11. Kapitel

LAGRANGEsche Mechanik

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Der LAGRANGEsche Formalismus

Mit zunehmender Komplexität der bewegten Körper wird das Aufstellen der beschreibenden Differenzialgleichungen immer schwieriger, weil die Zusammenhänge und die gegenseitigen Abhängigkeiten der Einzelteile immer weniger durchschaubar werden. Daher wäre es wünschenswert, auch für das Aufstellen der Differenzialgleichungen einen ähnlich wirkungsvollen Algorithmus, wie das die numerischen Methoden für das Lösen von Differenzialgleichungen bieten, zu besitzen. Dies leistet der LAGRANGEsche Formalismus.
Während in der NEWTONschen Mechanik die Kraft im Zentrum steht, ist die Energie das zentrale Element der LAGRANGEschen Mechanik. Kurz, es geht um das Wechselspiel von potentieller und kinetischer Energie. Während Kräfte mittels Vektoren derzustellen sind, bei deren Behandlung Betrag und Richtung zu beachten sind, werden Energien durch Skalare repräsentiert. Das vereinfacht den Weg von der Modellbildung bis zur Aufstellung der gesuchten Differentialgleichungen. Die bei Verwendung der Kraftvektoren erforderlichen Zwischenschritte, wie z.B. das Freischneiden komplizierter mechanischer Konstrukte, kann dann in den meisten Fällen entfallen.
Stattdessen wird die sog. LAGRANGE-Funktion L aufgestellt, die aus allen im System wirkenden kinetischen und potentiellen (Teil)Energien gebildet wird. Dies ist eine skalare Funktion, ohne dass irgendwelche Richtungsinformationen berücksichtigt werden müssten.

Einführung

Im 3D-Raum verfügt jedes bewegliche Element über sogenannte Freiheitsgrade. Dies sind die Raumrichtungen oder Achsen, in denen oder um die sich das Element frei bewegen kann. Dem stehen Zwangsbedingungen gegenüber, die diese Freiheit einschränken. Solche Zwangsbedingungen ergeben sich z.B. aus der begrenzenden Wirkung der Gleitfläche einer schiefen Ebene, die der Körper nicht verlassen kann. Oder der festen Länge eines Pendels, die die schwingende Masse auf eine Kreisbahn zwingt.
Um eine vollständige Beschreibung der Bewegung eines (oder auch mehrere) Körper zu erhalten, ist ein System von Differentialgleichungen erforderlich, das aus genau so vielen Gleichungen besteht, wie es Freiheitsgrade gibt.

Nun gibt es, abhängig von der Wahl des Koordinatensystems, unterschiedliche Koordinaten. Z.B. die kartesischen Koordinaten x_k, y_k, z_k, die Polarkoordinaten r_k und φ_k oder die Kugelkoordinaten r_k, φ_k, θ_k, wenn das betrachtete System k = 0...K-1 Objekte umfasst. Diese Koordinaten können durch geeignete Koordinatentransformationen in einander umgewandelt werden. An diese Betrachtung schließt sich eine generalisierte physikalische Welt an. Generalisierte Koordinaten und deren Ableitungen nach der Zeit t, die generalisierten Geschwindigkeiten sind zweckmäßig gewählte Variable, die den mechanischen Konstrukt eindeutig beschreiben, also eindeutig aus den ursprünglich gegebenen Koordinaten und Geschwindigkeiten abgeleitet werden können. Die schiefe Ebene in ist hierfür eine schönes Beispiel: Während die Beschreibung von Ort und Geschwindigkeit der Kugel auf der schiefen Ebene zwei kartesische Koordinaten, eine für die x-Richtung und eine weitere für die y-Richtung benötigt, genügt eine Koordinate, wenn wir die Beschreibung im s-Koordinatensystem vornehmen. Die Koordinate s und deren zeitliche Ableitung v_s sind demnach generalisierte Koordinaten! Welche Anforderungen müssen generalisierte Koordinaten erfüllen?

die gewählten Koordinaten müssen unabhängig von einander sein,
sie müssen alle Orte des Konstruktes eindeutig beschreiben und
ihre Anzahl stimmt mit der Anzahl der Freiheitsgrade überein.

Da wir uns nicht auf einen Typ von Koordinaten beschränken wollen, wählen wir hier die allgemeine Bezeichnung q_i für eine dieser Koordinaten. Der Index i nummeriert dabei jede, einen Freiheitsgrad beschreibende, Koordinate. So gibt es statt x₁ und y₁ jetzt q₁ und q₂ usw.

Ohne auf die Theorie des LAGRANGEschen Formalismus näher einzugehen, wollen wir jetzt an einem bekannten Beispiel die Vorgehensweise des LAGRANGEschen Formalismus kennen lernen.
Zunächst gehen wir davon aus, dass das betrachtete System verlustfrei arbeitet, also nur kinetische und potentielle Energien wirken. Dann wird das gesamte System durch diese beiden Energieformen vollständig beschrieben und in der sog. LAGRANGE-Funktion ausgedrückt ():

Du wirst Dich fragen, warum die LAGRANGE-Funktion aus der Differenz und nicht aus der Summe der kinetischen und potentiellen Energien gebildet wird. Alex R. Howe hat sich das auch gefragt und meint, dass die LAGRANGE-Funktion weniger physikalisch als aus Gründen der Zweckmäßigkeit interpretiert werden sollte. Das zeitliche Integral der LAGRANGE-Funktion führt auf den Ausdruck einer Wirkung und betont somit Ort und Geschwindigkeit der Teile des Systems. Sie führt sowohl auf die (Erhaltungssätze) als auch auf die korrekten Bewegungsgleichungen der NEWTONschen Axiome. Im Gegensatz dazu basiert die Hamiltonsche Mechanik in der Tat auf der Gesamtenergie des betrachteten Systems. In den HAMILTONschen Bewegungsgleichungen stehen die Orts- und Impulsinformationen der Teile des Systems im Zentrum der Betrachtungen.

()

Die LAGRANGEsche Funktion L stellt ganz einfach nur die Differenz zwischen der Summe aller kinetischen Energien W_kin und der Summe aller potentiellen Energien W_pot im System dar. Diese Vorgabe führt auf eine Variationsrechnung nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung, aus der sich nun die Entwicklungsvorschrift für die zu gewinnenden Differentialgleichungen herleitet. Diese wird auch als LAGRANGEsche Gleichung 2. Art bezeichnet:

on/off

()

Ein partielles Differential, kennlich am Differential-Symbol ∂ in griechischen Lettern, wird angewendet bei Funktionen die von mehreren Variablen abhängig sind. Das partielle Differential macht somit deutlich, dass es sich hier um die (teilweise = partielle) Ableitung nach einer der unabhängigen Variablen handelt.

on/off

sieht komplizierter aus als sie ist. Zunächst sehen wir, dass für I unabhängige Koordinaten auch I Gleichungen geliefert werden. Damit ist die oben gestellte Forderung an einen solchen Algorithmus erfüllt.
Auf der rechten Seite der Gleichung steht die partielle Ableitung der LAGRANGEschen-Funktion L nach der i-ten Ortskoordinate, auf der linken Seite hingegen befindet sich eine zweifache Ableitung der LAGRANGEschen Funktion: Zunächst erfolgt die partielle Ableitung nach der i-ten Geschwindigkeit (das ist, Du erinnerst Dich, die erste Ableitung der Ortskoordinate nach der Zeit!). Dann wird die nach der Geschwindigkeit abgeleitete LAGRANGEsche-Funktion

\frac{δ L}{δ {\overset{\cdot}{q}}_{i}}

noch einmal, diesmal aber nach der Zeit t abgeleitet, was dann die Berechnung einer Beschleunigung zur Folge hat.

Grau ist alle Theorie, schauen wir uns das mal anhand der Doppelfederanordnung (Bild ) an.

Die zweifache Feder-Masse-Anordnung ist leicht zu überschauen und könnte auch mit herkömmlichen Mitteln gut behandelt werden (siehe Kapitel "Verkoppelte Differentialgleichungen"). Hier soll uns das Beispiel jedoch die Anwendung des LAGRANGEschen Formalismus nahe bringen.
Grundsätzlich könnten die Massen m₁ und m₂ natürlich auch in x-Richtung schwingen, das wollen wir jetzt aber der Einfachheit halber nicht zulassen. Daher gibt es für diese Anordnung nur zwei Freiheitsgrade, nämlich y₁ und y₂. Und die Zwangsbedingungen wären x₁ = 0 und x₂ = 0. Darum können wir in die Variablen q₁ durch y₁ und q₂ durch y₂ ersetzen.
Da wir zwei Freiheitsgrade haben, benötigen wir also auch zwei Differentialgleichungen zur Lösung der Bewegungsgleichungen.
Es sei noch erwähnt, dass die Anordnung mit Federn der Federkonstanten n₁ und n₂ und den Ruhefederlängen l₁ und l₂ ausgestattet sind.

Beginnen wir mit der Aufstellung der LAGRANGE-Funktion.
Zunächst werden die kinetischen Energien W_kin₁ und W_kin₂ ...

()

Abb. Zwei verkoppelte Feder-Masse-Systeme

... und die potentiellen Energien W_pot₁ und W_pot₂

()

des Gesamtsystems bestimmt und zu den Gesamtenergien W_kin sowie W_pot zusammen gefasst.

Gemäß lautet die LAGRANGEsche Funktion nunmehr:

()

Weiter geht es mit dem LAGRANGE-Formalismus(). Führen wir erst die Differentiation nach dem Ort aus (rechte Seite von ). Da es zwei Variable gibt, muss auch partiell nach diesen beiden Variablen differenziert werden. Da hier nur nach den Ortskoordinaten

δ L ∕ δ q_{i}

differenziert wird, bleiben die zu diesen Ortskoordinaten assoziierten Geschwindigkeiten unberücksichtigt. Sie werden wie Konstanten behandelt! So erhalten wir schon jetzt für jede Ortskoordinate eine Gleichung:

()

und

()

Jetzt kommt die linke Seite dran. Zunächst differenzieren wir partiell nach den beiden Geschwindigkeitskomponenten

δ L ∕ δ {\overset{\cdot}{q}}_{i}

()

sowie

()

und nun noch einmal, aber jetzt nach der Zeit

δ (δ L ∕ δ {\overset{\cdot}{q}}_{i}) ∕ δ t

(die Faktoren 1/2 und 2 wurden bereits gekürzt!):

()

sowie

()

Fügen wir nun die Einzelteile aus und gemäß zusammen, so erhalten wir die beiden Differentialgleichungen, die die Bewegungen der Massen m₁ und m₂ beschreiben:

()

sowie

()

Diese Lösung ist uns bereits aus dem Kapitel Zwei verbundene Feder-Masse-Anordnungen bekannt.

Berücksichtgung von Reibungskräften

Wie Du bemerkt haben wirst, in haben wir vorausgesetzt, dass das betrachtete System reibungsfrei ist. Und die Lösungen, die und zeigen, spiegeln das auch wider. Kein Reibungseinfluss, keine Verlustenergie sind zu sehen! Wie bekommen wir nun den Reibungseinfluss mit in die Differentialgleichung?
Um das zu erreichen, erweitern wir um einen Term, der die bisher allein vertretenen konservativen Energien (Masse, Gravitation und Feder) um eine nichtkonservative Energie (Reibung) erweitert:

Interpretieren wir Gleichung , so stellen wir fest, dass die Differenzierung der Terme links und rechts des Gleichheitszeichens immer auf Kräfte führen. So führt die Differentiation der potentiellen Energie nach dem Weg (rechte Seite) auf

und die Differentiation der kinetischen Energie nach der Geschwindigkeit über

auf Kräfte. Damit zeigt sich, dass letztlich auch der LAGRANGEsche Formalismus ein Kräftegleichgewicht darstellt. Und so können auch die nichtkonservativen Kräfte erfasst werden, sind sie doch ebenfalls Bestandteil des Kräftegleichgewichts!

()

on/off

Die F_{q_i} in repräsentieren Kräfte, die Energie aus dem System entnehmen, z.B. durch Reibung oder Verformung eines Körpers. Das sind nichtkonservative Kräfte. In unserem Beispiel werden solche Kräfte durch die Strömungsreibung hervorgerufen:

()

und

()

Damit erhalten die gesuchten Differentialgleichungen die bekannte Form:

()

und

()

Eine numerische Lösung ersparen wir uns hier, die ist im schon erwähnten Kapitel Zwei verbundene Feder-Masse-Anordnungen zu finden.

Symbol	Bedeutung
L	LAGRANGE Funktion
W_kin	kinetische Energie [Ws]
W_pot	potentielle Energie [Nm]
q	generalisierte (unabhängiger) Koordinaten
$\overset{\cdot}{q}$	generalisierte Geschwindigkeiten
I	Anzahl generalisierter Koordinaten
g	Erdbeschleunigungskonstante [m/s²]
m	Masse [kg]
r	Reibzahl [kg/s], z.B. für STOKESsche Reibung ()
n	Federkonstante [N/m]
l₁ / l₂	Ruhefederlängen [m]
y	Schwerpunktkoordinaten der Massen [m]