3. Kapitel
Herleitung und Anwendung der Bewegungsgleichung des schrägen Wurfs
Schräger Wurf - Wurfparabel
Ein weitere Variante der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist der Schräge Wurf. Auch dies ist eine translatorische Bewegung, auch wenn es auf den ersten Blick nicht danach aussieht! Grund: alle Massepunkte des fliegenden Objektes haben die gleichen Bewegungsvektoren.Vom Prinzip her ist die Herleitung der Bewegungsgleichung aus der des Freien Falls ableitbar. Allerdings sind hier die Bewegungsabläufe komplexer. Im Fall des schrägen Wurfs verläuft die Bewegung nicht längs einer der Koordinatenachsen, sondern schräg zu diesen. Es liegt eine Bewegungsaufgabe mit zwei Freiheitsgraden vor und die Bewegung muss als Vektor aufgefasst werden. Folglich wird die Gesamtbewegung getrennt für die x- und die y-Richtung berechnet und zur Darstellung gebracht.
Im Startmoment liegen für jede Richtung Geschwindigkeitskomponenten
v0x und v0y der
Gesamtstartgeschwindigkeit v0 vor. Der Startort ist gleich
x0, y0.
Nun zeigt es sich, dass die Bewegung in x-Richtung (idealisierte Bedingungen voraus gesetzt) nicht beschleunigt ist. Es handelt sich also um eine gleichförmige Bewegung und es gilt :
Wohingegen die Bewegung in y-Richtung analog zum Freien Fall gleichmäßig beschleunigt verläuft.
Damit wird die y-Ortskoordinate des geworfenen Körpers laut berechnet:
Je nach Aufgabenstellung kann der Vektor der Startgeschwindigkeit in Komponenten v0x und v0y oder durch Betrag v und Winkel α angegeben sein. Bei gegebenen Komponenten berechnet sich der Betrag der Startgeschwindigkeit nach dem Satz des PYTHAGORAS zu:
Oder es sind Betrag und Winkel des Startvektors gegebenen, dann können die Vektorkomponenten berechnet werden:
Nun zeigt es sich, dass die Bewegung in x-Richtung (idealisierte Bedingungen voraus gesetzt) nicht beschleunigt ist. Es handelt sich also um eine gleichförmige Bewegung und es gilt :
()
Wohingegen die Bewegung in y-Richtung analog zum Freien Fall gleichmäßig beschleunigt verläuft.
Damit wird die y-Ortskoordinate des geworfenen Körpers laut berechnet:
()
Je nach Aufgabenstellung kann der Vektor der Startgeschwindigkeit in Komponenten v0x und v0y oder durch Betrag v und Winkel α angegeben sein. Bei gegebenen Komponenten berechnet sich der Betrag der Startgeschwindigkeit nach dem Satz des PYTHAGORAS zu:
()
Oder es sind Betrag und Winkel des Startvektors gegebenen, dann können die Vektorkomponenten berechnet werden:
()
Abb. Schräger Wurf
Abb. Berechnung der Bewegungskompunenten "Schräger Wurf"
Im Beispielprogramm wird der Vektor der Startgeschwindigkeit durch einen blauen Pfeil dargestellt. Ziehen
an der Pfeilspitze verändert Betrag und Startwinkel.
Aber auch der Startort kann
mit der Maus verändert werden. Dazu musst Du den Ball mit der Maus anklicken und verschieben.
Für verschiedene Aufgaben ist die Kenntnis der maximalen Reichweite beim schrägen Wurf wichtig. Beschränken wir uns auf den Fall, dass der Startpunkt bei x0 = 0 und y0 = 0 liegt. Zur Ermittlung der Reichweite verwenden wir die Gleichungen und . Die Reichweite ist erreicht, wenn das Flugobjekt wieder auf dem Boden auftrifft. D.h. y = 0. Damit folgt aus :
()
besitzt eine doppelte Nullstelle. Eine davon ist t = 0. Das ist der Fall, wenn der Wurf noch gar nicht begonnen hat und das Objekt selbstverständlich noch bei y = 0 liegt. Darum kann hier einmal t gekürzt und anschließend nach v0y umgestellt werden:
()
Andererseits kann nach t umgestellt werden, wobei vereinbarungsgemäß x0 = 0 ist.
()
womit jetzt in die Zeit t eliminiert werden kann:
()
Durch das Einsetzen in in verliert die Ortskoordinate x ihre Allgemeingültigkeit, beschreibt sie doch den Aufsetzpunkt y = 0. Deshalb schreibe ich jetzt x(y=0).
Mit liegt ein Zusammenhang zwischen x und den Komponenten der Startgeschwindigkeit v0x und v0y vor, der die Zeit t als unabhängige Variable nicht mehr enthält. Jetzt lösen wir noch nach x(y=0) auf und erhalten:
()
Ersetzen wir nun noch v0x und v0y durch die Gleichungen
()
worin die Winkelbeziehungen unter Anwendung des Doppelwinkelsatzes der sin-Funktion vereinfacht werden können:
()
Somit ist uns ein Zusammenhang zwischen dem Anstellwinkel α und der Reichweite x(y=0) bei bekanntem Betrag der Startgeschwindigkeit v0 gegeben.
Da wir uns aber für die maximale Reichweite xmax interessieren, müssen wir nach dem Winkel α differenzieren und gleich 0 setzen:
()
Die cos-Funktion wird nur dann gleich 0, wenn
()
D.h. die maximale Reichweite wird bei einem Anstellwinkel von α = 45° erreicht. Die maximale Reichweite beträgt dann:
()
