3. Kapitel

Masse, Gravitation und Energie

Masse

Gravitation

Auch auf dem Gebiet der Planetenbeobachtung hat NEWTON wesentliche Beiträge geliefert. Dabei ging er von KEPLERs Gesetzen der Planetenbewegung aus und verallgemeinerte diese. Insbesondere die Wirkung der Massenanziehung, der Gravitation , übertrug er von den Planetenbewegungen auf beliebige massebehaftete Körper (). So schlussfolgerte NEWTON, dass die gegenseitig zwischen zwei Massen wirkende Anziehungskraft offenbar proportional zu den Größen der Massen beider Körper wirkt. Andererseits scheint die Kraft zwischen den Massen aber umgekehrt proportional zum Abstand zu sein.

Abb. Einflußgrößen der Gravitation

Dies geht aus den Umlaufzeiten unterschiedlich weit von der Sonne entfernten Planeten hervor (diese umgekehrte Proportionalität ist sogar quadratisch von der Entfernung abhängig!). Damit ist die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern der Masse m bzw. M proportional zu:

Die umgekehrt quadratische Proportionalität zwischen Gravitation und Abstand ist leicht zu verstehen, wenn die Gravitationswirkung in Form von Feldlinien gedacht wird. Dann nämlich "verdünnen" sich diese bei einer Abstandsvergrößerung gemäß der größer gewordenen Kugeloberfläche auf die sich die Feldlinien verteilen müssen. Da die Kugeloberfläche quadratisch vom Radius abhängt, erfolgt die "Verdünnung" der Feldlinie eben umgekehrt quadratisch zum Radius, also zum Abstand vom Massenmittelpunkt r!
Gravitationsfeld

()

F \sim \frac{m \cdot M}{r^{2}}

on/off

Um aus der Proportionalität eine Gleichung abzuleiten, wird noch eine Proportionalitätskonstante, die sog. Gravitationskonstante eingeführt. Diese wird mit γ bezeichnet und hat den sehr kleinen Wert:

1798 benutzte der englische Physiker Henry CAVENDISH eine Torsionswaage, um die Dichte der Erde bestimmen zu können. Als "Nebeneffekt" gelang mit diesem Experiment die relativ genaue Bestimmung der Gravitationskonstante γ. Das Wirkprinzip der Torsionswaage besteht darin, dass der Betrag des Winkels, um den ein Draht aus seiner Ruheform verdreht wird, Auskunft über das wirkende Drehmoment gibt. Weil die Rückstellkraft eines verdrehten Drahtes außerordentlich klein ist, können mit dieser Waage kleinste Kräfte gemessen werden, wie sie zwischen kleinen Massen infolge ihrer gegenseitigen Anziehung auftreten. Aus dem Verdrehungswinkel lässt sich die zwischen Massen wirkende Kraft und damit die Gravitationskonstante berechnen.

Messung der Gravitationskonstante

()

γ ist eine universelle Naturkonstante. Nun lautet die Formel für die Gravitation

on/off

()

Eigenschaften der Masse - träge und schwere Masse

Aus energetischen Überlegungen hat die Masse als physikalische Entität zwei Gesichter:

die Trägheit, als Ausdruck für den Widerstand den die Masse einer Bewegungsänderung entgegenstellt und
das Gewicht der Masse, das infolge der Gravitation auftritt.

Beiden Eigenschaften sind besondere Energieformen zugeordnet:

die kinetische Energie, die dem Quadrat der Geschwindigkeit eines Körpers proportional ist () und
die potentielle Energie, die u.a. mit dem Gewicht des Körpers verbunden ist ().

Hier sei bemerkt, dass der Begriff der potentiellen Energie wesentlich weiter gefasst und nicht nur auf das Gewicht beschränkt ist!

()

()

on/off

Offenbar, das geht aus den Gleichungen und hervor, hat die Masse zwei unterschiedliche Bedeutungen! Worin besteht nun der Unterschied zwischen träger und schwerer Masse? Gibt es überhaupt einen Unterschied? Lassen wir das Experiment sprechen:

Wie das (recht ungenaue) Pendelexperiment () nach Friedrich Wilhelm BESSEL zeigt, findet ein steter Wechsel zwischen potentieller Energie und kinetischer Energie statt. Die potentielle Energie W_pot, auch Energie der Lage genannt, ist von der Höhe der Masse über ihrem Tiefstpunkt abhängig. Je höher sich die Masse befindet, desto höher ist ihre potentielle Energie. Das ist in den Wendepunkten des Pendels der Fall. Anders die kinetische Energie W_kin, sie ist dort am größten, wo die Geschwindigkeit maximal ist. Das ist gerade im Tiefstpunkt der Fall. An den Wendepunkten hingegen ist die kinetische Energie gleich Null. In der Summe sind beide Energieformen aber konstant ().

()

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Abb. Nachweis der Idendität von schwerer und träger Masse

An den Extrempunkten ist eine der beiden Energieformen stets gleich Null, während die andere maximal wird. Aus der Konstanz der Gesamtenergie () kann nun gefolgert werden, dass sich die maximale Geschwindigkeit v aus

()

berechnen lässt. Umstellen der nach der Geschwindigkeit v ergibt:

()

Andererseits kann die Größe g, die Erdbeschleunigungskonstante, aus der Pendeldauer T und der Pendellänge l ermittelt werden:

()

g = \frac{4 π^{2} l}{T^{2}}

Und die Höhe h steht mit der Pendellänge l und der Pendelauslenkung ψ im Zusammenhang:

()

h = l \cdot (1 - \cos (ψ))

so dass schließlich

()

v = \frac{2 π l}{T} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{m_{s c h w e r}}{m_{t r ä g e}} \cdot (1 - \cos (ψ))}

Geschwindigkeit v, die Periodendauer T und maximale Auslenkung ψ sind messbare Größen, so dass diese Aussage experimentell bestätigt werden kann. Und es zeigt sich, dass

()

das Verhältnis von schwerer zu träger Masse gleich 1 ist (), damit also beide Erscheinungsformen äquivalent sind. Diese Äquivalenz spielt in der relativistischen Physik ein ganz wesentliche Rolle! Und für unsere weiteren Überlegungen bedeutet dies, egal in welchem Zusammenhang wir die Masse sehen, es ist egal, ob wir von schwerer oder träger Masse reden müssten: Masse bleibt Masse!

Da wir es im Beispiel () mit einem idealen Pendel zu tun haben, also keine Reibungsverluste auftreten können, wird das Pendel ewig schwingen. Die anfänglich beigebrachte Energie bleibt erhalten - konserviert. Daher wird die von der Masse getragene Energie auch als konservativ bezeichnet.

Symbol	Bedeutung
r	Abstand, Radius einer Planetenbahn [m]
m	Masse des kleineren Körpers [kg]
M	Masse des größeren Körpers [kg] (hier NICHT der Maßstab!)
γ	Gravitationskonstante [m³/kgs²]
g	Erdanziehungskonstante [m/s²]
F	Gravitationskraft
W_kin	kinetische Energie [Ws]
W_pot	potentielle Energie [Ws] oder [Nm]
l	Pendellänge [m]
T	Periodendauer [s]