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3. Kapitel

Bewegung von Objekten auf der schiefen Ebene

Die elementare schiefe Ebene

Im Unterschied zum schrägen Wurf, bei dem sich die Richtungskomponenten frei entwickeln können, ist dies bei der Bewegung von Objekten auf der schiefen Ebene nicht der Fall. Die schiefe Ebene stellt eine massive Begrenzung für das bewegte Objekt dar, die nicht unterschritten werden kann. Eine solche Rahmenbedingung wird, wie Du schon weißt, Zwangsbedingung genannt. Diese Zwangsbedingung schränkt die Zahl der Freiheitsgrade ein, so dass nur eine Bewegung parallel zur Rampenoberfläche möglich ist. Theoretisch wäre auch eine Bewegung nach oben möglich, dies wird aber durch die wirkende Erdanziehung verhindert ().
Schiefe Ebene
Abb. Schiefe Ebene

Dass das bewegliche Objekt, hier durch eine Kugel dargestellt, sich nach rechts unten bewegen wird, ist aus unserer alltäglichen Erfahrung klar. Allerdings wollen wir unsere Untersuchung auch hier wieder unter idealisierten Bedingungen durchführen. Dazu zählt neben der Reibungsfreiheit auch, dass sich die Kugel bei ihrer Abwärtsbewegung nicht zu drehen beginnt! Denn eine Rotation ginge zu Lasten der Translation, würde also nicht zu den Rahmenbedingungen einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung passen. Trotzdem erhebt sich die Frage, wie groß ist die beschleunigende Kraft? Die Gravitationskraft kann es direkt nicht sein, denn die weist nach unten und nicht in Richtung der Rampe! Aus ist ersichtlich, dass die treibende Kraft die sog. Hangabtriebskraft FH ist. Und diese leitet sich aus der Gravitationskraft, also aus dem Gewicht G des Körpers ab. Offenbar steht die Hangabtriebskraft FH in einem proportionalen Verhältnis zum Rampenwinkel α:

()
Formel

Du ahnst es schon: hier handelt es sich um ein Kräfteparallelogramm! Die Gravitationskraft G wird in zwei Teilkräfte, die schon erwähnte Hangabtriebskraft FH und die Normalenkraft FN, die stets senkrecht auf die Rampenoberfläche gerichtet ist. Wie die Berechnung beider Teilkräfte erfolgt, zeigt !

Für unsere derzeitigen Überlegungen benötigen wir die Normalenkraft FN aber nicht. So können wir die Differentialgleichung für die Bewegung auf der schiefene Ebene aufstellen:
()
Formel
Für die Aufstellung und Lösung der Differentialgleichung kann uns wieder die gleichmäßig beschleunigte Bewegung als Vorbild dienen. Vergleiche doch mal die Differentialgleichung für den allgemeinen Fall () mit
()
Formel
Die Ausdrücke auf beiden Seiten stellen Beschleunigungen dar. Der Ausdruck auf der rechten Seite kann als gewichtete Erd­beschleunigungs­konstante g' verstanden werden. Sie ist von der Zeit t unabhängig, also eine Konstante. Damit kann die Lösung der Differentialgleichung durch Analogievergleich mit gefunden werden. Es bieten sich zwei Lösungswege an:
  1. Zerlegung der Hangabtriebskraft FH in eine x- und eine y- Komponente sowie komponenten­weise Anwendung der Lösung nach oder

  2. komplexe Lösung ohne Komponenten­zerlegung.

1. Lösungsweg

Zerlegung der Hangabtriebskraft FH in eine x-Komponente:
(a)
F H x = F H · cos α = m · g · sin α · cos α
bzw. y-Komponente:
(b)
F H y = F H · sin α = − m · g · sin α · sin α

Daraus folgen die Bewegungs­gleichungen für die x-Richtung:
(a)
x t = g · sin α · cos α · t 2 2 + v 0 x · t + x 0
und die y-Richtung:
(b)
x t = − g · sin 2 α · t 2 2 + v 0 y · t + y 0

Komponentenzerlegung
Abb. Kompo­nenten­zerlegung

Ergebnisdiskussion: Bei einem Rampenwinkel α = 0° findet in keine Richtung eine Bewegung statt, weil der sinus() dieses Winkels ebenfalls 0 ist. Das entspricht unseren Erwartungen: auf einer Horizontalen kann die Gravitation keine bewegende Wirkung auf den Körper ausüben. Aber auch bei einem Rampenwinkel α = 90° findet keine x-Bewegung statt (cos(90°) = 0). Und die Gleichung für die y -Komonente geht in die Gleichung für den Freien Fall über.

Aus programmtechnischer Sicht hat diese Lösung den Vorteil der einfachen Darstellbarkeit, da die Ortskoordinaten in x- und y- Richtung vorliegen.

2. Lösungsweg

Mit s als Ortskoordinate (s steht für einen beliebig orientierten Weg!) eine beliebig orientierbare Variable zur Verfügung, hier stellt sie den einzigen Freiheitsgrad unseres Objektes dar und verläuft parallel zur Rampenoberfläche. Die beschleunigende Kraft ist die Hangabtriebskraft FH und v0s die Startgeschwindigkeit in Rampenrichtung.
Die Aufstellung der Bewegungsgleichung ist hier sehr einfach:
()
Formel

Beachte, dass das Vorzeichen vor dem g nicht mehr negativ ist! Grund: Hangabtriebskraft FH und Weg s verlaufen gleichsinnig!

Ergebnisdiskussion: Einfache Lösung - komplizierte Darstellung! Da die Lösung keine Rücksicht auf die Darstellbarkeit nimmt, entfällt die Notwendigkeit der Komponentenermittlung. Allerdings wird das Problem nur auf die Darstellung der Bewegung verlagert. Dank der Matrix-Befehle, die Processing bzw. p5.js zur Verfügung stellen, wird uns diese Aufgabe sehr erleichtert! Ich bevorzuge diese Lösungsmethode!

Geistesblitz
on/off
Wenn der Fußpunkt der Rampe als Nullpunkt des neuen Koordinaten­systems angesehen wird, kann durch Anwendung des rotate()-Befehls eine Drehung um den Winkel α vorgenommen werden, das sorgt für die richtige Neigung sowohl der Rampenoberfläche als auch des Weges s. Infolge der Koordinatentransformation wird aber der Startort mit verschoben, so dass der neue Startort bei -l und nicht bei 0 liegt!
()
Formel

Links im Blickfeld findest Du einen Griff (türkis), mit diesem kannst die die Rampensteilheit beeinflussen. Der Schieberegler v0 gestattet die Vorwahl einer Anfangs­geschwindig­keit im Bereich zwischen ±10 m/s. Betätigen des START-Buttons startet den Bewegungs­ablauf.
Neben der vergangenen Zeit seit dem Start t und der wirksamen Gravitations­konstante g' werden die wirkenden Teil­kräfte als Vektoren angezeigt.

download processing
download p5.js
run program



Abb. Einsatz der Matrix-Befehle zur Darstellung der Bewegung auf der schiefen Ebene

step by step explanation
Das nebenstehende "step by step" erklärt die Matrix-Transformationsschritte 1 bis 5 detailliert.

(Solltest Du die Datai nur zum Download und nicht zur Betrachtung angeboten bekommen, dann muss Dein Browser entsprechend eingestellt werden. Bei Mozilla-Firefox: Einstellungen -> Dateien und Anwendungen -> Anwendungen -> Dateitypen und Anwendungen suchen, dort pdf eingeben, öffnen und die Aktion Jedes Mal nachfragen auswählen.)



Bewegung auf einem Polygon als ein Set von schiefen Ebenen


Die Bewegung von Objekten auf einem Polygon ist deshalb so interessant, weil fotorealistische Gelände oft durch Polygone approximiert werden, um sie mathematisch zugänglich zu gestalten.
Wegen der Nähe zur Kollisionserkennung wird dieses Thema im Kapitel Bewegung auf Polygonen behandelt!