8. Kapitel
Eigenschaften und Kenngrößen der rotatorischen Bewegung
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Rotatorische Bewegung
Neben der translatorischen Bewegung ist die Rotation die wichtigste Bewegungsart. Hinsichtlich der physikalischen Herangehensweise gibt es Unterschiede zwischen beiden Bewegungsarten, jedoch auch viele Analogien. Diese Analogien gestatten es uns, mit dem selben mathematischen Lösungsapparat zu arbeiten, was uns viele Mühen ersparen wird.Überlegungen zu Eigenschaften und Kenngrößen der rotatorischen Bewegung sind dadurch gekennzeichnet, dass es für jedes Objekt einen Dreh- oder Fixpunkt gibt, um den sich der Körper dreht. Bei einer reinen Drehung gibt es in diesem Punkt keine bewegten Massen! Außerhalb dieses Punktes bewegen sich die Masseelemente auf Kreisbahnen um diesen Punkt. Dabei unterscheiden wir zwei Fälle: zeigt einen Körper, der sich um eine fixiert gelagerte Achse drehen kann. Diese Achse fixiert den Drehpunkt des Masse in einem erzwungenen Fixpunkt. Demgegenüber zeigt die einen nicht fixierten Körper. Wenn ein solcher Körper in Rotation versetzt wird, dann dreht er sich um seinen Schwerpunkt. Dieser Drehpunkt heißt freier Fixpunkt und ist mit dem Schwerpunkt identisch. Eine Achse, die durch den Schwerpunkt verläuft, heißt Schwerachse oder auch Hauptachse. Weil der Begriff "Fix"-Punkt zu Irritationen führen kann, bevorzuge ich den Begriff "Drehpunkt".
Abb. Drehung um einen erzwungenen Fixpunkt
Abb. Drehung um einen freien Fixpunkt
Doch bevor wir tiefer in die rotatorischen Bewegungen einsteigen, wollen wir mit unseren bisher gewonnenen Kenntnissen der beschleunigten Bewegung als Einstieg in die Thematik die Pendelbewegung untersuchen.
Das mathematische Pendel
zeigt ein idealisiertes Pendel, daher wird es auch
mathematisches Pendel
genannt. Die Idealisierung besteht darin, dass die gesamte Masse des Pendels m
in einem Punkt konzentriert (Punktmasse)
und an einem drehbar gelagerten, starren und masselosen Stab befestigt ist. Wegen der
Fixierung an einem Aufhängepunkt hat die gesamte Anordnung nur einen
Freiheitsgrad.
Die Pendelmasse kann sich demnach nur auf einer Kreisbahn, deren
Radius der Pendellänge entspricht, bewegen. Der Weg, den die Pendelmasse bescheibt, liegt
also auf einem Kreissegment, den wir hier wieder mit s bezeichnen. Da der
Ort der Masse auch noch vom Pendelwinkel φ abhängt, haben wir zwei
Kenngrößen für die Ortsbeschreibung, die in den sog. Polarkoordinaten
formuliert werden.
Die Gravitation, die senkrecht nach unten wirkt, kann nur in Richtung einer Kreisbahn, deren Radius durch die Pendellänge l gegeben ist, wirken. Entsprechend kann die Masse auch nur in diese Richtung beschleunigt werden:
Die Gravitation, die senkrecht nach unten wirkt, kann nur in Richtung einer Kreisbahn, deren Radius durch die Pendellänge l gegeben ist, wirken. Entsprechend kann die Masse auch nur in diese Richtung beschleunigt werden:
()
Abb. Mathematisches Pendel
In der Physik werden die Winkel zweckmäßiger Weise im Bogenmaß rad
statt in Grad ° angegeben. Das Bogenmaß bezieht sich auf den
Winkel eines Einheitskreises von 360° (Vollkreis), der somit
einen Umfang von 2π hat. Andere Winkel umfangen dann
Teilkreise mit entsprechend anderen Bogenlängen. Die Umrechnung zwischen Grad
und Bogenmaß erfolgt entsprechend:
Weil die Pendellänge unveränderlich sein soll, kann der Weg s,
den die Masse zurücklegt, einfach durch den Pendelwinkel φ
(gemessen in rad) und die Pendellänge l ausgedrückt
werden ():
()
on/off
Das Kräftegleichgewicht entsprechend berücksichtigt einerseits die beschleunigende Wirkung der Gravitation F (actio) und andererseits die Massenträgheit FT sowie die Reibungskraft FR (reactio):
()
Das Kräftegleichgewicht durch die Bewegungsgrößen ausgedrückt:
()
Bzw. unter Berücksichtigung von :
()
Weil l = const. können die Differentiale des Weges nach der Zeit
ganz einfach gebildet werden. Aus
folgt, da l konstant ist:
folgt, da l konstant ist:
Bei Betrachtung von fällt auf, dass zwei
Variablen auftauchen, nämlich s bzw. φ. Wie
zeigt, sind diese aber nicht unabhängig von
einander. Also machen wir davon Gebrauch und ersetzen s durch
φ:
()
on/off
()
Die Differentialgleichung nach kann nicht
analytisch gelöst werden. Beschränkt man sich aber auf kleine Ausschläge, d.h.
kleine φ, kann die Sinusfunktion sin(φ)
näherungsweise durch ihr Argument φ ersetzt werden. Vernachlässigen
wir zudem noch den Reibungseinfluss, kann stark
vereinfacht werden:
wie eine solche DGl. analytisch gelöst werden kann, wird im Kapitel Lösung von Differentialgleichungen 2. Ordnung ausführlich beschrieben. Hier wollen wir uns mit einem vereinfachten Ansatz begnügen. Da wir aus Erfahrung wissen, dass ein Pendel periodische Schwingungen mit einer festen Schwingungsperiode T vollzieht, probieren wir eine Lösung mit der sin-Funktion, die auch eine Anfangsphase φ0 beinhaltet:
in die obige Differentialgleichung ein, erhalten wir:
Nach Kürzen und Umstellen folgt die fundamentale Aussage:
die besagt, dass das Quadrat der Schwingungsdauer T proportional der Pendellänge l und umgekehrt proportional zur Erdanziehungskonstante g ist.
wie eine solche DGl. analytisch gelöst werden kann, wird im Kapitel Lösung von Differentialgleichungen 2. Ordnung ausführlich beschrieben. Hier wollen wir uns mit einem vereinfachten Ansatz begnügen. Da wir aus Erfahrung wissen, dass ein Pendel periodische Schwingungen mit einer festen Schwingungsperiode T vollzieht, probieren wir eine Lösung mit der sin-Funktion, die auch eine Anfangsphase φ0 beinhaltet:
setzen wir diesen Ansatz mit seinen Ableitungen:
in die obige Differentialgleichung ein, erhalten wir:
Nach Kürzen und Umstellen folgt die fundamentale Aussage:
die besagt, dass das Quadrat der Schwingungsdauer T proportional der Pendellänge l und umgekehrt proportional zur Erdanziehungskonstante g ist.
Haben wir die Lösung für die Bewegungsgröße φ(t), müssen wir den
Ort der Masse durch seine x, y-Koordinaten beschreiben, um die
Darstellung auf dem Monitor zu ermöglichen (die Verwendung der Matrix-Befehle
translate und rotate würde diesen Schritt erübrigen!), dann müssen
wir die Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen. Dazu gibt es
eindeutige Transformationsregeln (). Im Abschnitt
Analogien zwischen Rotation und Translation
gehen wir ausführlicher darauf ein!
()
on/off
Im beigefügten Beispielprogramm wird ein Pendel
veränderlicher Länge l und veränderlichem Startwinkel
φ0 dargestellt. Pendellänge und Winkel werden per drag'n drop
mit der Maus eingestellt. Weiterhin kann das Reibung-Masse-Verhältnis rm mittels
Schieberegler beeinflusst werden.
Im Anzeigefenster oben links werden die aktuellen Werte für Pendellänge und Pendelwinkel numerisch angezeigt. Im Anzeigefenster unten links werden die ideale und die gemessene Periodendauer gegenüber gestellt.
Im Anzeigefenster oben links werden die aktuellen Werte für Pendellänge und Pendelwinkel numerisch angezeigt. Im Anzeigefenster unten links werden die ideale und die gemessene Periodendauer gegenüber gestellt.
Ergebnisdiskussion: Wenn Du in den Programmcode schaust, wundere Dich nicht über die eigentümliche Anwendung der Winkelfunktionen. Ursache hierfür ist die vom Üblichen abweichende Orientierung des Koordinatensystems, welches um -90° gedreht ist. So können die Verhältnisse beim Pendel am bequemsten behandelt werden.
Problematisch ist die Messung der Periodendauer. Wegen der Diskretisierung der Zeit können immer nur ganze Vielfache der Dauer eines Frames (Bildwechsel!) gemessen werden. Um dennoch eine größere Genauigkeit zu erreichen, wird das Zeitincrement dt auf den Iten Teil seines ursprünglichen Wertes verkleinert. Der Parameter I ist gegenwärtig auf den Wert 8 gesetzt, kann aber in der Variablendeklaration auf beliebige andere Werte eingestellt werden. Allerdings: größere Werte verlangsamen u.U. den Programmablauf!
Was aber noch bemerkenswert ist: Das Aufstellen der Differentialgleichung ist nicht mehr so einfach und übersichtlich, wie es bei der Translation war. Die Mischform von Weg s und Winkel φ in verlangt förmlich eine andere, aber einheitliche Behandlungsweise!
Bei der Ausführung des Programms ist die Abhängigkeit der Periodendauer der Pendelschwingung von der Pendellänge deutlich zu sehen. Im Idealfall, d.h. ohne Reibungseinfluss, ist die Pendelbewegung unabhängig von der Pendelmasse.
Wie zu erwarten, ist die Übereinstimmung zwischen vorhergesagter und gemessener Periodendauer bei kleinen Ausschlägen am größten. Die verbleibenden Unstimmigkeiten sind auf die Zeitdiskredisierung bei der numerischen Lösung der DGl. zurück zu führen.
