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Beschleunigte translatorische Bewegung

Beispiele für translatorische beschleunigte Bewegungen

Freier Fall

Eines der klassischen Beispiele für translatorische beschleunigte Bewegungen ist der Freie Fall. Die Bewegung von Massen im Freier Fall kann als Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung angesehen werden. Auch hier werden die Bedingungen idealisiert: kein Reibungseinfluss und keine andere Kraft als die Gravitation wirkt. Jetzt besteht die beschleunigende Kraft im Gewicht des Körpers und die Richtung der Bewegung ist durch die Richtung der Gravitationskraft - also senkrecht zur Erdoberfläche - bestimmt. Daher ist die Variable y(t) die gesuchte Ortskoordinate des fallenden Körpers (). Die x-Koordinate bleibt während der gesamten Bewegung unverändert, so dass wir sie nicht weiter zu betrachten brauchen! Es liegt also eine Bewegungsaufgabe mit einem Freiheitsgrad vor.
()
Formel 27

Das Gewicht G eines Körpers wird durch seine Masse m und die Erdbeschleunigung g bestimmt. Je größer seine Masse bzw. je größer die Gravitation, desto größer ist das Gewicht des Körpers!

()
Formel 28

Und das Kräftegleichgewicht? Das ergibt sich aus der wirkenden Kraft, dem Gewicht G, deren Wirkrichtung der Orientierung unseres Koordinatensystems aber entgegengerichtet ist. Und damit auch der Trägheitskraft, die wir stets in Richtung der y-Achse orientieren:

()
Formel 29

Einsetzen von und in ergibt die Differentialgleichung für den Freien Fall:

()
Formel 30

Freier Fall

Abb. Freier Fall
m können wir kürzen
()
Formel 30

Vergleichen wir jetzt diese Differentialgleichung mit der Differentialgleichung , die wir für den allgemein gültigen Fall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung gefunden haben (), dann fällt uns auf, dass beide Differentialgleichungen vom selben Typ sind und sich im Aufbau gleichen: auf der einen Seite der Differentialgleichung steht die 2. zeitliche Ableitung der Ortskoordinate und auf der anderen Seite steht ein konstanter Ausdruck! Dies ist auch in der Fall. Darum sind wir berechtigt, die Lösungen, die wir für gefunden haben, auf die vorliegende Aufgabe zu übernehmen! Für die Geschwindigkeit gilt:
Geistesblitz
on/off

()
Formel 31

und für den Ort
()
Formel 32

Im Beispielprogramm kann neben der Demonstration der beschleunigten Bewegung im Freien Fall auch der Einfluss der Fallhöhe auf die Falldauer gezeigt werden. Dazu kann die Masse per Maus in verschiedene Höhen gebracht werden. Die zu erwartende Falldauer tc wird der gemessenen Falldauer gegenüber gestellt. Es zeigt sich eine gute Übereinstimmung zwischen Vorhersage und tatsächlicher Falldauer.


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download p5.js
run program

Ein interessantes Nebenergebnis liefert die für die Falldauer.
Die Falldauer ist die Zeit t, in der der fallende Körper die gesamte Höhe h überwunden hat und y = 0 ist. Wir gehen hier davon aus, dass der Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 startet:
()
Formel 33
daraus ergibt sich für die Falldauer
()
Formel 34

So erklärt sich die Antwort auf die Frage "Wie kann ich, auf einem Turm stehend, mit Hilfe eines Termometers die Höhe des Turms bestimmen?" Eigentlich ist die Frage absurd, aber lässt man das Termometer einfach fallen und misst die Falldauer, so kann durch Umstellung von die Fallhöhe, also die Turmhöhe bestimmt werden.