7. Kapitel
Der dezentrale elastische Stoß
Die Behandlung des dezentralen, elastischen Stoßes
Im Gegensatz zum zentralen Stoß, für dessen Lösung zwei Bedingungen für zwei Unbekannte existieren, ist dies beim dezentralen elastischen Stoß nicht der Fall. zeigt, dass das Geschehen vor dem Stoß durch die vier Geschwindigkeitskomponenten für das 1. Objekt sowie für das 2. Objekt und den Stoßwinkel β, unter dem die beiden Objekte zusammenstoßen, vollständig beschrieben wird.Anders die Situation nach dem Stoß. Für die Berechnung der vier Bewegungskomponenten für das 1. Objekt sowie nach dem Stoß stehen aber weiterhin nur zwei Bedingungen (Energie- und Impulserhaltung) zur Verfügung.
Abb. Dezentraler Stoß
Parallel verschobene Bewegungslinien
Betrachten wir zunächst eine einfache nichtzentrale Stoßsituation.
zeigt eine Bewegung, bei der die Bahnen der sich
stoßenden Objekte vor dem Stoß parallel, aber um den Abstand h
versetzt, verlaufen. Die Bahnen verlaufen also nicht durch die
Schwerpunkte der beiden Körper! Der Stoß kann also nicht zentral
verlaufen.
Wir setzen wieder voraus, dass das Experiment unter idealen Bedingungen statt findet. Es gibt also weder Reibung noch Inhomogenitäten in den Kugeln! Daher sind Schwerpunkt und Mittelpunkt der Objekte deckungsgleich! Eine Rotation der Kugeln ist folglich stets ausgeschlossen.
Wir setzen wieder voraus, dass das Experiment unter idealen Bedingungen statt findet. Es gibt also weder Reibung noch Inhomogenitäten in den Kugeln! Daher sind Schwerpunkt und Mittelpunkt der Objekte deckungsgleich! Eine Rotation der Kugeln ist folglich stets ausgeschlossen.
Abb. Dezentraler Stoß
- eine Zentralkomponente, die mit der Verbindungslinie beider Schwerpunkte übereinfällt und
- eine Tangentialkomponente, die senkrecht auf der Verbindungslinie verläuft.
In ist das für die Geschwindigkeit
v1 des ersten Objektes dargestellt. Danach wird die
Geschwindigkeit v1 in eine zentrale Komponente
vZ1 und eine tangentiale Komponente
vT1 zerlegt.
Was bringt uns das?
Was bringt uns das?
- die zentrale Komponente können wir wie einen zentralen Stoß behandeln, wie wir das bereits besprochen haben,
- hingegen nimmt die tangentiale Komponente überhaupt nicht am Stoß teil. Sie ist nach dem Stoß genau so groß wie vor dem Stoß!
Abb. Komponenten des dezentralen Stoßes
Für die Berechnung der Geschwindigkeitskomponenten benötigen wir den
Winkel β unter dem beide Objekte aufeinander prallen. Im
Augenblick des Zusammenstoßes sind die Mittelpunkte beider Objekte genau um die
Summe der Objektradien r1 + r2 von einander
entfernt. Daher ergibt sich der Stoßwinkel aus dem Verhältnis des Bahnversatzes
h (Gegenkathete) zur Summe der Objektradien (Hypothenuse).
()
Abb. zum Stoßwinkel
Es gilt die trigonometrische Beziehung
aus der durch Umstellen
folgt.
Der cos(β) ist zunächst nicht bekannt, kann jedoch über
die Beziehung
mit dem Ergebnis von leicht gewonnen werden.
()
on/off
Im nächsten Schritt führen wir die Komponentenzerlegung nach
durch. Dabei betrachten wir die Geschwindigkeit
v1 als Resultierende der Tangentialgeschwindigkeit
v1T und der Zentralgeschwindigkeit
v1Z. v1 ist bekannt und
stellt die Hypothenuse im Geschwindigkeitsparallelogramm dar.
v1T ist die Gegenkathete und v1Z
die Ankathete zum Winkel β. Mittels der trigonometrischen
Beziehungen erhalten wir:
analog gilt für v2:
()
()
Abb. Komponentenzerlegung
()
()
Damit kennen wir nun die Komponenten v'1T und
v'1Z bzw. v'2T und
v'2Z. Zwecks Darstellung im x-y-Koordinatensystem ist eine
Komponentenzusammenfassung entsprechend notwendig.
Beide Komponenten v'1T und v'1Z haben jeweils Geschwindigkeitskomponenten v'1Tx und v'1Zx in x-Richtung sowie v'1Ty und v'1Zy in y-Richtung. Diese müssen nun Vorzeichen richtig addiert werden:
und
Beide Komponenten v'1T und v'1Z haben jeweils Geschwindigkeitskomponenten v'1Tx und v'1Zx in x-Richtung sowie v'1Ty und v'1Zy in y-Richtung. Diese müssen nun Vorzeichen richtig addiert werden:
()
()
Abb. Berechnung der vx- bzw. vy-Komponenten
()
()
Im Beispielprogramm werden die Verhältnisse beim dezentralen Stoß behandelt. Beide Kugeln können mit der Maus an beliebige y-Positionen verschoben bzw. in ihrer Größe (d.h. Masse) verändert werden. Mit dem Schieberegler r1/r2!
wird das Masseverhältnis der beiden Kugeln beeinflusst.
Die Bewegungsrichtungen verlaufen stets parallel zur x-Achse.