7. Kapitel

Der freie elastische Stoß

Zwei Objekte stoßen aus beliebigen Richtungen aneinander

Der freie elastische Stoß ist ein etwas allgemeinerer Fall des Stoßgeschehens. Jetzt kann das stoßende Objekt aus jeder beliebigen Richtung auf ein anderes, aber ruhendes Objekt auftreffen. Bevor wir an die Umsetzung gehen, sollten wir uns aber über die Berechnung der verschiedenen Vektorkomponenten Gedanken machen. Eigentlich stellen doch die zentralen und die tangentialen Vektorkomponenten Komponenten ein und desselben Vektors in verschiedenen Koordinatensystemen dar. So wird eine Vektor

\vec{a}

im x-y-Koordinatensystem durch seine Komponenten a_x und a_y beschrieben. Nehmen wir nun ein anderes, rechtwinkliges, Koordinatensystem, das gegenüber dem genannten x-y-Koordinatensystem um den Winkel φ gedreht ist. Dieses nennen wir das u-v-Koordinatensystem. Dann wird der Vektor

\vec{a}

in diesem System durch seine Komponenten a_u und a_v ausgedrückt. Auf unsere Aufgabe bezogen heißt das, die Geschwindigkeitsvektoren der am Stoß beteiligten Kugeln müssen vor dem Stoß aus ihrer x-y-Darstellung in eine u-v- sprich v_Z-v_T-Darstellung überführt werden. Umgekehrt müssen diese Komponenten nach dem Stoß wieder in die ursprüngliche x-y-Darstellung zurück transformiert werden. Im Endeffekt handelt es sich hierbei um die Vor- bzw. Rückdrehung von Koordinatensystemen bei einem unverrückten Vektor. In kannst Du diese Transformationen nachvollziehen. Links im Bild ist zunächst ein x-y-Koordinatensystem, in dem ein Ortsvektor

\vec{a}

(weißer, mit der Maus drehbarer Pfeil) zu sehen ist. Ebenfalls zu sehen sind seine Komponenten a_x (blau) und a_y (grün). Nun kann hier ein zweites Koordinatensystem um den Winkel φ (Schieberegler) gedreht werden. Sofort siehst Du, wenn Du den Modus-Button betätigst, die Komponenten a_u und a_v im gedrehten Koordinatensystem.

Nach dem Stoß stehen die Koordinaten a'_u und a'_v zur Verfügung. Diese sind nun in das x-y-Koordinatensystem zurück transformiert, um so die kartesische Darstellung der sich bewegenden Kugeln nach dem Stoß zu ermöglichen. Dies zeigt dann das rechte Koordinatensystem. Der Vektor

\vec{a'}

ist danach dem ursprünglichen Vektor identisch, da hier im Beispiel keine Wechselwirkung im Stoß implementiert ist:

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Abb. Vektorkomponenten in einem rotierten Koordinatensystem

Es liege ein Vektor

\vec{a}

in einem x-/y-Koordinatensystem sowohl als Vektor als auch in seinen Komponenten a_x und a_y vor. Nun soll eben dieser Vektor in seine Komonenten a_u und a_v in einem u-/v-Koordinatensystem, das um den Winkel φ gegenüber dem x-/y-Koordinatensystem gedreht ist, zerlegt werden.

Es sind drei Fälle zu unterscheiden:

Geg. Betrag $| \vec{a} |$ Winkel $α$ des Vektors und der Drehwinkel $φ$ ,
ges. die Komponenten $a_{u}; a_{v}$
Wie aus der Abbildung hervorgeht, erfolgt die Projektion des Vektors $\vec{a}$ durch Anwendung der trigonometrischen Funktionen

in Bezug auf die Winkeldifferenz (α-φ).
Geg. sind die Komponenten $a_{x}; a_{y}$ ,
ges. sind die Komponenten $a_{u}; a_{v}$
Um den in seinen Komonenten vorliegenden Vektor $\vec{a}$ in das u-/v-Koordinatensystem zu transformieren, kann die obige Beziehung mit Hilfe der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen umgewandelt werden in

wobei sich die auf α bezogenen Winkelfunktionen durch die bekannten Komponenten a_x und a_y ausdrücken lassen:

So erhalten wir die passende Transformationsregel

In Matrix-Schreibweise:

$(\begin{matrix} a_{u} \\ a_{v} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos φ \sin φ \\ - \sin φ \cos φ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix})$
Geg. sind die Komponenten $a_{u}; a_{v}$ ,
ges. sind die Komponenten $a_{x}; a_{y}$

Diese Operation ist leicht mit Hilfe der inversen Matrix

zu bewerkstelligen:

Das selbe Resultat hätten wir auch erhalten, wenn wir das Koordinatensystem wieder zurückdrehen würden. Also - so wie es der geometrischen Anschauung entspricht - den Winkel φ durch -φ ersetzt hätten!

Vektortransformation

Die Berechnung von Komponenten eines Vektors, z.B.

{\vec{v}}_{1}

in seine Komponenten in einem anderen Koordinatensystem, wie z.B. in die tangentiale v_T und die zentrale Komponente v_Z stellen immer wieder eine Herausforderung an das Vorstellungsvermögen dar. Ganz besonders dann, wenn es sich um ein 3D-Problem handeln sollte.
Abhilfe schafft hier die Behandlung der Aufgabe in vektorieller Schreibweise, indem Vektoren, deren Komponenten im kartesischen Koordinatensystem vorliegen, durch eine Koordinatentransformation in ein geeignetes - d.h. gedrehtes - Koordinatensystem übersetzt werden. Wie das funktioniert wird im nebenstehenden 3. Geistesblitz erklärt. Eine ausführliche Beschreibung für Drehungen im 3D-Raum weist die erforderlichen Rotationsmatrizen für Drehungen um die Achsen des 3D-Koordinatensystems aus.

Im nebenstehenden Beispielprogramm wird eine solche Transfrormation am Beispiel der Reflexion eines Objektes an einer beliebig orientierten starren Wand (grauer Balken) demonstriert. Zur besseren Veranschaulichung werden nur der Geschwindigkeits-Vektor sowie seine Komponenten vor und nach der der Reflexion dargestellt.
Es können sowohl die Ausrichtung der Wand mit dem Schieberegler als auch Betrag und Richtung des Geschwindigkeitsvektors

\vec{v}

(grüner Knopf am Ende des Geschwindigkeitsvektors) eingestellt werden. Mit dem Button Mode kann die Darstellung der Geschwindigkeiten, ihrer Komponenten vor und nach dem Stoß ausgewählt werden.

Aber nun zum dezentralen Stoß. Wenden wir die Rotation des x-y-Koordinatensystems auf den Geschwindigkeitsvektor

\vec{v}

vor dem Stoß an. Bedenken wir, dass die beiden Kugeln sich unter dem Stoßwinkel β () treffen, dann bedeutet dies, dass unser x-y-Koordinatensystem um diesen Winkel in mathematisch positive Drehrichtung

()

gedreht werden muss, damit die zentrale Geschwindigkeitskomponente v_Z in die Stoßrichtung und die tangentiale Geschwindigkeitskomponente v_T senkrecht dazu bestimmt wird. Damit ergeben sich die beiden Komponenten entsprechend und zu:

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Abb. Vektorkomponenten im Stoßmoment

Aus dem vorherigen Kapitel wissen wir bereits, dass die Zentralkomponenten v_Z nach den Stoßgesetzen wechselwirken, wohingegen die Tangentialkomponenten v_T im Stoß unverändert bleiben. Nach dem Stoß stehen die folgenden Komponenten zur Verfügung:

()

und

()

Die nun nach dem Stoß wieder in das x-y-Koordinatensystem zurück transformiert werden müssen. Das geschieht nun dadurch, dass die zu inverse Transformation ausgeführt bzw. das v_T-v_Z-Koordinatensystem um den Winkel

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zurück gedreht (entgegen der mathematisch positiven Drehrichtung!) ausgeführt wird (). Was auf die Rücktransformation

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Abb. Vektorkomponenten nach dem Stoß

führt. Übrigens, dies entspricht genau der Transformation nach , wenn die Rotation genau in die entgegen gesetzte Richtung erfolgt, der Drehwinkel also -β ist. Für beide Operationen kann daher die selbe Transformations-Funktion Anwendung finden, wie das auch aus hervorgeht.

Abb. Hin- und Rücktransformation der Geschwindigkeitskomponenten

Das Beispielprogramm zeigt das Stoßgeschehen bei Bewegungen aus beliebigen Richtungen. Der Debug-Mode gestattet die detailierte Untersuchung dieses Stoßvorgangs. Vor dem Start können die Positionen der Kugeln und deren Geschwindigkeitsvektoren vor dem Stoß per Maus bestimmt werden. Dazu werden die Kugeln selbst (Standort) bzw. die Vektoren mit der Maus angefasst und bewegt. Mit dem Schieberegler ist das Massenverhältnis beider Kugeln veränderbar. Die Abarbeitung erfolgt schrittweise, so dass Du im Detail nachvollziehen kannst, wie die vektoriellen Komponenten vor, während und nach dem Stoß aussehen.

Ergebnisdiskussion: Aus der allgemein gültigen Lösung für die Wechselwirkung im Stoß aus beliebigen Richtungen geht hervor, dass die Berechnung für beide Objekte in gleicher Weise erfolgt. D.h. es spielt keine Rolle, von welchem Objekt aus die Berechnung der Bewegungen vorgenommen wird. Die tangentialen Komponenten v_1T bzw. v_2T und die zentralen Komponenten v_1Z bzw. v_2Z werden aus den Geschwindigkeiten v₁ bzw. v₂ vor dem Stoß gebildet, wie die x- bzw. y-Komponenten v'_1x bzw. v'_1y und v'_2x bzw. v'_2y aus den Geschwindigkeiten v'₁ bzw. v'₂ nach dem Stoß.

Wie Du erkennen kannst, ist die gegenseitige Beeinflussung der Objektbewegungen symmetrisch. Ein solches Symmetrieverhalten erleichtert das Verstehen und damit die Erweiterung der 2-Objekte-Lösung auf beliebig viele Objekte.

Bouncing - der springende Ball

Der springende Ball ist ein Sonderfall des dezentralen Stoßes. Wird nämlich die als ruhend betrachtete Masse m₂ und deren Radius R₂ unendlich groß gewählt, mutiert die Kugel zur harten Ebene. Trifft nun eine Kugel der Masse m₁ mit der Geschwindigkeit v₁ unter dem Winkel α auf die unendlich schwere und unendlich große Masse m₁, so wird die horizontale Geschwindigkeitskomponente auch nach dem Stoß ihren Wert behalten, also

{\vec{v}}_{1 x}^{'} = {\vec{v}}_{1 x}

. Und was passiert mit der y-Komponente der Geschwindigkeit? Darüber geben und Auskunft.
Erweitern beider Gleichungen mit

1 ∕ m_{2}

ergibt, wenn

m_{2} \to \infty

()

sowie

()

Und wie erfolgt der Stoß auf einer schiefen Ebene? Nach Möglichkeit wollen wir die Transformation nach bzw. weiter nutzen. Damit das gelingt, müssen wir aber den richtigen Rotationswinkel bestimmen. Nehmen wir an, dass die Ebene im Winkel ψ geneigt ist () und die Ebene durch einen sehr großen Kreis R → ∞ ersetzt wird. Nun vergleichen wir die Stoßsituation mit der von . Dann sehen wir, dass das Koordinatensystem um ψ + π gedreht werden muss, um die gleiche Stoss-Situation herbei zu führen!
Um Verwirrungen zu vermeiden, habe ich die Geschwindigkeits-Komponenten von Zentralkomponente v_Z in Normalkomponente v_N und die Tangentialkomponente v_T in Parallelkomponente v_P umbenannt. So lautet dann die Transformationsregel:

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Die Rücktransformation wird ebenso wie in durch das Zurückdrehen des Koordinatensystems um den Winkel -(β + π) ausgeführt:

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Abb. Vektorkomponenten auf der schiefen Ebene

Daraus kann leicht der Sonderfall der Reflexion auf einer horizontalen Ebene (ψ = 0) abgeleitet werden. Wegen des ∞ großen Radius der 2. "Kugel" ist der Kontaktwinkel zwischen Kugel und Untergrund immer 90°, d.h. die Normalenkomponente wird gemäß immer zu 100% reflektiert, ändert also nur ihr Vorzeichen, Während die Parallelkomponente unverändert bleibt:

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verdeutlicht diesen Vorgang, den wir für gewöhnlich als Reflexion nach dem Prinzip Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel bezeichnen:

φ' = - φ

Abb. Vektorkomponenten nach dem Stoß

Bouncing an beweglichem Objekt

Eine im Spieleumfeld häufig auftretende Situation zeigt . Ein Ball liegt auf einem festen Untergrund oder an der Bande eines Billardtischs und wird von einem anderen Ball unter einem beliebigen Winkel α getroffen. Die feste Begrenzung stellt eine Zwangsbedingung für diesen Ball dar. Gesucht sind die Bewegungsgleichungen der beiden Bälle nach dem Stoß.

Schiefe Ebene

Abb. Stoß mit Zwangsbedingung

Leider gehört diese Aufgabenstellung zu den Problemen, die rein geometrisch unter Anwendung des Energie- bzw. Impulserhaltungssatzes nicht zu lösen sind, da hier drei Partner am Stoß beteiligt sind: die zwei Bälle und die Begrenzung. Drei Partner und zwei Bedingungen (Energieerhaltung und Impulserhaltung), das ist nicht lösbar! Also müssen wir uns eine Ersatzlösung ausdenken, die wenigstens dem Anschein nach der Realität folgt.

Vom Bouncing wissen wir, dass die Bewegung eines Balles, der auf eine harte, ebene Unterlage aufprallt, an dieser Unterlage reflektiert wird. Diese Eigenschaft machen wir uns hier zu Nutze. Im Stoßmoment findet die Wechselwirkung zunächst zwischen dem noch ruhenden Ball m₁ und dem stoßenden Ball m₂ statt. Dabei erfolgt eine Impuls- und Energieübertragung von m₂ auf m₁. Mit dem Ergebnis, dass es nun zwei neue Geschwindigkeitskomponenten v'_1x und v'_1y gibt. Die Geschwindigkeitskoponenten v'_2x und v'_2y ergeben sich nach den bekannten Stoßregeln. Wegen der harten Unterlage wird jedoch die Komponente v'_1y sofort wieder reflektiert, also in der Richtung umgekehrt. Nun trifft die reflektierte Komponente v''_1y auf den Ball m₂ und wechselwirkt mit diesem. Daraus ergeben sich weitere Geschwindigkeitskomponenten v''_2x, v''_2y und v''_1x. Diese drei Komponenten liefern nur den Anteil, der auf die reflektierte v''_1y-Komponente zurück zuführen ist und daher zu den bereits ermittelten Komponenten des ersten Stoßes zwischen m₂ und m₁ additiv überlagert werden müssen. Das führt auf a) bis c):

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Und es gibt wieder eine vertikale Komponente v'''_1y, die am Boden reflektiert wird, also wieder mit den Bällen wechselwirkt. Das kann also eine unendliche Geschichte werden! Glücklicherweise wird die vertikale Komponente des Balls m₁ immer schwächer, so dass diese Abfolge irgendwann vernachlässigbar wird.

Im folgenden Beispielprogramm wird die Komponente v'''_1y = 0 gesetzt, um eine iterative Bearbeitung des gesamten Vorgangs zu vermeiden. Das ist physikalisch nicht korrekt, weil es den Energieerhaltungssatz verletzt. Aber optisch macht diese Vorgehensweise einen recht guten Eindruck.

Im Beispielprogramm sind die Bälle B₁ und B₂ zu sehen. B₂ ruht auf einer festen Unterlage und wird bei geeigneter Orientierung von Ort und Geschwindigkeit des Balls B₁ getroffen. Die einzelnen Phasen des Stoßgeschehens sind im Schrittbetrieb zu verfolgen.

Ergebnisdiskussion: Die beiden Extremfälle

beide Bälle liegen auf der Ebene nebeneinander und
beide Bälle befinden sich senkrecht über der Ebene übereinander

werden ideal abgedeckt. Dies beweist auch der Vergleich der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß.
Anders bei den Zwischenwinkeln. Dort wird der Energieerhaltungssatz verletzt, was aber der optischen Erscheinung keinen Abbruch tut.
Eine alternative Lösungsmöglichkeit bietet die Nutzung von Feder-Masse-Systemen zur Modellierung dieser Stoßsituation.

Symbol	Bedeutung
m	Masse [kg]
v	Objektgeschwindigkeit vor dem Stoß [m/s]
v'	Objektgeschwindigkeit nach dem Stoß [m/s]
v_Z	Zentralgeschwindigkeit [m/s]
v_T	Tangentialgeschwindigkeit [m/s]
β	Rotationswinkel des Koordinatensystems [°] oder [rad]
x / y	x- bzw. y-Achse des kartesischen Koordinatensystems [m]
u / v	u- bzw. v-Achse des um β gedrehten Koordinatensystems [m]

Der freie elastische Stoß

Zwei Objekte stoßen aus beliebigen Richtungen anein­ander

Bouncing - der springende Ball

Bouncing an beweglichem Objekt

Zwei Objekte stoßen aus beliebigen Richtungen aneinander