksichtigung der Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Mit v · = f v , s , t ist uns eine Set von Tangenten, das sog. Richtungsfeld der gesuchten Funktion v t gegeben. Dies verdeutlichen die grün dargestellten Geradenstücke in . Ihre Neigung wird durch eben die Funktion v · = f v , s , t in jedem Punkt der v-t-Ebene bestimmt. Alle Geradenstücke, die die gleiche Neigung aufweisen, werden Isoklinen (Linien gleicher Neigung) genannt.

In unserem Beispiel stellt sich heraus, dass die Funktion v · = f v nur von der Geschwindigkeit v, multipliziert mit dem Faktor r m , aber nicht von der Zeit t abhängig ist. Folglich sind alle Isoklinen einer bestimmten Steigung parallel zur t-Achse angeordnet.

Richtungsfeld einer Differentialgleichung

Abb. Richtungsfeld der DGl v · = r m · v


verdeutlicht am Beispiel der homogenen Differential­gleichung 1. Ordnung für die Bewegung unter Reibungseinfluss nach STOKES () die zu lösende Aufgaben­stellung.

Wie die zeigt, gibt es unendlich viele Funktionen v(t), deren Tangenten die Neigungen der Isoklinen aufweisen. Sie unterscheiden sich aber in ihren Startwerten. Die Lösung einer Differentialgleichung besteht also darin, ausgehend vom Startwert v0 die Funktion v(t) zu finden, die in allen Punkten der v-t-Ebene solche Tangenten aufweist, die mit den Isolklinen in diesen Punkten übereinstimmt. Wie aber finden wir eine solche Funktion?

Allgemein gilt aber
()
Formel
als gegebene Differentialgleichung 1. Ordnung und
()
Formel
ein Anfangswert, bei dem die gesuchte Funktion v = f(t) starten soll. Damit liegt eine typische Anfangswertaufgabe vor.
Lösungsvarianten einer Differentialgleichung

Abb. Lösungsvarianten der DGl v · = r m · v
Eine einfache Herangehensweise zeigt die Näherungsrechnung auf: Eine Tangente, die an einer beliebigen Stelle ti einer Funktion f(t) angelegt wird, liefert in einem kleinen Bereich um den Punkt ti eine Näherung der Funktion f(t)) in diesem Punkt. Wie weit dieser Bereich gefasst werden kann, hängt vom Verlauf der Funktion und von der geforderten Genauigkeit der Näherung ab.
macht das deutlich: Zu einem beliebigen Zeitpunkt ti liege ein bekannter Wert vi der gesuchten Funktion v(t) und die Steigung der Tangente in diesem Punkt vor. Dabei ist die Steigung der Tangente gleich dem Wert des Differtentialquotienten v · = r m in diesem Punkt. Durch Anwendung der Geradengleichung kann dann ein Schätzung des Funktionswertes v i + 1 an der Stelle ti+1 = ti + Δt berechnet werden:
()
Formel
numerische Berechnung der gesuchten Funktion

Abb. numerische Berechnung der gesuchten Funktion
Wie aber auch zeigt, weicht der so errechnete Funktionswert vom wirklichen Funktionswert v(ti+1) ab (roter Punkt). Da aber v i + 1 der Ausgangspunkt für den nächsten Rechenschritt für den Zeitpunkt ti+2 darstellt, kannst Du Dir leicht vorstellen, dass es nach etlichen Berechnungsschritten zu deutlichen Differenzen zwischen tatsächlicher und berechneter Funktion kommen kann.
Wie groß diese Fehler werden können, welche Folgen diese für die Stabilität der Lösung haben und welche Abhilfe es gibt, wird in den folgenden Kapiteln untersucht.