5. Kapitel
Feder-Masse-Systeme mit periodischer Anregung - Resonanz
Ein anderer, in der Praxis sehr häufig anzutreffender Fall ist die erzwungene
Schwingung eines Feder-Masse-Systems. Insbesondere sind hier Feder-Masse-Systeme mit periodischer Anregung von Interesse.
Ob nun ein Trupp Soldaten über eine Brücke im
Gleichschritt marschiert oder ein Motor in einem kritischen Drehzahlbereich betrieben wird,
immer sind Schwingungen mit im Spiel, die u.U. verheerende Folgen für das System haben können.
Prinzipiell können alle praktischen Fälle auf den Fall der Fußpunktanregung, den
zeigt, reduziert werden.
Ein Motor treibt einen Kurbelantrieb mit der Drehzahl u an. Das Gestänge wird so geführt, dass am Kreuzkopf nur eine vertikale Auf- und Abbewegung möglich ist. Logisch, dass diese Bewegung periodisch mit einer Frequenz ωexc = 2·π·u erfolgen muss. Diese Frequenz nennen wir Anregungsfrequenz (engl.: excite), weil sie die Frequenz der Störfunktion ist, die auf das am Kreuzkopf befestigte Feder-Masse-System wirkt. Der Ursprung der y-Achse liegt genau in dem Punkt, den der Kreuzkopf bei einem Drehwinkel α = 0° einnimmt.
Die Federkraft FF wird aus der Federspannung berechnet, die sich aus der Lage des Kreuzkopfes yPleuel und der Position der Masse m abzüglich der Ruhefederlänge l0 ergibt (). n ist wieder die Federkonstante:
Ein Motor treibt einen Kurbelantrieb mit der Drehzahl u an. Das Gestänge wird so geführt, dass am Kreuzkopf nur eine vertikale Auf- und Abbewegung möglich ist. Logisch, dass diese Bewegung periodisch mit einer Frequenz ωexc = 2·π·u erfolgen muss. Diese Frequenz nennen wir Anregungsfrequenz (engl.: excite), weil sie die Frequenz der Störfunktion ist, die auf das am Kreuzkopf befestigte Feder-Masse-System wirkt. Der Ursprung der y-Achse liegt genau in dem Punkt, den der Kreuzkopf bei einem Drehwinkel α = 0° einnimmt.
Die Federkraft FF wird aus der Federspannung berechnet, die sich aus der Lage des Kreuzkopfes yPleuel und der Position der Masse m abzüglich der Ruhefederlänge l0 ergibt (). n ist wieder die Federkonstante:
()
Abb. Kurbelantrieb
Das Kräftegleichgewicht für die Differentialgleichung können wir analog aufbauen, nur dass die Federkraft um den Anregungsterm yPleuel erweitert werden muss:
()
Nach der zweiten Ableitung von y ordnen und beidseitig durch m dividieren:
()
yPleuel ist natürlich genauso eine Störfunktion wie
die Gravitationskraft m·g. Darum müsste eigentlich
yPleuel auf der linken Seite der Gleichung, wo alle
ACTIO-Anteile aufgeführt werden, erscheinen. Für die Berechnung ist
diese Trennung, bei Beachtung der Vorzeichen, unerheblich. Aber die Logik legt es nahe,
dass alle physikalischen Größen, die mit der Feder im Zusammenhang stehen, auch
dort notiert werden.
Doch für die Genauigkeitsfreaks soll das exakte Kräftegleichgewicht angegeben werden:
Doch für die Genauigkeitsfreaks soll das exakte Kräftegleichgewicht angegeben werden:
Ersetzen wir nun noch die Formelsymbole für Dämpfung δ
() und Eigenfrequenz ω0
():
()
on/off
Das Beispielprogramm zeigt das Verhalten eines Feder-Masse-Reibungssystems bei
periodischer Anregung. Mit Hilfe der ersten beiden Schieberegler wird das
Eigenverhalten, also Eigenfrequenz f0 und Dämpfung
δ, des Systems eingestellt. Der dritte Schieberegler ist
für die Anregungsfrequenz fexc zuständig.
Konstruktion und Berechnung der Kurbelbewegung
Die veranschaulicht die Überlegungen zur Darstellung des Kurbelgetriebes mit dem verbundenen Pleuel.
Soll der Kreuzkopf in Ruheposition (α = 0), also das untere
Ende der Pleuelstange mit der Ruhelage der Aufhängung des Feder-Masse-Systems
(y = 0) zusammenfallen, dann ergibt sich die Höhe der Lagerung
für die Kurbel bei bekannter Pleuellänge lPleuel und
bekanntem Kurbelradius Rexc nach dem Satz des
PYTHAGORAS zu
Damit stehen die Fixpunkte der Konstruktion fest. Nun gilt es noch die Bewegung der Kurbel und die Bewegung des Kreuzkopfes zu modellieren.
()
Damit stehen die Fixpunkte der Konstruktion fest. Nun gilt es noch die Bewegung der Kurbel und die Bewegung des Kreuzkopfes zu modellieren.
Abb. Kurbelantrieb
Beginnen wir mit der Rotation. Gegeben ist die Rotationsfrequenz ω0 = 2·π·f0. Durch Multiplikaion mit dem Zeitquant dt wird daraus ein Winkelquant dα, der durch Integration in den Momentanwinkel α überführt wird. Natürlich führen wir die Integration wieder numerisch aus:
Die Berechnung der Kreuzkopfposition lPleuel erfolgt wieder nach dem Satz des PYTHAGORAS. Mit Hilfe der Position der Kurbel xexc und yexc können die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmt werden, die sich einmal durch Rexc·cos(α) und zum anderen durch Rexc·sin(α) zuzüglich der gesuchten Größe yPleuel berechnen lassen. Damit sind die erforderlichen Bestimmungsstücke für den Satz des PYTHAGORAS gegeben:
()
Umstellen nach yPleuel:
()
ergibt die gesuchte Abhängigkeit der Anregungsamplitude yPleuel vom Drehwinkel α der Kurbel.
on/off
Ergebnisdiskussion: Das Anwendungsbeispiel zeigt, wie sich ein Feder-Masse-Reibungssystem gegenüber erzwungener Schwingungen verhält. Nach dem Ausklingen des Gravitationseinflusses beginnt die periodische Störung des Systems zunächst bei niedriger Drehzahl u, niedrig bedeutet, dass die Anregungsfrequenz kleiner als die Eigenfrequenz ist: fexc < f0. Hier stellen wir fest, dass sich die Masse nahezu im Gleichtakt zur Pleuelbewegung befindet.
Erhöhen wir die Drehzahl auf fexc ≈ f0 stellen wir fest, dass sich die Amplitude der Masseschwingung dramatisch erhöht. Dieses Verhalten wird Resonanz genannt. Die Bewegungen von Pleuel und Masse sind nunmehr gegenläufig. Ursache für das Resonanz-Verhalten ist, dass die wechselseitige Energiewandlung von potentieller zu kinetischer Energie und umgekehrt durch die äußere Störung im gleichen Rhythmus verstärkt wird. Die Eigendämpfung reicht nicht aus, um den Energiezustrom durch die äußere Anregung hinreichend schnell in Wärme umzuwandeln. Dadurch wird die zugeführte Energie im System gespeichert, was durch eine erhöhe Schwingungsamplitude zum Ausdruck kommt. Der Grad der Energiespeicherung kann durch die Eigendämpfung des Systems verändert werden: je größer die Däpfung desto kleiner die Schwingungsüberhöhung.
Wird die Anregungsfrequenz noch weiter erhöht fexc > f0,
geht die Schwingungsamplitude bis zum fast völligen Stillstand zurück.
Dieses Verhalten macht man sich in der Praxis zu Nutze. Weil oberhalb der Resonanzfrequenz die Masse infolge ihrer Trägheit in Verbindung mit der Federnachgiebigkeit nahezu in Ruhe bleibt, wirkt die Federung eines Fahrzeuges Stoß mindernd (). Über Brücken marschiert man nicht im Gleichschritt, um eine Resonanz und damit eine Zerstörung der Brücke zu verhindern. Die Arbeitsdrehzahl von Antrieben oder Generatoren wird ebenfalls so gewählt, dass die Erschütterungen oberhalb der Resonanzfrequenz liegen.
Sehr aufschlussreich ist die analytische Lösung der Differentialgleichung. Sie erhellt die Herkunft der Dämpfungskonstante δ und der Resonanzfrequenz ω0. Und es gibt eine ausführliche Herleitung der Lösungsmethode für die inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung
Dieses Verhalten macht man sich in der Praxis zu Nutze. Weil oberhalb der Resonanzfrequenz die Masse infolge ihrer Trägheit in Verbindung mit der Federnachgiebigkeit nahezu in Ruhe bleibt, wirkt die Federung eines Fahrzeuges Stoß mindernd (). Über Brücken marschiert man nicht im Gleichschritt, um eine Resonanz und damit eine Zerstörung der Brücke zu verhindern. Die Arbeitsdrehzahl von Antrieben oder Generatoren wird ebenfalls so gewählt, dass die Erschütterungen oberhalb der Resonanzfrequenz liegen.
Sehr aufschlussreich ist die analytische Lösung der Differentialgleichung. Sie erhellt die Herkunft der Dämpfungskonstante δ und der Resonanzfrequenz ω0. Und es gibt eine ausführliche Herleitung der Lösungsmethode für die inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung
Abb. Resonanzkurve
