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LAGRANGEsche Mechanik

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Der LAGRANGEsche Formalismus

Mit zunehmender Komplexität der bewegten Körper wird das Aufstellen der beschreibenden Differenzial­gleichungen immer schwieriger, weil die Zusammenhänge und die gegenseitigen Abhängigkeiten der Einzelteile immer weniger durchschaubar werden. Daher wäre es wünschenswert, auch für das Aufstellen der Differenzial­gleichungen einen ähnlich wirkungsvollen Algorithmus, wie das die numerischen Methoden für das Lösen von Differenzial­gleichungen bieten, zu besitzen. Dies leistet der LAGRANGEsche Formalismus.
Während in der NEWTONschen Mechanik die Kraft im Zentrum steht, ist die Energie das zentrale Element der LAGRANGEschen Mechanik. Kurz, es geht um das Wechselspiel von potentieller und kinetischer Energie.

Einführung

Im 3D-Raum verfügt jedes bewegliche Element über sogenannte Freiheitsgrade. Dies sind die Raumrichtungen oder Achsen, in denen oder um die sich das Element frei bewegen kann. Dem stehen Zwangsbedingungen gegenüber, die diese Freiheit einschränken. Solche Zwangsbedingungen ergeben sich z.B. aus der begrenzenden Wirkung der Gleitfläche einer schiefen Ebene, die der Körper nicht verlassen kann. Oder der festen Länge eines Pendels, die die schwingende Masse auf eine Kreisbahn zwingt.
Um eine vollständige Beschreibung der Bewegung eines (oder auch mehrere) Körper zu erhalten, ist ein System von Differential­gleichungen erforderlich, das aus genau so vielen Gleichungen besteht, wie es Freiheitsgrade gibt.

Nun gibt es, abhängig von der Wahl des Koordinatensystems, unterschiedliche Koordinaten. Z.B. die kartesischen Koordinaten xk, yk, zk, die Polarkoordinaten rk und φk oder die Kugelkoordinaten rk, φk, θk, wenn das betrachtete System k = 0...K-1 Objekte umfasst. Diese Koordinaten können durch geeignete Koordinaten­transformationen in einander umgewandelt werden. An diese Betrachtung schließt sich eine generalisierte physikalische Welt an, die wir aber gar nicht betrachten müssen. Es geht auch einfacher. Für unsere Zwecke reicht es aus zu wissen, dass die gewählten Koordinaten unabhängig von einander sein müssen. Da wir uns nicht auf einen Typ von Koordinaten beschränken wollen, wählen wir hier die allgemeine Bezeichnung qi für eine dieser Koordinaten. Der Index i nummeriert dabei jede, einen Freiheitsgrad beschreibende, Koordinate. So gibt es statt x1 und y1 jetzt q1 und q2 usw.

Ohne auf die Theorie des LAGRANGEschen Formalismus näher einzugehen, wollen wir jetzt an einem bekannten Beispiel die Vorgehensweise des LAGRANGEschen Formalismus kennen lernen.
Zunächst gehen wir davon aus, dass das betrachtete System verlustfrei arbeitet, also nur kinetische und potentielle Energien wirken. Dann wird das gesamte System durch diese beiden Energieformen vollständig beschrieben und in der sog. LAGRANGE-Funktion ausgedrückt ():
()
Formel
Die LAGRANGEsche Funktion L stellt ganz einfach nur die Differenz zwischen der Summe aller kinetischen Energien Wkin und der Summe aller potentiellen Energien Wpot im System dar. Diese Vorgabe führt auf eine Variationsrechnung nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung, aus der sich nun die Entwicklungsvorschrift für die zu gewinnenden Differential­gleichungen herleitet. Diese wird auch als LAGRANGEsche Gleichung 2. Art bezeichnet:
()
Formel
sieht komplizierter aus als sie ist. Zunächst sehen wir, dass für I unabhängige Koordinaten auch I Gleichungen geliefert werden. Damit ist die oben gestellte Forderung an einen solchen Algorithmus erfüllt.
Auf der rechten Seite der Gleichung steht die partielle Ableitung der LAGRANGEschen-Funktion L nach der i-ten Ortskoordinate, auf der linken Seite hingegen befindet sich eine zweifache Ableitung der LAGRANGEschen Funktion: Zunächst erfolgt die partielle Ableitung nach der i-ten Geschwindigkeit (das ist, Du erinnerst Dich, die erste Ableitung der Ortskoordinate nach der Zeit!). Dann wird die nach der Geschwindigkeit abgeleitete LAGRANGEsche-Funktion δ L δ q · i noch einmal, diesmal aber nach der Zeit t abgeleitet, was dann die Berechnung einer Beschleunigung zur Folge hat.

Grau ist alle Theorie, schauen wir uns das mal anhand der Doppelfederanordnung (Bild ) an.
Geistesblitz
on/off


Die zweifache Feder-Masse-Anordnung ist leicht zu überschauen und könnte auch mit herkömmlichen Mitteln gut behandelt werden (siehe Kapitel "Verkoppelte Differentialgleichungen"). Hier soll uns das Beispiel jedoch die Anwendung des LAGRANGEschen Formalismus nahe bringen.
Grundsätzlich könnten die Massen m1 und m2 natürlich auch in x-Richtung schwingen, das wollen wir jetzt aber der Einfachheit halber nicht zulassen. Daher gibt es für diese Anordnung nur zwei Freiheitsgrade, nämlich y1 und y2. Und die Zwangsbedingungen wären x1 = 0 und x2 = 0. Darum können wir in die Variablen q1 durch y1 und q2 durch y2 ersetzen.
Da wir zwei Freiheitsgrade haben, benötigen wir also auch zwei Differentialgleichungen zur Lösung der Bewegungsgleichungen.
Es sei noch erwähnt, dass die Anordnung mit Federn der Federkonstanten n1 und n2 und den Ruhefeder­längen l1 und l2 ausgestattet sind.

Beginnen wir mit der Aufstellung der LAGRANGE-Funktion.
Zunächst werden die kinetischen Energien Wkin1 und Wkin2 ...
()
Formel
Zwei verkoppelte Feder-Masse-Systeme

Abb. Zwei verkoppelte Feder-Masse-Systeme
... und die potentiellen Energien Wpot1 und Wpot2
()
Formel
des Gesamtsystems bestimmt und zu den Gesamtenergien Wkin sowie Wpot zusammen gefasst.

Gemäß lautet die LAGRANGEsche Funktion nunmehr:
()
Formel
Weiter geht es mit dem LAGRANGE-Formalismus(). Führen wir erst die Differentiation nach dem Ort aus (rechte Seite von ). Da es zwei Variable gibt, muss auch partiell nach diesen beiden Variablen differenziert werden. Da hier nur nach den Ortskoordinaten δ L δ q i differenziert wird, bleiben die zu diesen Ortskoordinaten assoziierten Geschwindigkeiten unberücksichtigt. Sie werden wie Konstanten behandelt! So erhalten wir schon jetzt für jede Ortskoordinate eine Gleichung:
()
Formel
und
()
Formel
Jetzt kommt die linke Seite dran. Zunächst differenzieren wir partiell nach den beiden Geschwindigkeitskomponenten δ L δ q · i :
()
Formel
sowie
()
Formel
und nun noch einmal, aber jetzt nach der Zeit δ δ L δ q · i δ t (die Faktoren 1/2 und 2 wurden bereits gekürzt!):
()
Formel
sowie
()
Formel
Fügen wir nun die Einzelteile aus und gemäß zusammen, so erhalten wir die beiden Differentialgleichungen, die die Bewegungen der Massen m1 und m2 beschreiben:
()
Formel
sowie
()
Formel
Diese Lösung ist uns bereits aus dem Kapitel Zwei verbundene Feder-Masse-Anordnungen bekannt.

Berücksichtgung von Reibungskräften

Wie Du bemerkt haben wirst, in haben wir vorausgesetzt, dass das betrachtete System reibungsfrei ist. Und die Lösungen, die und zeigen, spiegeln das auch wider. Kein Reibungseinfluss, keine Verlustenergie sind zu sehen! Wie bekommen wir nun den Reibungseinfluss mit in die Differentialgleichung?
Um das zu erreichen, erweitern wir um einen Term, der die bisher allein vertretenen konservativen Energien (Masse, Gravitation und Feder) um eine nichtkonservative Energie (Reibung) erweitert:
()
Formel
Geistesblitz
on/off


Die Fqi in repräsentieren Kräfte, die Energie aus dem System entnehmen, z.B. durch Reibung oder Verformung eines Körpers. Das sind nichtkonservative Kräfte. In unserem Beispiel werden solche Kräfte durch die Strömungsreibung hervorgerufen:
()
Formel
und
()
Formel
Damit erhalten die gesuchten Differentialgleichungen die bekannte Form:
()
Formel
und
()
Formel
Eine numerische Lösung ersparen wir uns hier, die ist im schon erwähnten Kapitel Zwei verbundene Feder-Masse-Anordnungen zu finden.