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Eigenschaften und Kenngrößen der rotatorischen Bewegung

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Alle Themen in diesem Kapitel:

Rotatorische Bewegung

Neben der translatorischen Bewegung ist die Rotation die wichtigste Bewegungsart. Hinsichtlich der physikalischen Herangehensweise gibt es Unterschiede zwischen beiden Bewegungsarten, jedoch auch viele Analogien. Diese Analogien gestatten es uns, mit dem selben mathematischen Lösungsapparat zu arbeiten, was uns viele Mühen ersparen wird.

Überlegungen zu Eigenschaften und Kenngrößen der rotatorischen Bewegung sind dadurch gekennzeichnet, dass es für jedes Objekt einen Dreh- oder Fixpunkt gibt, um den sich der Körper dreht. Bei einer reinen Drehung gibt es in diesem Punkt keine bewegten Massen! Außerhalb dieses Punktes bewegen sich die Masseelemente auf Kreisbahnen um diesen Punkt. Dabei unterscheiden wir zwei Fälle: zeigt einen Körper, der sich um eine fixiert gelagerte Achse drehen kann. Diese Achse fixiert den Drehpunkt des Masse in einem erzwungenen Fixpunkt. Demgegenüber zeigt die einen nicht fixierten Körper. Wenn ein solcher Körper in Rotation versetzt wird, dann dreht er sich um seinen Schwerpunkt. Dieser Drehpunkt heißt freier Fixpunkt und ist mit dem Schwerpunkt identisch. Eine Achse, die durch den Schwerpunkt verläuft, heißt Schwerachse oder auch Hauptachse. Weil der Begriff "Fix"-Punkt zu Irritationen führen kann, bevorzuge ich den Begriff "Drehpunkt".

Drehung um einen erzwungenen Fixpunkt

Abb. Drehung um einen erzwungenen Fixpunkt
Drehung um einen freien Fixpunkt

Abb. Drehung um einen freien Fixpunkt


Doch bevor wir tiefer in die rotatorischen Bewegungen einsteigen, wollen wir mit unseren bisher gewonnenen Kenntnissen der beschleunigten Bewegung als Einstieg in die Thematik die Pendelbewegung untersuchen.

Das mathematische Pendel

zeigt ein idealisiertes Pendel, daher wird es auch mathematisches Pendel genannt. Die Idealisierung besteht darin, dass die gesamte Masse des Pendels m in einem Punkt konzentriert (Punktmasse) und an einem drehbar gelagerten, starren und masselosen Stab befestigt ist. Wegen der Fixierung an einem Aufhängepunkt, kann sich das Pendel nur auf einer Kreisbahn, deren Radius der Pendellänge entspricht, bewegen. Der Weg, den die Pendelmasse bescheibt, liegt also auf einem Kreissegment, den wir hier wieder mit s bezeichnen. Da der Ort der Masse auch noch vom Pendelwinkel φ abhängt, haben wir zwei Kenngrößen für die Ortsbeschreibung, die in den sog. Polarkoordinaten formuliert werden.

Die Gravitation, die senkrecht nach unten wirkt, kann nur in Richtung einer Kreisbahn, deren Radius durch die Pendellänge l gegeben ist, wirken. Entsprechend kann die Masse auch nur in diese Richtung beschleunigt werden:

()
Formel 1

Mathematisches Pendel

Abb. Mathema­tisches Pendel

Weil die Pendellänge unveränderlich sein soll, kann der Weg s, den die Masse zurücklegt, einfach durch den Pendelwinkel φ (gemessen in rad) und die Pendellänge l ausgedrückt werden ():

()
Formel

Geistesblitz
on/off


Das Kräftegleichgewicht entsprechend berücksichtigt einerseits die beschleunigende Wirkung der Gravitation F (actio) und andererseits die Massenträgheit FT sowie die Reibungskraft FR (reactio):

()
Formel

Das Kräftegleichgewicht durch die Bewegungsgrößen ausgedrückt:

()
Formel

Bzw. unter Berücksichtigung von :

()
Formel

Bei Betrachtung von fällt auf, dass zwei Variablen auftauchen, nämlich s bzw. φ. Wie zeigt, sind diese aber nicht unabhängig von einander. Also machen wir davon Gebrauch und ersetzen s durch φ:

()
Formel


Geistesblitz
on/off
Aus folgt durch Umstellen und Ordnen die Normalform der Differentialgleichung:

()
Formel

Haben wir die Lösung für die Bewegungsgröße φ(t), müssen wir den Ort der Masse durch seine x, y-Koordinaten beschreiben, um die Darstellung auf dem Monitor zu ermöglichen (die Verwendung der Matrix-Befehle translate und rotate würde diesen Schritt erübrigen!), dann müssen wir die Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen. Dazu gibt es eindeutige Transformationsregeln (). Im Abschnitt Analogien zwischen Rotation und Translation gehen wir ausführlicher darauf ein!

()
Formel

Geistesblitz
on/off
Für die Lösung der Differentialgleichung entspr. setzen wir in bewährter Weise eine numerische Lösung nach einer der bekannten ODE-Solver ein, da eine analytische Lösunge nur eingeschränkt möglich ist.

Im beigefügten Beispielprogramm wird ein Pendel veränderlicher Länge l und veränderlichem Startwinkel φ0 dargestellt. Pendellänge und Winkel werden per drag'n drop mit der Maus eingestellt. Weiterhin kann das Reibung-Masse-Verhältnis rm mittels Schieberegler beeinflusst werden.
Im Anzeigefenster oben links werden die aktuellen Werte für Pendellänge und Pendelwinkel numerisch angezeigt. Im Anzeigefenster unten links werden die ideale und die gemessene Periodendauer gegenüber gestellt.
download processing
download p5.js
run program


Ergebnisdiskussion: Wenn Du in den Programmcode schaust, wundere Dich nicht über die eigentümliche Anwendung der Winkelfunktionen. Ursache hierfür ist die vom Üblichen abweichende Orientierung des Koordinatensystems, welches um -90° gedreht ist. So können die Verhältnisse beim Pendel am bequemsten behandelt werden.
Problematisch ist die Messung der Periodendauer. Wegen der Diskretisierung der Zeit können immer nur ganze Vielfache der Dauer eines Frames (Bildwechsel!) gemessen werden. Um dennoch eine größere Genauigkeit zu erreichen, wird das Zeitincrement dt auf den Iten Teil seines ursprünglichen Wertes verkleinert. Der Parameter I ist gegenwärtig auf den Wert 8 gesetzt, kann aber in der Variablendeklaration auf beliebige andere Werte eingestellt werden. Allerdings: größere Werte verlangsamen u.U. den Programmablauf!
Was aber noch bemerkenswert ist: Das Aufstellen der Differentialgleichung ist nicht mehr so einfach und übersichtlich, wie es bei der Translation war. Die Mischform von Weg s und Winkel φ in verlangt förmlich eine andere, aber einheitliche Behandlungsweise!

Bei der Ausführung des Programms ist die Abhängigkeit der Periodendauer der Pendelschwingung von der Pendellänge deutlich zu sehen. Im Idealfall, d.h. ohne Reibungseinfluss, ist die Pendelbewegung unabhängig von der Pendelmasse.
Wie zu erwarten, ist die Übereinstimmung zwischen vorhergesagter und gemessener Periodendauer bei kleinen Ausschlägen am größten. Die verbleibenden Unstimmigkeiten sind auf die Zeitdiskredisierung bei der numerischen Lösung der DGl. zurück zu führen.