Advanced Games Physics
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Physikalische Grundlagen von Computerspielen

Alle Themen in diesem Kapitel:

Was erwartet Dich?

Was mich an der Physik begeistert, ist die Tatsache, dass mit ganz wenigen und absolut verständlichen Voraussetzungen große Physik gemacht werden kann. So können wir mit Hilfe der drei NEWTON'schen Axiome und der beiden Erhaltungssätze (Energie und Impuls) alle Bewegungsabläufe herleiten. Und, was auch von Vorteil ist: wir können stets unsere Alltagserfahrungen benutzen, um das Ergebnis eines Programmier­ versuches zu Überprüfen. Kurz, die folgenden Kapitel haben physikalische Grundlagen und deren Programm technische Realisierung von Computerspielen zum Gegenstand.

Klingt eigentlich ganz easy! Oder? Na ja, ganz so einfach ist es dann doch nicht. Denn ohne Mathematik geht es nicht:
Ganz elementar sind Kenntnisse der Trigonometrischen Funktionen, der Differentiation und der Integration. Wir werden sehen, dass alle Bewegungen mathematisch durch sog. Differentialgleichungen beschrieben werden können. Solche Differentialgleichungen leiten sich aus den Objekteigenschaften wie Masse, Reibung oder Federwirkung und deren Zusammenwirken her. Differentialgleichungen sind Bestimmungsgleichungen für Variable, z.B. die Ortskoordinaten x, y, z eines sich bewegenden Objekts. Das Besondere daran ist aber, dass diese Variable nicht als einzelner Zahlenwert, sondern als Zeitfunktion bestimmt werden. Ist die Zeitfunktion der Ortskoordinaten bekannt, dann ist auch die Bewegung des Objektes bekannt - und das ist ja das Ziel unserer Bemühungen! Also werden wir
Unser Augenmerk muss sich aber auch auf Maßstäbe und die Zeitskalierung richten. Denn der Spielplatz ist der Computerbildschirm und nicht der Fußballplatz, auf dem das Spiel scheinbar stattfindet. Und eine Zeitskalierung ist erforderlich, um z.B. kosmische Vorgänge in den Zeitrahmen einer Spielsession zu bringen.

Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit

Stellen wir uns vor, wir fahren mit dem Auto von einer Ampelkreuzung zu einer weiteren Ampelkreuzung. Unsere Fahrt beginnt bei tA - nämlich wenn die Ampel auf grün schaltet. Kuppeln, Gang einlegen und so lange Gas geben, bis die erlaubte Geschwindigkeit erreicht ist (t2). Im Idealfall (keine Reibung) kann das Fahrzeug bis t3 ohne weitere Beschleunigung mit gleich bleibender Geschwindigkeit fahren. Bei t3 kommt die nächste Ampel mit rot in Sicht und der Fahrer bremst das Fahrzeug bis zum Stillstand ab (tE). Dabei verringert sich die Geschwindigkeit bis auf Null. Insgesamt hat das Fahrzeug den Weg von sA nach sE zurück gelegt. Würden während der Fahrt die einzelnen Parameter aufgezeichnet werden, ergäben sich die in gezeigten Verläufe:

Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung

Abb. Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung über der Zeit
download p5.js
run program
Und die mittlere Geschwindigkeit berechnet sich zu:
()
Formel 1
Die Geschwindigkeit wird also als Quotient aus Wegdifferenz zu Zeitdifferenz dargestellt. Allerdings wird die Formel nur die mittlere Geschwindigkeit berechnen, da auf die Bewegung des Fahrzeuges innerhalb des Zeitintervalls überhaupt nicht eingegangen wird.
Dem Fahrer ist mit der mittleren Geschwindigkeit bezüglich der gesamten Weg­ strecke wenig geholfen. Eigentlich will er die Momentangeschwindigkeit wissen, um z.B. Geschwindigkeitslimite einzuhalten. Etwas näher kommen wir der Wahrheit, wenn wir die Geschwindigkeiten der einzelnen Streckenabschnitte berechnen:
()
Formel 2
Natürlich können wir mit den anderen Streckenabschnitten genauso verfahren - dennoch, auch diese sind nur mittlere Geschwindigkeiten, aber eben etwas genauer berechnet.
Es ist nahe liegend, dass die Genauigkeit der Geschwindigkeitsberechnung steigt, je kleiner das Zeitintervall gewählt wird ().

Steigung einer Sekante

Abb. Steigung einer Sekante durch zwei Punkte einer Kurve


Geistesblitz
Die Streckenabschnitte, die durch t1 und t2 begrenzt werden, könnten ebenso durch ein Geradenstück ersetzt werden, da ja die Details zwischen den Intervallgrenzen t1 und t2 nicht betrachtet werden. Gegenüber der Berechnung aus der originalen Weg-Zeitfunktion hat die ersatzweise Berechnung mit Hilfe der Geraden den Vorteil der einfacheren Hand­ habung. Jede Gerade hat eine Steigung,
()
Formel 3
die dem Quotienten aus Wegstrecke und Zeitintervall proportional ist. Aber gerade dieser Quotient ist es, der der (mittleren) Geschwindigkeit im Intervall gleich ist.
()
Formel 4
also gilt:
()
Formel 5
Die Geschwindigkeit ist also proportional zur Steigung der Geraden. Solange das betrach­ tete Intervall nicht unendlich klein ist, handelt es sich bei dieser Geraden um eine Sekante. Werden die Intervalle jedoch immer kleiner, um zu größeren Genauigkeiten zu kommen, dann wird aus der Sekante eine Tangente (). Und die Steigung dieser Tangente kann, wie bekannt ist, durch das Differential berechnet werden!
Übergang von Sekante zu Tangente

Abb. Übergang von der Sekante zur Tangente


Im Grenzfall wird das Intervall unendlich klein
()
Formel 6
und aus dem Differenzenquotient wird der Differential­quotient (). Diese Geschwindigkeit wäre dann die Momentangeschwindigkeit! Wäre, weil diese Messung praktisch nicht möglich ist. Wer oder welche Technik könnte schon ein unendlich kleines Zeitintervall messen? Dennoch werden wirauch wenn es mathematisch nicht korrekt ist, die Geschwindigkeit, je nach Bedarf als Differenzen­quotient oder als kraftDifferential­qoutient behandeln.

Für die Berechnung der momentanen Beschleunigung werden die gleichen Schritte wie bei der Berechnung der Geschwindigkeit gegangen - nur dass jetzt nicht die Wegänderung, sondern die Geschwindigkeits­änderung auf die Zeitspanne bezogen wird. Es gilt dann

()
Formel 7
Damit ist die Beschleunigung dem Anstieg der Geschwindigkeitskurve in dem interes­ sierenden Punkt gleich!

Hier kannst Du mal selbst probieren, wie Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit zusammen hängen. Freilich, das Auto, mit dem Du hier experimentieren kannst, ist schon etwas eigenwillig. Wenn das Gaspedal betätigt wird, gibt es nur Vollgas und wenn gebremst wird, dann nur mit voller Kraft. Im Beispiel ist die Bremsverzögerung doppelt so groß wie die Beschleunigung beim Gasgeben.
Bei der Betrachtung der fällt auf, dass die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Kurven durch Differentiale oder Integrale ausgedrückt werden können. Das ist nicht verwunderlich, denn die hergeleiteten Gleichungen beweisen dies wenigstens für die Abhängigkeiten der Beschleunigung von der Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit vom Weg-Zeit-Verhalten. So ergibt sich das folgende Bild ():
Zusammenhang s-v-a
Abb. Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung


Zur Beachtung!
Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung beschreiben die Bewegung eines Objektes. Entweder werden diese Größen aus der Bewegung des Objektes hergeleitet (Analyse) oder sie werden auf Grund bekannter Rahmenbedingungen (Startort, Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung) berechnet (Synthese). Genau diese Synthese ist es, auf die unsere Bemühungen abzielen.

Physikalische Größen und Einheiten sowie verwendete Bezeichnungen

Bei meinen Ausführungen wende ich konsequent das Internationale Einheitensystem oder SI (Système international d'unités) an. Es ist das am weitesten verbreitete Einheiten­ system für physikalische Größen. Da es ein kohärentes metrisches Einheitensystem ist, lassen sich die meisten physikalischen Einheiten auf wenige, grundlegende Einheiten zurück führen:
SI Einheit Maßeinheit Name
Länge m Meter
Zeit s Sekunde
Masse kg Kilogramm
Stromstärke A Ampere
Temperatur K Kelvin
Lichtstärke cd Candela
Stoffmenge mol Mol
Für unsere Zwecke sind von den angegebenen SI-Einheiten nur die ersten drei von Bedeutung.

Um die physikalischen Gegebenheiten mathematisch fassen zu können, werden noch die folgenden Begriffe benötigt:

Im zweidimen­sionalen Raum:
P x , y Punkt x[m], y[m]
t Zeit [s]
s t Ortsvariable (analog x, y) [m]
v t = d s d t = s · Geschwindigkeit [m/s]
a t = d v d t = v · Beschleunigung [m/s²]


Im dreidimen­sionalen Raum:
P x , y , z Punkt [m]
s t Variable [m]


Und in Vektor­schreib­weise:
P x , y , z Punkt, Ortsvektor [m]
s t Variable, Ortsvektor [m]
v t = d s d t = s · Geschwindigkeitsvektor [m/s]
a t = d v d t = v · Beschleunigungsvektor [m/s²]


Physikalische Größen bestehen stets aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit. Maßzahlen sind (ganze oder reelle) Zahlen, die durch eine Maßeinheit ergänzt werden. Sie drücken den Wert einer physikalischen Größe aus.

Werden die Maßzahlen aber durch ein physikalisches Symbol repräsentiert (z.B. v für Geschwindigkeit), wird die Maßeinheit wegen der besseren Unterscheidung in eckige Klammern gesetzt, z.B. [m/s]. Sie gibt sowohl die physikalische Bedeutung als auch die Größenordnung an (z.B. v [km/h]). Werden nun physikalische Größen in Computerprogrammen berechnet, so kann die Maßeinheit nicht mitgeführt werden; der Computer kann ja nur Zahlen verarbeiten!
D.h. es ist zweckmäßig, eine physikalische Größe im gesamten Programm ohne Veränderung der Maßeinheit zu verwenden. Am besten, man verwendet die durch die SI-Einheiten vorgegebene Größenordung, also [m] und nicht [km].

Wie Du sicher bemerkt hast, verwende ich die nach DIN 1302 übliche mathematische Symbolik für die Ableitung von Funktionen nach der Zeit als unabhängige Variable. Im Unterschied zu allen anderen Variablen werden die Ableitungen nach der Zeit durch einen Punkt (bei höheren Ableitungen auch mehreren Punkten) verdeutlicht:
()
Formel 8
Im Gegensatz zu
()
Formel 9


NEWTONs Axiome

Isaak NEWTON (1643-1727) formulierte mit seinen drei Axiomen und dem zusätzlichen Superpositionsprinzip das Fundament der Kinematik.
  1. Axiom - Trägheitsprinzip
    "Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird."

  2. Axiom - Aktionsprinzip
    "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."

  3. Axiom - Reaktionsprinzip
    "Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio)."

  • Superpositionsprinzip
    "Wirken auf einen Punkt oder starren Körper mehrere Kräfte, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft."

Bildnis Newton Quelle: Newton.img public domain (Gemeinfrei wikimedia)

Schlussfolgerungen aus dem 1. Axiom

Wirken keine äußeren Kräfte, bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers in Betrag und Richtung unverändert.

Schlussfolgerungen aus dem 2. Axiom

Aus Δ v F · Δ t folgt, dass die Änderung der Geschwindigkeit proportional der Kraft und der Einwirkungsdauer ist.
Anders ausgedrückt ist die Kraft F Δ v Δ t der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit proportional.
Der Ausdruck lim Δ t 0 Δ v Δ t = d v d t = a wird Beschleunigung genannt.
Geistesblitz
Um aus der Proportionalität eine Gleichung zu, bedarf es einer Proportionalitätskonstante. Diese stellt die Masse m des zu bewegenden Körpers dar.
Daher der Satz: "Kraft ist Masse mal Beschleunigung."
()
Formel 10

Schlussfolgerungen aus dem 3. Axiom

Zu jeder Kraft gibt es eine gleichgroße Gegenkraft:
()
Formel 11

Schlussfolgerungen aus dem Superpositionssatz (Überlagerungssatz)

Kräfte addieren sich vektoriell zu einer resultierenden Kraft,
()
Formel 12

Freiheitsgrade

Bewegt sich eine Punktmasse entlang einer Linie, sagen wir der x-Achse, dann hat diese Punktmasse einen Freiheitsgrad. Denn sie kann alle Orte auf der Linie einnehmen, Orte außerhalb der Linie sind für diese Punktmasse nicht erreichbar! Dem entsprechend hat eine Punktmasse zwei oder drei Freiheitsgrade, bewegt sie sich in der Ebene oder im Raum ()
Freiheitsgrade Punktmasse
Abb. Freiheitsgrade einer Punktmasse
Freiheitsgrade Körper
Abb. Freiheitsgrade eines starren Körpers


Ein starrer Körper besitzt dagegen maximal 6 Freiheitsgrade. Zu den drei Freiheitsgraden, die die Positionierung des Körpers im Raum betreffen, kommen noch drei weitere Freiheits­grade für die Drehmöglichkeiten um den Schwerpunkt des Körpers hinzu ().

Energie, Leistung und Impuls

Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit beschreiben die Bewegung eines Körpers. Was aber verursacht die Bewegung des Körpers? Hierfür sind weitere physikalische Größen von Bedeutung:
Einheit Symbol Maßeinheit Name
Kraft F N Newton
Dreh­moment M Nm Newtonmeter
Impuls bzw. Kraftstoß p Ns oder kgm/s Newtonsekunde
Dreh­impuls L Nms Newtonmeter­sekunde
Energie W J, Nm, Ws Joule, Newtonmeter, Wattsekunde
Leistung P W, J/s, Nm/s Watt, Joule/Sekunde, Newton­meter/Sekunde


Mechanische Energie

Energieerhaltungssatz
Energie kann nicht vernichtet, aber auch nicht geschöpft werden. Nur Umwandlungen von einer Energieform in eine andere sind möglich!

Die mechanische Energie tritt in zwei Erscheinungsformen auf:
  1. als "Energievorrat" in Form potentieller oder kinetischer Energie. Diese Formen werden auch konservative Energien genannt, weil sie wie aus einer "Konserve" abgerufen werden können.

    • die potentielle Energie eines Körpers wird durch seine Lage in einem Kraftfeld gekennzeichnet. Der Zusatz "potentiell" deutet darauf hin, dass diese Energie zur Verrichtung von Arbeit zur Verfügung steht, aber noch nicht abgerufen worden ist.

      Allgemein gilt:
      ()
      Formel 13
      Dabei ist es gleich, ob die Kraft durch einen Reibungswiderstand, die Gravitation oder eine Kraft anderen Ursprungs hervorgerufen wird. Insbesondere für die Gravitation als wirksame Kraft nimmt die potentielle Energie diese Form an:
      ()
      Formel 14
      worin G das Gewicht und h die Höhe, in der sich der Körper über dem Erdboden befindet, bedeuten. Das Gewicht wiederum hängt von der Masse des Körpers und der Erdanziehung ab:
      ()
      Formel 15
      wobei m die Masse des Körpers in kg und g die Erdbeschleunigungskonstante auf der Erdoberfläche bedeuten. Die Energie ist im Kraftfeld gespeichert.

    • Geistesblitz
      on/off
      die kinetische Energie oder auch Bewegungsenergie ist einer Masse m eigen, die sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt.
      Allgemein gilt:
      ()
      Formel 16
      Hier ist wieder m die Masse des bewegten Körpers und v seine Geschwindigkeit. In seiner Geschwindigkeit kommt die dem Körper innewohnende Energie zum Ausdruck.


  2. oder

  3. als "aufgewendete Energie" in Form geleisteter Arbeit. Diese Form wird auch als nichtkonservative Energie bezeichnet, weil sie für weitere Energieumwandlungen nicht mehr zur Verfügung steht. Meist liegt diese Energie als Wäärmeenergie vor, aber auch als Verformung oder Zerstörung.

    • die aufgewendete Energie, die erforderlich ist, einen Körper gegen ein Kraftfeld F um den Weg s zu verschieben, ist gleichfalls durch das vektorielle Punktprodukt aus den beiden Größen gegeben:
      ()
      Formel 17
      In diesem Fall wird auch von geleisteter Arbeit gesprochen. Die Berechnung der geleisteten Arbeit erfolgt ganz genau so, wie die der potentiellen Energie. Nur die Bedeutung ist eine andere. Die potentielle Energie spricht einen Energievorrat an, die geleistete Arbeit eine dafür aufgewendete Energiemenge.

Leistung

Wenn ein Auto auf eine bestimmte Geschwindigkeit beschleunigt wurde, dann verfügt es über kinetische Energie. Der Wert dieser Energiemenge sagt aber nichts darüber aus, wie lange der Motor beschleunigen musste, um dem Auto diese Geschwindigkeit zu verleien. Mit Sicherheit ist es so, dass ein Auto, welches die gewünschte Geschwindigkeit in kürzerer Zeit erreicht als ein anderes Auto, ein leistungsfähigeren Motor haben muss. Deshalb wird bei den Kenngrößen, die im Werbeprospekt angegeben werden nicht die Energie, sondern die Leistung des Motors angegeben. Aus der vorangegangenen Überlegung ergibt sich, dass die Leistung ein Maß dafür darstellt, wieviel Energie in welcher Zeit zur Verfügung gestellt oder auch verbraucht wird:
()
Formel 18

Impuls und Kraftstoß

Der Impuls p ist neben den schon genannten Bewegungsgrößen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung eine weitere Kenngröße bewegter Objekte, wobei aber hier die Masse des Körpers die Größe des Impulses beeinflusst. Der Impuls ist wie die mit ihm verknüpfte Geschwindigkeit eine Vektorgröße, hat also einen Betrag und weist in die Richtung der Bewegung. Der Impuls ist eine Erhaltungsgröße.

In einem geschlossenen System ist die Summe aller Teilimpulse konstant.

Wirkt eine Kraft über eine Einwirkungsdauer auf einen Körper ergibt sich eine Impulsänderung. Dies steht nicht im Widerspruch zum Impulserhaltungssatz, da diese Kraft von außen einwirkt, das System also nicht als abgeschlossen gelten kann. Das Produkt aus Kraft und Einwirkungsdauer wird als Kraftstoß bezeichnet. Dieses Produkt ist genau dem Zuwachs des Impulses gleich. Dabei spielen wieder sowohl der Betrag als auch die Richtung der Kraft eine Rolle.

Die Verknüpfung von Impuls und Kraftstoß kann leicht aus dem 2. NEWTONschen Axiom hergeleitet werden:

Form erweitern mit Δt
()
Formel 19
ergibt:
()
Formel 20

wobei in
(a)
Formel 21

die rechte Seite den Impuls und
(b)
Formel 21

die linke Seite den Kraftstoß beschreibt.

Drehmoment und Drehimpuls

Wie die Namen bereits nahelegen, sind Drehmoment und Drehimpuls physikalische Größen, die auf Kräfte und Impulse in rotierenden Anordnungen Bezug nehmen. Darum werden wir uns eingehender mit diesen Größen befassen, wenn wir die Drehbewegung behandeln.