10. Kapitel

Der deformierende Stoß als System gekoppelter Differentialgleichungen

Der Stoß - einmal anders

Verkoppelte Feder-Masse-Systeme sind ideale Elemente, um das Thema Stoßgesetze auf einem alternativen Weg, jenseits von Energie- und Impuls-Erhaltung, zu behandeln. Im Kapitel Stoßgesetze sind wir - entgegen den physischen Realitäten - davon ausgegangen, dass die zusammenstoßenden Körper unverformbar hart sind. Entsprachen sie nicht diesem Idealbild, so war der Stoß unelastisch, was zu einem Energieverlust während des Stoßes führte.
Anders die Herangehensweise mit gekoppelten Feder-Masse-Systemen. Hier werden die Objekte bewußt als verformbar angesehen, allerdings als eine reversible Verformung wahlweise mit oder ohne Energieverlust. Vielmehr ist die Verformbarkeit zentraler Bestandteil des Lösungsansatzes. Infolge der Verformung ist der Stoß nunmehr kein unendlich kurzes Ereignis mehr, sondern ein Vorgang, der sich über eine endliche Zeitspanne erstreckt! Nun ist es auch nicht mehr erforderlich, zwischen elastischem und unelastischem Stoß zu unterscheiden. Die Elasitizität wird ganz einfach mittels Federspannung n und Federdämpfung δ eingestellt. So kann der deformierende Stoß mit einem System gekoppelter Differentialgleichungen behandelt werden.

Allerdings müssen wir uns klar darüber sein, dass uns nur ein Punktmassen-Ansatz zur Verfügung steht. In der Realität handelt es sich hierbei aber um ein Feder-Masse-Kontinuum. Wir dürfen also nicht erwarten, dass unser Punktmassenansatz vollkommen überzeugende Ergebnisse liefert.

Dezentraler Stoß unter Berücksichtigung der Deformation

zeigt die Situation vor und während des Stoßes analog zum dezentralen Stoß. Zwei Kugeln mit den Radien R₀₁ bzw. R₀₂ bewegen sich mit den Geschwindigkeiten

{\vec{v}}_{1}

und

{\vec{v}}_{2}

aufeinander zu. Im Stoßmoment liegen die Mittelpunkte (die auch gleichzeitig die Schwerpunkte der Kugeln sind) auf der Stoßlinie, die im Winkel β gegenüber der x-Achse geneigt ist.
Neu ist, dass die Kugeln durch je eine Punktmasse m₁ bzw. m₂ und je eine Feder mit den Federkonstanten n₁ bzw. n₂ repräsentiert werden. Beide Federn besitzen eine Ruhefederlänge l₀₁ = R₁ bzw. l₀₂ = R₂, die gleich den aktuellen Radien der beiden Kugeln sind. Egal, an welchen Stellen der Kugeloberflächen der Zusammenstoß stattfindet, überall wirkt diese Feder-Masse-Konstellation. Diese wird numerisch wie eine homogene Differentialgleichung behandelt, da für die folgenden Betrachtungen ohne Gravitationseinfluss gerechnet wird. Einzig die Anfangsbedingungen, d.h. die Geschwindigkeiten beider Kugeln im Stoßmoment, bestimmen die Lösung der Differentialgleichungen. Dabei ist die Gültigkeitsdauer der Differentialgleichungen für das (oder die) Feder-Masse-System(e) auf die Berührung beider Kugeln beschränkt.

Abb. Zusammenstoß federnder Körper vor dem Stoß

Nach dem Stoß, d.h. nach Beendigung der Berührung, trennen sich beide Kugeln wieder und bewegen sich entsprechend der berechneten Geschwindigkeitsvektoren

{\vec{v'}}_{1}

und

{\vec{v'}}_{2}

nach dem Stoß.

Der Einfachheit halber denken wir uns die Eigenschaften der am Stoß beteiligten Kugeln als gleich. Dadurch ändert sich die Geometrie des Feder-Masse-Systems wie in zu sehen ist. Die beiden Federn n₁ und n₂ werden zu einer doppelt so langen Feder zusammengefasst. Damit ändern sich die Federparameter so:

()

und entsprechend

()

Infolge des Stoßes wird die Ersatz-Feder gestaucht und die Kugeln verformen sich sichtbar zu Ellipsoiden.

Abb. und im Stoß

Das vorliegende Feder-Masse-System besteht nunmehr aus zwei Kugeln und einer Feder. Folglich werden die Bewegungen der beiden Kugeln durch ein System gekoppelter Differentialgleichungen beschrieben. Da keine äußeren Kräft wirken, sehen diese Differentialgleichungen sehr einfach aus.

Einzig die Federkraft wirkt auf beide Massen. Ihr Wert ergibt sich aus den Abständen beider Kugeln zueinander, abzüglich der Ruhefederlänge:

()

wobei

()

Der Stoßwinkel β ergibt sich aus den aktuellen Orten beider Kugeln im Stoßaugenblick:

()

Abb. Im Stoß wirkende Kräfte

Um bei gegebener Federreibung r die Differentialgleichungen aufstellen zu können, müssen jetzt die Komponenten der Federkraft entsprechend des Stoßwinkels β berechnet werden. Für die Masse m₁ gilt:

()

Und für die Masse m₂ - unter Beachtung der Tatsache, dass die wirkende Kraft an den einzelnen Kugeln entgegen gesetzt wirkt - gilt:

()

Division der durch m₁ bzw. der durch m₂ führt auf normierte Differentialgleichungen. In unserem Beispiel sind alle Massen gleich groß, d.h. m₁ = m₂ = m, wodurch die Reibungskoeffizienten r in die allgemein gültigere Dämpfung

δ = \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{m}

und der Quotient

\frac{n}{m} = {ω_{0}}^{2}

in das Quadrat der Eigenfrequenz überführt werden kann. Dann noch nach der höchsten auftretenden Ableitung umstellen. Dies führt schließlich auf die gesuchten Differentialgleichungssysteme:

()

und

()

Die Programm technische Umsetzung ist unproblematisch. Von entscheidender Bedeutung ist allerdings die genaue Ermittlung

des Stoßzeitpunktes (Stoßbeginn) und
des Stoßendes (Verlassen der Überlappungsbereiche)

verdeutlicht die Problematik. Stimmen nämlich die Zeitpunkte des real eintretenden Stoßes nicht mit dem durch die Bildwechsel vorgebenen Zeitraster überein, wird die Berechnung der Differentialgleichung des Feder-Masse-Systems zu früh oder zu spät begonnen oder beendet. In beiden Fällen ist die Federkraft F_F ≠ 0. Das führt zu falschen Geschwindigkeitswerten am Stoßende. Die Folge ist eine Verletzung der Erhaltungssätze für Impuls und Energie. Dies zu verhindern, sind die exakten Stoßzeiten dt' analog zu zu bestimmen, um die Berechnung der Differentialgleichung rechtzeitig zu beginnen und auch zu beenden.

Abb. Zeitmanagement vor und im Stoß

In der Darstellung werden die zusammen stoßenden Kugeln entsprechend der Verformung zu Ellipsoiden, deren Excentrizität proportional zur Zusammenpressung der Feder verändert wird.

Und welche physikalische Bedeutung kommt der Eigenfrequenz ω₀ zu? Entsprechend der Kollisionsbedingungen werden die Federn im Stoßbeginn zusammengepresst, um sich bis zum Stoßende wieder zu entspannen. Je nach Federsteifigkeit n und Masse m dauert dieser Vorgang mehr oder weniger lange und entspricht der halben Periodendauer T der Eigenschwingung. Folglich dauert der Stoßvorgang

()

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Abb. Beschleunigungsverlauf während des Stoßes

Je weicher die Federn, desto tiefer ist die Deformation der Bälle, desto länger dauert der Stoß. Je härter die Federn, desto kürzer ist der Stoß.
Auch die Dämpfung δ der Federn nimmt Einfluss auf den zeitlichen Verlauf des Stoßes. Eine größere Dämpfung bewirkt einen Energieverlust, der sich vorwiegend in einer Verlangsamung der Entspannungsphase äußert und damit auch geringere Geschwindigkeiten der Objekte nach dem Stoß.

Im Beispielprogramm ist eine Situation nachgebildet, die wir schon aus dem Kapitel Zwei Objekte stoßen zusammen kennen. Da es sich nun um eine Feder-Masse-System handelt, werden die Parameter Federkonstante n und Dämpfung δ mittels Schiebereglern einstellbar. Ebenfalls frei wählbar sind der Ort und der Geschwindigkeitsvektor der grünen Kugel.

Ergebnisdiskussion: Mit der Einführung verformbarer Objekte können die gleichen Bewegungsabläufe eines Stoßes nachgebildet werden wie im Kapitel Zwei Objekte stoßen zusammen ausgeführt. Eine Erhöhung der Federsteifigkeit n führt zu geringeren Deformationen beim Stoß und kann so die Illusion eines Stoßes harter Körper verstärken.
Restfehler bei der Erhaltung von Impuls und Energie werden durch die Zeitdiskretisierung infolge der Synchronisation mit den Bildwechseln hervor gerufen. Diese Fehler können durch Verringerung der Schrittweite vermindert werden.
Die selbe Maßnahme ist auch erforderlich, sollte die Federsteifigkeit n sehr groß gewählt werden. Denn dann ist die Dauer des Zusammenstoßes klein und die Anzahl der berechneten Zwischenschritte reicht nicht mehr aus, den Stoß mit den Phasen Stauchung und Ausdehnung ausreichend genau zu modellieren.

Dezentraler Stoß mit Zwangsbedingung

Im Kapitel Stoß zweier Objekte, wovon ein Objekt auf einer harten Ebene aufliegt haben wir die Grenzen der Stoßberechnung mit Hilfe der Erhaltungssätze für Energie und Impuls erfahren müssen. Nur mit etwas Schummelei gelang uns eine einigermaßen plausible Lösung, die für die Spieleentwicklung ausreichend sein mag, aber strengen mathematisch-physikalischen Anforderungen nicht genügt. Sehen wir also, ob uns mit dem Feder-Masse-Ansatz eine überzeugendere Lösung gelingt.

zeigt die prinzipielle Konstellation eines dezentralen Stoßes mit einem auf festem Untergrund ruhenden Objekt. Wieder verwenden wir das Feder-Masse-Modell unter der Voraussetzung, dass die Massen der Objekte als Punktmassen aufgefasst werden können und beide Massen im Stoßmoment mittels Feder verbunden sind. Neu ist, dass es auch eine Feder zwischen Untergrund und Massenzentrum des ruhenden Objektes - hier Kugeln - gibt. Unter der Voraussetzung dass beide Kugel gleiche Parameter (Radius R, Masse m und Federkonstante n) aufweisen, ergeben sich die Ersatz-Parameter zu

()

Abb. Zusammenstoß mit einem auf dem Boden ruhenden Körper

Womit die Differentialgleichungen aufgestellt werden können. Zunächst die Kräftegleichgewichte (die einzelnen Systeme sind durch hochgestellte Indeze gekennzeichnet):

(a)

für die Masse m₁ und analog für die Masse m₂

(b)

da wir hier ohne Gravitationseinfluss arbeiten wollen.

Aus ergeben sich unterschiedliche Federkräfte, weil die verbindende Feder zwischen m₁ und m₂ aus der Reihenschaltung der beiden Teilfedern besteht, die zum Boden weisende Feder aber nur eine einfache Feder ist.

Abb. Am Stoß beteiligte Kräfte

Daher gilt

(a)

wobei

(b)

mit

und

(c)

So lautet die Differentialgleichung für das 1. System:

()

und für das 2. System:

()

Auf die x-Komponente des DGl-Systems hat die Federkraft F_F⁽²⁾ keinen Einfluss, da in dieser Richtung keine Zwangsbedingung vorliegt (die Kugel in x-Richtung also frei beweglich ist).

Division beider Gleichungen und durch m wandelt die Kräfte in Beschleunigungen um. Damit kann der Reibungskoeffizient r in die allgemein gültigere Dämpfung

δ = \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{m}

und der Quotient

\frac{n}{m} = {ω_{0}}^{2}

in das Quadrat der Eigenfrequenz überführt werden. Dann noch nach der höchsten auftretenden Ableitung umstellen. Dies führt schließlich auf die gesuchten Differentialgleichungssysteme:

()

Mit diesen normalisierten Differentialgleichungen können die Lösungen der Bewegungsgleichungen durch das bekannte Symplektische Lösungsverfahren (EULER-CAUCHY) gewonnen werden. Dies betrifft aber nur die Berechnung der Bewegungen im Stoß. Also ist noch die Unterscheidung zwischen den Bewegungen außerhalb und innerhalb des Stoßes (Kollision!) zu treffen. Deshalb werden die Gleichungen und modifiziert:

()

worin die Beschleunigungen entsprechend der Kollisionsbedingungen eingesetzt werden:

()

gilt, sobald die Stoßbedingung erfüllt und so lange bis die Eigenschwingung der Masse m₂ abgeklungen ist.

Das folgende Beispiel stellt eine vereinfachte Situation des Stoßgeschehens dar. Das Geschehen wird mit Hilfe von zwei Feder-Masse-systemen, die - darin besteht die Vereinfachung - zunächst nur vertikal aufeinander treffen, modelliert. Diese Konstellation erlaubt es uns zu studieren, wie sich dieses System hinsichtlich Impuls- und Energeierhaltung verhält.
Zusätzlich zu den bekannten Bedienelementen, gibt es hier noch eine Debugging-Möglichkeit, die, wenn aktiviert, den Schrittbetrieb erlaubt. In diesem Fall werden noch weitere Parameter in der linken oberen Ecke angezeigt.

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Abb. Vereinfachte Stoßsituation

Die Ergebnisse der mit diesem vereinfachten Modell gewonnenen Erkenntnisse machen deutlich, dass es sich hier um schwingungsfähige Feder-Masse-Systeme handelt. Die kinetische Energie, die von der Masse m₁ in das System eingetragen wird, teilt sich zunächst auf die potentiellen Energien der beiden Federn (zwischen den Massen m₁ und m₂ sowie zwischen der Masse m₂ und dem Untergrund) auf. Während die in der Feder n₁ = 0.5·n (zwischen m₁ und m₂) im Zusammenstoß gespeicherte Energie, die beiden Massen wieder auseinander drückt und damit ein eine gegenläufige Bewegung versetzt, verbleibt die Energie in der Feder n₂ = n (zwischen der Masse m₂ und dem Untergrund) bzw. der Masse m₂ als Schwingungsenergie im System. Somit dauert das Auseinanderdrücken der Massen m₁ und m₂ nur eine halbe Schwingungsperiode lang, dann trennen sich die Massen - mit den jeweiligen Geschwindigkeiten, die sie am Ende der halben Schwingungsperiode erreicht haben - wieder. Diesem Prozess fehlt natürlich die Energie, die in der Schwingung dem Feder-Masse-System m₂ und Feder n₂ gebunden ist. Hinzu kommt, dass genau diese Energie infolge der Reibung (die in einem realen System nicht vernachlässigtwerden darf) in Wärme umgewandelt wird. Mit der Folge, dass sowohl der Energie-Erhaltungssatz als auch der Impuls-Erhaltungssatz verletzt werden.
Mit den Schiebereglern für die Eigenschwingung ω₀ und Dämpfung δ können unterschiedliche Materialien für die zusammenstoßenden Körper simuliert werden. Eine Erkenntnis ist sehr wichtig: je härter die Federn angenommen werden, desto näher kommt das System an die idealen Bedingungen, bei denen die Erhaltungssätze gelten.

In diesem allgemein gültigen Beispiel wird das Stoßgeschehen unter gleichen Bedingungen, wie im Kapitel Zwei Objekte, wovon ein Objekt auf einer harten Ebene aufliegt beschrieben, untersucht. Auch hier gibt es eine Debugging-Möglichkeit, die, wenn aktiviert, den Schrittbetrieb erlaubt.

Für die Lösung der Differentialgleichung verwenden wir den einfachen EULER-CAUCHY-Verfahren, weil er sehr unkompliziert auf größere Systeme, wie das hier aus vier gekoppelten Differentialgleichungen bestehende System, angewendet werden kann.

Ergebnisdiskussion: Mit der Feder-Masse-Lösung ist die Simulation des Stoßes mit einem am Boden liegenden Objekt hinreichend gut gelungen, auch wenn die Forderungen der Erhaltungssätze (bei δ = 0) nicht sehr gut erfüllt werden. Die Frage ist, ob denn überhaupt nach der Einhaltung der Erhaltungssätze geurteilt werden sollte. Der hier gewählte Ansatz der gekoppelten Feder-Masse-Systeme schließt ja Energie-Verluste infolge der inneren Schwingungen ein. Damit die Schwingungen abklingen können, muss die in der Schwingung gebundene Energie in Wärme umgewandelt werden. Also ein Verstoß gegen die Energieerhaltung. Mit dem Impuls verhält es sich ähnlich.
Eine weitere Ursache liegt in der Zeitdiskretisierung infolge der Synchronisation mit der Bildwechselfrequenz, die eine exakte Bestimmung der Kollisionsmomente verhindert. Eine Verbesserung ergibt sich, wenn die Übergänge zwischen den drei Phasen exakter ausgeführt werden. Im einfachsten Fall geschieht das durch die Verringerung der Schrittweite, was auch zu einer Verbesserung der Rechengenauigkeit des ODE-Solvers führt.
Im vorliegenden Beispiel werden zwischen zwei Bildwechseln I = 32 Schritte bei der Berechnung, vor allem aber der Erkennung der Kollision, ausgeführt.
Bei sehr harten Kugeln wäre zu erwarten, dass bei einem senkrechten Stoß auf die liegende Kugel, nur eine Reflexion der stoßenden Kugel an der ruhenden Kugel erfolgt, ohne dass sich diese bewegen würde. Hier ist das nicht der Fall. Auch die bisher ruhende Kugel erhält einen Impuls, so dass sich diese nach dem Stoß ebenfalls bewegt.

Dezentraler Stoß von drei Objekten

Im Kapitel Pragmatische Annäherung an das 3-Körper-Problem wurde darauf hingewiesen, dass eine Lösung dieser Aufgabe mit den Mitteln der Erhaltungssätze für Energie und Impuls allein nicht lösbar ist, deshalb wurde dort eine intuitive Ersatzlösung vorgestellt. Ob uns eine korrekte Lösung mit Hilfe von Feder-Masse-Systemen gelingt?
zeigt die Situation, wenn drei Bälle ohne zeitlichen Verzug aufeinander prallen. Dabei spielt es keine Rolle, aus welcher Richtung die Bälle aufeinander stoßen. Das legt die erweiterte Verwendung der Lösung für den dezentralen Stoß mit Deformation zweier Bälle, die durch ein Feder-Masse-System modelliert werden ( bis ), nahe.
Wir gehen wieder davon aus, dass alle drei Bälle gleiche Eigenschaften besitzen. Daraus können die "Federeigenschaften" der Bälle im Stoßmoment abgeleitet werden:

()

Abb. Drei Kugeln stoßen zusammen

Mit den Werten für die Deformation

Δ l^{(i j)} = l_{i, j} - 2 R

können die wirkenden Federkräfte

F_{F}^{(i j)}

berechnet werden:

()

Und die Bälle stoßen unter den Winkeln

()

zusammen.

Gemäß können jetzt in Analogie zur Vorgehensweise beim dezentralen Stoß mit Deformation die Differentialgleichungen aufgestellt werden:

Abb. Feder-Masse-System mit drei Kugeln

(a)

(b)

(c)

Woraus schließlich die sechs Differentialgleichungen für je eine der Geschwindigkeitskomponenten jedes der drei Bälle folgen:

(a)

(b)

(c)

Für die Programm technische Umsetzung ist die Berechnung der Stoßwinkel β_i,j nicht erforderlich, da diese Winkel ausschließlich im Zusammenhang mit den trigonometrischen Funktionen sin() bzw. cos() verwendet werden. Um den doppelten Aufwand für diese Berechnungen zu vermeiden, können die sin()- bzw. cos()-Werte direkt aus den geometrischen Beziehungen (siehe Geistesblitz) abgeleitet werden.

Das Beispielprogramm ermöglicht eine Konstellation der Bälle, die immer zu einem Tripel-Stoß führt. Um dies zu ermöglichen, werden die Startpositionen der Bälle entsprechend ihrer Geschwindigkeitsbeträge und -winkel angepasst. Der besseren Übersichtlichkeit sind nur die Winkel der Bälle B2 und B3 sowie die Startgeschwindigkeit des Balles B3 per Schieberegler veränderbar. Diese Einschränkung reduziert die Allgemeingültigkeit der Aussagen des Programms nicht.

Ergebnisdiskussion: Mit der Einführung verformbarer Objekte können die Bewegungsabläufe eines Stoßes nachgebildet werden, wie sie laut Kapitel Beliebig viele Objekte stoßen aneinander nicht ausgeführt werden konnten. Diese Methode ist universell anwendbar, die sie auf beliebig viele Objekte erweitert werden kann.
Restfehler bei der Erhaltung von Impuls und Energie sind auf die Zeitdiskretisierung infolge der Synchronisation mit den Bildwechseln zurück zu führen. Diese Fehler können durch Verringerung der Schrittweite vermindert werden.
Die selbe Maßnahme ist auch erforderlich, sollte die Federsteifigkeit n sehr groß gewählt werden. Denn dann ist die Dauer des Zusammenstoßes klein und die Anzahl der berechneten Zwischenschritte reicht nicht mehr aus, den Stoß mit den Phasen Stauchung und Ausdehnung ausreichend genau zu modellieren.

Symbol	Bedeutung
m	Masse [kg]
r	Reibzahl [kg/s], z.B. für STOKESsche Reibung ()
n	Federkonstante [N/m]
F_T	Trägheitskraft [N]] ()
F_R	Reibungskraft [N] ( bzw. )
F_F	Federkraft [N]
a	Beschleunigung [m/s²]
δ	Dämpfung [1/s] ()
ω₀	Kreisfrequenz der Eigenschwingung [rad/s] ()
R / R₀	Radius, Ruheradius der Kugeln [m]
Δl	Längenänderung der Feder [m]
β	Stoßwinkel [°] oder [rad]