2D-Systeme gekoppelter Differentialgleichungen

Abb. a) Struktur

Abb. b) und Detail eines Netzes

Abb. Festlegung von Knotenpositionen

Bezeichner	Knotentyp	Bedeutung
'f':	fix (fixierter Knoten)	Befestigung, Geschwindigkeitskomponenten sind gleich Null
'm':	middle (mittlerer Knoten)	Kräfte greifen allseitig an
't':	top (oberer Knoten)	keine Krafteinwirkung von oben
'b':	bottom (unterer Knoten)	keine Krafteinwirkung von unten
'l':	left (linker Knoten)	keine Krafteinwirkung von links
'r':	right (rechter Knoten)	keine Krafteinwirkung von rechts
'1':	linke, obere Ecke	keine Krafteinwirkung von oben und links
'2':	rechte, obere Ecke	keine Krafteinwirkung von oben und rechts
'3':	rechte, untere Ecke	keine Krafteinwirkung von unten und rechts
'4':	linke, untere Ecke	keine Krafteinwirkung von unten und links

Die folgenden Ausführungen werden wir am Beispiel eines Quaders besprechen. Bei einer 2D-Darstellung von Körper zu sprechen ist eigentlich ein Widerspruch. Dennoch lohnt eine approximative Behandlung eines Körpers durch ein gekoppeltes Feder-Masse-System. Wir betrachten optisch den Körper hier als flächige Projektion auf die x-y-Ebene, also als Rechteck. Wohingegen die Elemente (Federn und Massen) Volumen-Elemente repräsentieren, also die Eigenschaften eines Volumen-Elements in sich vereinigen. Die mit einer Verformung verbundene Volumen-(Flächen)-Änderung wird bei der Besprechung des Quaders nicht berücksichtigt. Anders ausgedrückt, wir behandeln hier einen kompressiblen Körper.
Im Gegensatz zu Netzen haben Körper eine Steifigkeit (der Begriff "Steifigkeit" wird auch im Zusammenhang mit ODE-Solvern verwendet, um deutlich zu machen, dass hier Lösungen von Differentialgleichungen steifer Anordnungen, z.B. Feder-Masse-Systeme gesucht werden). Diese Eigenschaft macht sich besonders dann bemerkbar, wenn die Gravitation oder andere Flächenlasten wirken.
Um solche Körper modellieren zu können genügt die Anordnung der Feder-Masse-Elemente, wie wir Sie für die Nachbildung eines Netzes verwendet haben, nicht aus. Denn die Koppelpunkte können keine Drehmomente übertragen, weil sie als Gelenke ausgeführt sind. Damit auch steife, elastische Körper nachgebildet werden können, müssen neue, stützende Verbindungen zwischen den einzelnen Knoten eingeführt werden (). Zu den schon bekannten Verbindungen zwischen den Knoten kommen neue, diagonale Verbindungen hinzu: l_{previous left}, l_{previous right}, l_next left sowie l_next-right, die ebenfalls durch Federn vermittelt werden, allerdings sind deren Ruhefederlängen um den Faktor $\sqrt{2}$ länger als die horizontal bzw. vertikal angeordneten Federn!
Außerdem erweitern wir die Konstruktionsfähigkeit der Modelle um


Diese zusätzlichen Eigenschaften ermöglichen eine bewegliche Einspannung der Modelle am oberen Rand ('h') bzw. am rechten Rand ('v'). So können statische Effekte wie Knickung oder Stauchung untersucht werden.

Grundsätzlich ist aber zu bemerken, dass die Nachbildung eines Körpers durch diskrete Feder-Masse-Systeme immer nur eine begrenzt richtige Approximation liefern kann. Einerseits werden die verwendeten Federn als ideal angesehen, d.h. das Hooksche Gesetz gilt uneingeschränkt. Das hat Auswirkungen auf das statische Verhalten des Körpers. Andererseits werden die dynamischen Eigenschaften durch die sehr komplexen Differentialgleichungen und deren Lösung mittes ODE-Solver bestimmt. Insbesondere hier ist ein Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand zu finden.

Abb. Maschen eines kompressiblen Quaders

Anders als im voran gegangenen Thema wollen wir hier die mit einer Verformung verbundene Volumen-(Flächen)-Änderung berücksichtigen. Wir behandeln am Beispiel einer Kugel (respektive Kreis) das Verhalten eines inkompressiblen Körpers bei Verformung. D.h. eine Formänderung ist auch mit einer Volumenänderung verbunden.
Wieder erfolgt eine Approximation durch ein gekoppeltes Feder-Masse-System. Diesmal durch einen in sich geschlossenen Ring von Federn und Masseelementen sowie einem zentralen Masseelement, welches wiederum mittels Federn mit jedem einzelnen Element des äußeren Rings verbunden ist (Abb. ). Wie wir sehen können erfolgt die Approximation durch J = 6 über die gesamte Ober"fläche" gleichverteilte Masseelemente m_s (surface) und einem zentralen Masseelement m_c (center). Entsprechend ergeben sich die Federlängen l_p (previous) und l_n (next) der J Oberflächen-Federn aus den Abständen zwischen benachbarten Oberflächen-Elementen sowie den J Radial-Federn, die das zentrale Masseelement mit jedem der Oberflächen-Elemente verbindet.
Sollen nun die Bewegungsgleichungen für jedes der J + 1 Masseelemente berechnet werden, so sind dafür 2·(J + 1) Differentialgleichungen erforderlich. Wie solche Differentialgleichungen aufgestellt werden, ist ausführlich im Kapitel Das hängende Seil beschrieben worden. Deshalb verweise ich hier für weitere Details auf das beigefügte Beispielprogramm.
Was unterscheidet nun die inkompressiblen Körper von den kompressiblen? Im ersten Fall bleibt das Volumen des Körpers bei Ausübung eines Druckes unveränderlich, während im anderen Fall eine mehr oder weniger starke Volumenänderung zu verzeichnen ist. D.h. als Kriterium für eine Volumenänderung wird die Volumendifferenz zwischen unbeeinflusstem Körper V₀ und unter Druck gesetzten Körper V heran gezogen: Wie können wir die beiden Volumina aus den gegebenen Abständen der Punktmassen bestimmen? In den weiteren Betrachtungen beziehen wir uns der Einfachheit halber auf ein 2D-Modell. Das hat zur Folge, dass wir statt der Volumina Flächen vergleichen können. So wird aus zu : Zunächst sei noch einmal daran erinnert, dass wir die Kreis durch ein Polygon approximieren. Mit dieser Vereinfachung können nunmehr die Flächeninhalte des Polygons gemäß berechnet werden. So stellt sich nur noch die Frage, wie sich die Volumenänderung auf die Änderung der Abstände der nicht unter Druck gesetzten Masseelemente zum zentralen Masseelement auswirkt.

Abb. Maschen einer inkompressiblen Kugel