7. Kapitel

Herleitung und Anwendung der Stossgesetze

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Kraftstoß und Impuls

Kennst Du ein Computerspiel, in dem der Stoß als Ereignis nicht vorkommt? Ich nicht! Also wollen wir sehen, wie der Stoß physikalisch zu sehen ist. Denn der Stoß kann in vielfältigen Formen in Erscheinung treten: z.B. als

Zusammenstoß von Objekten,
Rückstoß eines Geschosses, beim Raketenantrieb oder beim Feuerwehrschlauch,

aber auch als

zentraler oder dezentraler Stoß,
elastischer oder unelastischer Stoß.

Doch zunächst wollen wir unsere Toolbox mit dem notwendigen Werkzeug füllen. Wir suchen also eine Herleitung der Stoßgesetze und ihrer Anwendung für zusammenstoßende Körper!
Ausgangspunkt unserer Überlegungen sind wieder die NEWTONschen Axiome, hier insbesondere das 3. Axiom:

()

In habe ich die Beschleunigung a auch noch als den Differentialquotienten der Geschwindigkeit v ausgedrückt. Da sowohl die Kraft F als auch die Beschleunigung a bzw. die Geschwindigkeit v richtungsabhängige Größen sind, verwende ich hier die Vektorschreibweise!

Wenn auf beide Seiten der mit dt erweitert wird, erhalten wir auf jeder Seite der Gleichung () je ein Produkt. Das linke Produkt nennen wir Kraftstoß I und das rechte Produkt Impuls p.

()

Gehen wir von den differentiellen Größen dv und dt zu den Differenzen Δv und Δt über,

()

so erhalten wir eine Interpretationsanweisung für den Kraftstoß I () und den Impuls p ():

(a)

folglich

(b)

Die Änderung des Kraftstoßes ΔI ist proportional der Einwirkdauer Δt einer Kraft F. Der Kraftstoß selbst tritt als Summe (Integral) aller Kräftstoßänderungen über der Zeit t in Erscheinung.

(a)

folglich

(b)

wenn nicht der Geschwindigkeitszuwachs Δv, sondern die Geschwindigkeit v selbst zur Grundlage der Berechnung genommen wird.
Wenn der Kraftstoß I die Wirkung einer Kraft F während ihrer gesamten Einwirkungsdauer t zum Ausdruck bringt, ist der äquivalente Impuls p ein Ausdruck für die Geschwindigkeit v, auf die der Kraftstoß I eine Masse m beschleunigt hat. In Bezug auf kann dieser Sachverhalt durch beschrieben werden:

(a)

bzw.

(b)

In einem mechanisch abgeschlossenen System^*) ist der Gesamtimpuls stets konstant. Diese Aussage ist als Impulserhaltungssatz bekannt. Neben dem Energieerhaltungssatz ist der Impulserhaltungssatz einer der wichtigsten Erhaltungssätze der Physik.
^*) Ein abgeschlossenes System ist frei von äußeren Einflüssen.

Zentraler elastischer Stoß

Beginnen wir mit dem einfachsten Stoß, dem elastischen zentralen Stoß. Elastisch bedeutet, dass die Deformation der zusammenprallenden Körper nach dem Stoß vollständig rückgängig gemacht wird und dadurch die gesamte Bewegungsenergie durch den Zusammenstoß nicht beeinflusst wird (). Herleitung und Anwendung der Stossgesetze beruhen auf den beiden Erhaltungssätzen für Impuls und Energie.
Die kinetische Gesamtenergie vor dem Stoß W_kin ist gleich der kinetischen Gesamtenergie nach dem Stoß W'_kin. Es gibt keine Wärmeverluste oder bleibende Deformationen der Körper. Weiterhin gilt, dass die Summe der Impulse, die die Körper infolge ihrer Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß besitzen, gleich sind ().

()

bzw.

()

Und zentral bedeutet, dass sich die stoßenden Objekte auf einer Linie aufeinander zu bewegen, die durch die Schwerpunkte beider Körper verläuft. Unter dieser Voraussetzung erfährt keiner der Körper einen Drall (Drehung) infolge des Zusammenstoßes.

Da sind sie also wieder, die idealisierenden Bedingungen für unser erstes Stoß-Experiment!

zeigt uns die Bezeichnungen der beteiligten Objekte, hier Kugeln mit den Massen m₁ und m₂, die vor dem Zusammenstoß die Geschwindigkeiten v₁ und v₂ haben. Nach dem Zusammenstoß werden sich die Kugeln mit den Geschwindigkeiten v'₁ und v'₂ weiter bewegen. Wir legen fest, alle Bewegungsgrößen werden nach dem Stoß mit einem Hochkomma ' gekennzeichnet.
Auch hier machen wir eine vereinfachende Festlegung:

Die Kugeln rollen nicht, sondern fliegen wie in einem Weltraumlaboratorium ohne Luftreibung und ohne Gravitationswirkung, d.h. die Kugeln führen keine Drehbewegung aus!
Die Kugeln bewegen sich nur in x-Richtung, so können wir auf die Vektorschreibweise verzichten.

Abb. Vor dem Stoß - nach dem Stoß

Beginnen wir mit der Energie-Bilanz:

Wie schon in ausgedrückt, ist die Summe aller kinetischen Energien vor dem Stoß gleich der nach dem Stoß. Drücken wir jetzt die kinetischen Energien durch die genannten Bewegungsgrößen bzw. Massen aus, erhalten wir:

()

kann vereinfacht werden. Die Faktoren 1/2 können gekürzt werden. Weiterhin kann durch Umsortieren die in gezeigte Form erreicht werden:

()

Die drei binomischen Formeln:

Beide Seiten der enthalten Differenzen der Geschwindigkeitsquadrate, die unter Verwendung der 3. Binomische Formel in Produkte von Geschwindigkeitsdifferenz bzw. -summe ausgedrückt werden können:

()

on/off

Und nun schauen wir uns die Impulsbillanz an:

Die Summe der Impulse vor dem Zusammenstoß p und nach dem Zusammenstoß p' muss gleich groß sein.
Drücken wir jetzt die einzelnen Impulse durch die genannten Bewegungsgrößen bzw. Massen aus, erhalten wir:

()

Umsortieren

()

ermöglicht durch Einsetzen in , dass die Beziehung auf beiden Seiten durch nur noch eine Masse (hier m₂) geprägt ist:

()

schließlich erhalten wir durch Kürzen in den einfachen Zusammenhang,

()

der aussagt, dass die Summe der Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß beider Objekte stets gleich groß sein muss!

und ergeben zusammen ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (), dessen Lösung auf die gesuchten Geschwindigkeiten nach dem Stoß führt.
Auf den linken Seiten beider Gleichungen befinden sich nur bekannte Größen, während auf den rechten Seiten die gesuchten Größen zu finden sind:

()

Solche Gleichungssysteme werden zweckmäßiger Weise mittels Determinanten nach der CRAMERschen Regel gelöst:

()

Auflösen und Vereinfachen:

()

analog dazu wird auch v'₂ berechnet.

()

In unserem einfachen Stoßexperiment ist die Implementierung der Verhältnisse vor und nach dem Stoß sehr einfach. Wir nehmen an, dass sich beide Objekte nur in x-Richtung bewegen, andere Richtungskomponenten verschwinden. Die Standorte und Geschwindigkeiten der stoßenden Objekte sind mit den Werten für x₁ und x₂ bzw. v_x1 und v_x2 vorgegeben. Da sich beide Objekte gleichförmig bewegen, gibt es bis zum Stoßmoment keine Änderung der Parameter.

Für die Zeiten nach dem Stoß gelten die neuen Geschwindigkeiten, die sich aus den bzw. ergeben. Damit sind alle Geschwindigkeitswerte im Voraus bekannt. So können sie einmalig berechnet werden und gelten solange, bis die experimentellen Voraussetzungen geändert werden.

Ganz wichtig für die Darstellung ist die Erkennung des Stoß-Momentes, die Kollisionserkennung. Eine Kollision liegt vor, wenn sich die Kugeloberflächen beider Objekte berühren. Dies ist der Fall, wenn der Standort x₁ plus Radius r₁ des linken Objektes gleich dem Standort x₂ minus Radius r₂ des rechten Objektes ist.

Für die Berechnung der Ortskoordinaten als Funktion der Zeit t gibt es zwei Wege:

Bis auf den Stoß sind die Bewegungen beider Kugeln gleichförmig. Das bedeutet, dass bis zum Stoß und ab dem Stoß die Ortskoordinaten durch die Multiplikation v·t berechnete werden können. Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß ergeben sich aus und . So ist nur die Stoß-Zeit t_Stoß zu bestimmen, um den Wechsel vom Geschwindigkeitspaar v_x1 und v_x2 zu v'_x1 und v'_x2 zu vollziehen. Im Stoß-Moment werden auch die Stoß-Orte ermittelt, die Ausgangspunkte für die Ortsberechnung nach dem Stoß sind ().

Abb. Berechnung der Ortskoordinaten bei Zugrundelegung einer gleichförmigen Bewegung

Diese Variante ist im nachfolgenden processing-Programm implementiert.
Einfacher ist die Implementation, wenn die Ortsberechnung integrativ erfolgt. Zum Stoß-Zeitpunkt werden die Geschwindigkeitswerte wie unter 1. beschrieben gewechselt. Da die Orte als Ergebnis einer Integration behandelt werden, ist die Speicherung der Stoß-Orte nicht erforderlich. Dieses Verfahren ist wesentlich effektiver in der Implementierung, deshalb bevorzuge ich diesen Weg!

Abb. Integrative Berechnung der Ortskoordinaten

Diese Varianle ist im nachfolgenden p5-Programm implementiert.

Nach dem Start des Programms befinden sich zwei Objekte auf Kollisionskurs in Bewegung. Es werden die Bewegungsabläufe gezeigt. Während das linke Objekt eine unveränderliche Geschwindigkeit von 1 m/s hat, kann die Geschwindigkeit des rechten Objektes mit dem Schieberegler gewählt werden. Auch das Masseverhältnis der Objekte können durch einen Schieberegler verändert werden. Die Masse verändert sich im Verhältnis der dritten Potenz zum Radius der Kugel!

Ergebnisdiskussion: Treffen gleich schwere Massen aufeinander, findet ein Wechsel der Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß statt. Haben sich m₁ mit der Geschwindigkeit v_x1 und m₂ mit der Geschwindigkeit v_x2 vor dem Stoß bewegt, so bewegen sich m₁ mit der Geschwindigkeit v_x2 und m₂ mit der Geschwindigkeit v_x1 nach dem Stoß.

Stark unterschiedliche Massen haben ein sehr unsymmetrisches Verhalten zur Folge: Die schwerere Masse ändert ihre Geschwindigkeit fast nicht, während die leichtere Masse mit bis zu doppelter Geschwindigkeit abprallt.

Symbol	Bedeutung
t	Zeit [s]
Δt	Zeitintervall [s]
I	Kraftstoß [Ns]
ΔI	Kraftstoßänderung [Ns]
p	Impuls [kgm/s]
Δp	Impulsänderung [kgm/s]
m	Masse [kg]
v	Objektgeschwindigkeit vor dem Stoß [m/s]
v'	Objektgeschwindigkeit nach dem Stoß [m/s]