Das Seil: ein System gekoppelter Differentialgleichungen

Das Lösungsprinzip besteht in der Vereinzelung der vielfach auftretenden und miteinander verbundenen Elemente. Das ermöglicht ein einfaches und vor allem übersichtliches Aufstellen der Differentialgleichung für jedes der vereinzelten Elemente. Da nun aber die Elemente miteinander verbunden sind, muss es noch weitere Bestimmungsgrößen geben, die die Wechselwirkung zwischen den Elementen beschreiben. Dies sind die sog. Schnittkräfte oder, bei rotatorischen Systemen, Schnittmomente. zeigt, wie eine Anordnung, die uns bereits aus bekannt ist, durch gezielte Schnitte in einzelne Elemente zerlegt werden kann. Im rechten Teilbild ist zu sehen, dass die obere Masse von den Federn getrennt wurde. Um aber die Gesamtsituation nicht zu verändern, treten Anstelle der Federn die vektoriellen Schnittkräfte F_previous und F_next. Damit kann nun das Kräftegleichgewicht für eine solche Masse aufgestellt werden: Worin G die Gewichtskraft, F_T die Trägheitskraft und F_R die Reibungskraft bedeuten. Die vektoriellen Schnittkräfte F_previous und F_next errechnen sich aus den jeweiligen Federspannungen, als dem wirksamen Federweg Δl multipliziert mit der Federkonstanten n.
Bei einer Anordnung bestehend aus vielen gleichartigen Elementen werden die Schnittkräfte für jede Masse (Knoten) bestimmt und zur Aufstellung einer Differentialgleichung für diese Masse verwendet. In der Gesamtheit handelt es sich wieder um ein System gekoppelter Differentialgleichungen, wobei die Verkopplung über die Schnittkräfte erfolgt.
Ein weiterer Vorteil dieser Methode besteht darin, dass zusätzliche Kräfte, wie etwa der Einfluss von Wind oder der Gravitation, sehr einfach den Schnittkräften hinzugefügt werden können.

Das hier vorgestellte Verfahren der Zerlegung komplexer mechanischer Konstrukte führt direkt auf die finite Elemente Methode. Finit heißt die Methode, weil ein mechanisches Kontinuum in eine endliche Anzahl einfacher Elemente zerlegt wird. Das bedeutet auch, dass die Abmessungen dieser Elemente endlich, also nicht infinitesimal klein sind. Neben der Modellierung des Konstruktes durch diese Elemente sind die Koppelstellen zwischen den Elemente von großer Wichtigkeit. Diese werden durch Randbedingungen beschrieben, deren mathematische Behandlung in Abhängigkeit von der Anzahl der approximierenden Elemente sehr aufwändig werden kann. Dazu sind auch Kenntnisse der Festigkeitslehre erforderlich, die den Rahmen meiner Präsentation sprengen würden. Deshalb ersetzen wir das Kontinuum durch konzentrierte Elemente, die aus Federn, Reibungselementen und Massen bestehen, wobei deren Größen mehr oder weniger geschätzt werden. Um ein Konstrukt modellieren zu können, werden die Massen als Knoten betrachtet. An diese Knoten werden die Federn mittels Gelenken angeschlossen. Gelenk bedeutet, dass zwischen Federn und Massen keine Drehmomente wirken können.

Abb. Auftrennung eines gekoppelten Feder-Masse-Systems

Abb. Hängendes Seil

Massenträgheit und Reibung wirken in bekannter Weise: Wie schon oben erwähnt, sind die Schnittkräfte proportional der jeweiligen Federdehnung, so dass daraus ein Paar gekoppelter Differentialgleichungen abgeleitet werden kann: Worin die ${\overrightarrow{X}}_{k-1};{\overrightarrow{X}}_k;{\overrightarrow{X}}_{k+1}$ die Ortsvektoren der jeweiligen Knoten bzw. Massen repräsentieren.
Nun müssen wir die Schnittkräfte in ihre x- bzw. y-Komponenten zerlegen, um je ein partiell wirksames Paar von Differentialgleichungen zu erhalten:
worin $l_k=|{\overrightarrow{X}}_k-{\overrightarrow{X}}_{k-1}|$ die aktuelle Federlänge der k-ten Feder bezeichnen.