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Federn

Feder-Masse-Systeme mit periodischer Anregung - Resonanz

Ein anderer, in der Praxis sehr häufig anzutreffender Fall ist die erzwungene Schwingung eines eines Feder-Masse-Systems. Insbesondere sind hier Feder-Masse-Systeme mit periodischer Anregung von Interesse. Ob nun ein Trupp Soldaten über eine Brücke im Gleichschritt marschiert oder ein Motor in einem kritischen Drehzahlbereich betrieben wird, immer sind Schwingungen mit im Spiel, die u.U. verheerende Folgen für das System haben können. Prinzipiell können alle praktischen Fälle auf den Fall, den zeigt, reduziert werden.

Ein Motor treibt einen Kurbelantrieb mit der Drehzahl u an. Das Gestänge wird so geführt, dass am Kreuzkopf nur eine vertikale Auf- und Abbewegung möglich ist. Logisch, dass diese Bewegung periodisch mit einer Frequenz ωexc = 2·π·u erfolgen muss. Diese Frequenz nennen wir Anregungsfrequenz (engl.: excite), weil sie die Frequenz der Störfunktion ist, die auf das am Kreuzkopf befestigte Feder-Masse-System wirkt. Der Ursprung der y-Achse liegt genau in dem Punkt, den der Kreuzkopf bei einem Drehwinkel α = 0° einnimmt.

Die Federkraft FF wird aus der Federspannung berechnet, die sich aus der Lage des Kreuzkopfes yPleuel und der Position der Masse m abzüglich der Ruhefederlänge l0 ergibt (). n ist wieder die Federkonstante:
()
Formel

Kurbelantrieb

Abb. Kurbel­antrieb

Das Kräftegleichgewicht für die Differentialgleichung können wir analog aufbauen, nur dass die Federkraft um den Anregungsterm yPleuel erweitert werden muss:

()
Formel

Nach der zweiten Ableitung von y ordnen und beidseitig durch m dividieren:

()
Formel


Nach der zweiten Ableitung von y ordnen und beidseitig durch m dividieren:
()
Formel
Ersetzen wir nun noch die Formelsymbole für Dämpfung δ () und Eigenfrequenz ω0 ():

()
Formel

Geistesblitz
on/off
Die Differentialgleichung lösen wir wieder numerisch.

Das Beispielprogramm zeigt das Verhalten eines Feder-Masse-Reibungssystems bei periodischer Anregung. Mit Hilfe der ersten beiden Schieberegler wird das Eigenverhalten, also Eigenfrequenz f0 und Dämpfung δ, des Systems eingestellt. Der dritte Schieberegler ist für die Anregungsfrequenz fexc zuständig.

download processing
download p5.js
run program

Nach Programmstart wirkt zunächst die Gravitation auf das System ein. Die Anregungsfrequenz ist auf fexc = 0 eingestellt. Wird nun die Anregungsfrequenz langsam erhöht, beginnt sich der Motor zu drehen und das Pleuel hebt bzw. senkt das Feder-Masse-System periodisch. Beobachte, was passiert, wenn die Anregungsfrequenz in die Nähe der Eigenfrequenz kommt. Welche Rolle spielt die Dämpfung dabei?
Geistesblitz
on/off


Ergebnisdiskussion: Das Anwendungsbeispiel zeigt, wie sich ein Feder-Masse-Reibungssystem gegenüber erzwungener Schwingungen verhält. Nach dem Ausklingen des Gravitationseinflusses beginnt die periodische Störung des Systems zunächst bei niedriger Drehzahl u, niedrig bedeutet, dass die Anregungsfrequenz kleiner als die Eigenfrequenz ist: fexc < f0. Hier stellen wir fest, dass sich die Masse nahezu im Gleichtakt zur Pleuelbewegung befindet.

Erhöhen wir die Drehzahl auf fexc ≈ f0 stellen wir fest, dass sich die Amplitude der Masseschwingung dramatisch erhöht. Dieses Verhalten wird Resonanz genannt. Die Bewegungen von Pleuel und Masse sind nunmehr gegenläufig. Ursache für das Resonanz-Verhalten ist, dass die wechselseitige Energiewandlung von potentieller zu kinetischer Energie und umgekehrt durch die äußere Störung im gleichen Rhythmus verstärkt wird. Die Eigendämpfung reicht nicht aus, um den Energiezustrom durch die äußere Anregung hinreichend schnell in Wärme umzuwandeln. Dadurch wird die zugeführte Energie im System gespeichert, was durch eine erhöhe Schwingungsamplitude zum Ausdruck kommt. Der Grad der Energiespeicherung kann durch die Eigendämpfung des Systems verändert werden: je größer die Däpfung desto kleiner die Schwingungs­überhöhung.

Wird die Anregungsfrequenz noch weiter erhöht fexc > f0, geht die Schwingungs­amplitude bis zum fast völligen Stillstand zurück.

Dieses Verhalten macht man sich in der Praxis zu Nutze. Weil oberhalb der Resonanzfrequenz die Masse infolge ihrer Trägheit in Verbindung mit der Federnachgiebigkeit nahezu in Ruhe bleibt, wirkt die Federung eines Fahrzeuges Stoß mindernd (). Über Brücken marschiert man nicht im Gleichschritt, um eine Resonanz und damit eine Zerstörung der Brücke zu verhindern. Die Arbeitsdrehzahl von Antrieben oder Generatoren wird ebenfalls so gewählt, dass die Erschütterungen oberhalb der Resonanzfrequenz liegen.

Sehr aufschlussreich ist die analytische Lösung der Differentialgleichung. Sie erhellt die Herkunft der Dämpfungskonstante δ und der Resonanz­frequenz ω0. Und es gibt eine ausführliche Herleitung der Lösungsmethode für die inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung
 Resonanzkurve

Abb. Resonanzkurve