10. Kapitel
Gekoppelte Pendel als System gekoppelter Differantialgleichungen
Ein weiteres Beispiel für gekoppelte Systeme wird in
gezeigt. Hier sind es gekoppelte Pendel deren Bewegungen durch ein System gekoppelter Differantialgleichungen beschrieben werden.
Zwei Pendel der Längen L1 und L2 sind über eine Feder miteinander verbunden. Die Feder wiederum ist in den Abständen l1 und l2 von den Drehpunkten der Pendel entfernt befestigt.
Wie Pendel funktionieren wurde bereits im Kapitel Rotation - das physische Pendel besprochen, darum konzentrieren wir uns auf den Einfluss der Feder, die beide Pendel mehr oder weniger stark miteinander verbindet.
Gehen wir wieder vom HOOKEschen Gesetz aus, danach berechnet sich die Federkraft nach Gl. :
worin Δx die Änderung der Federlänge ist. Diese ist über die
Auslenkungswinkel φ1 und
φ2 und die Befestigungsstellen der Feder an den
Pendeln zu berechnen ():
Zwei Pendel der Längen L1 und L2 sind über eine Feder miteinander verbunden. Die Feder wiederum ist in den Abständen l1 und l2 von den Drehpunkten der Pendel entfernt befestigt.
Wie Pendel funktionieren wurde bereits im Kapitel Rotation - das physische Pendel besprochen, darum konzentrieren wir uns auf den Einfluss der Feder, die beide Pendel mehr oder weniger stark miteinander verbindet.
Gehen wir wieder vom HOOKEschen Gesetz aus, danach berechnet sich die Federkraft nach Gl. :
()
()
Abb. Zwei gekoppelte Pendel
Die Vermittlung erfolgt über das Hebelgesetz. Da die Kraft (durch das hochgestellte m angedeutet) betragsgleich auf beide Massen wirkt, gilt für beide Pendel:
()
Nun können wir die Kräftegleichgewichte für beide Pendel notieren ():
()
Das Pendel ist so ein Zwischending für die Erläuterung von
translatorischer und rotatorischer Bewegung. Die Brücke für den
Übergang zwischen beiden Welten stellt die bekannte Beziehung zwischen Winkel
φ und Bogen s dar:
Damit kann nun für das erste Pendel die Kräftebillanz aufgestellt werden:
()
on/off
Durch geeignetes Umstellen erhalten wir die Normalform der DGl. für das erste Pendel:
()
Mit diesem Ausdruck wird die Resonanzfrequenz fres eines
Feder-Masse-Systems beschrieben. Auch wenn dieser Ausdruck hier nicht genau das
Verhalten der Feder-Masse-Systeme beschreibt, erinnert er doch daran, dass es
sich hier um ein schwingfähiges Gebilde handelt. Wir erinnern uns
(a)
(b)
on/off
Der Ausdruck Δx wird nach bei jeder Programmiteration neu berechnet. Da Δx in den Differentialgleichungen beider Pendel auftritt, entsteht hierdurch die Verkopplung der Gleichungssysteme.
Das System der gekoppelten Pendel besteht aus drei
schwingfähigen Teilen: den beiden Pendeln und der Kombination aus Koppelfeder und den
Pendelmassen. Im Programmbeispiel wurden beide Pendel mit identischen Eigenschaften
ausgestattet. Auch die Koppellängen l sind gleich groß, können aber mit
dem Schieberegler verändert werden. Bei l = 0 liegt überhaupt keine
Kopplung vor, beide Pendel sind unabhängig voneinander. Bei l = L ist
die Kopplung vollständig.
Ergebnisdiskussion: Was zu beobachten ist: das linke Pendel ist zu Programmstart ausgelenkt, das rechte befindet sich in Ruhe. Nun beginnt das linke Pendel zu schwingen und die Koppelfeder gibt die Pendelbewegung des linken Pendels an das rechte Pendel weiter. Diese Energieübertragung ist desto größer je größer der Koppelfaktor K ist. Langsam beginnt das rechte Pendel zu schwingen und verstärkt seine Amplitude zusehends. Du könntest nun denken, dass sich beide Pendel einem Gleichgewichtszustand annähern und dann gleich stark schwingen. Dem ist aber nicht so. Der Energiefluss ist vollständig. Das linke Pendel bleibt nahezu stehen. Inzwischen hat aber das rechte Pendel die Rolle des linken Pendels übernommen und der Energiefluss findet nun von rechts nach links statt. Dieser Zustand des steten Energietransfers durch Schwingungen wird auch Schwebung genannt. Die Grafik im oberen Fenster kann Dir helfen, dies zu verdeutlichen. Hier siehst Du ganz deutlich die Abhängigkeit der Geschwindigkeit des Energiewechsels vom Koppelfaktor K.
Mit Einführung des Koppelfaktors in die a) und b) kann der Faktor für die Federkraft () auch so geschrieben werden:
(a)
(a)
(b)