Das Phänomen der inneren Reibung

Um das Phänomen der inneren Reibung in einem strömenden Medium besser zu verstehen, machen wir uns ein Modell der Strömung. In bewegen sich Moleküle unter dem Einfluss einer Kraft (oder eines Druckes) von links nach rechts. Da es keine Querkräfte gibt, bewegen sich alle Moleküle mit gleicher Geschwindigkeit in die gleiche Richtung. Statt der sich bewegenden Moleküle zeichen wir die sogenannten Strömungslinien ein. Dies verdeutlichen die Pfeile, hier mit Richtung nach rechts und gleicher Länge wegen der gleichen Geschwindigkeit. Was in nicht gezeigt wird, ist die dritte Dimension. Je nach Geometrie können die Strömungslinien auch Flächen unterschiedlicher Formung repräsentieren. Eine Strömung, bei der sich die Moleküle streng linienförmig bewegen, wird laminar (laminar = schichtartig) genannt.

Abb. Konzept der Strömungslinien

zeigt ein Strömungsprofil, das durch eine einseitige, flächige Begrenzung der Strömung durch eine feste Wand hervor gerufen wird. Infolge der molekularen Kräfte, die zwischen den Molekülen wirken, gibt es auch eine Wechselwirkung, also eine Kraft, zwischen den Molekülen des strömenden Mediums und denen der Wand. Da die Wand aber fest stehend ist, werden die jenigen Moleküle, die dicht an der Wand vorbei strömen, abgebremst. Natürlich vermindert sich der Wandeinfluss mit zunehmender Entfernung der Moleküle von der Wand! In großer Entfernung von der Wand stellt sich daher eine Ströung ein, die der unbegrezten Strömung sehr ähnlich ist.

Abb. Einfluss einer feststehenden Wand auf das Strömungsprofil

Der folgende Fall einer Strömung () ist der für unsere Aufgabenstellungen interessantere. Ein Körper wird von einem Medium umströmt. Dabei spielt es keine Rolle, ob sich das Medium um einen ruhenden Körper oder der Körper im ruhenden Medium bewegt. Nur die Relativbewegung ist wichtig! Hier sehen wir, der Körper stellt für die Strömung ein Hindernis dar. Er muss umströmt werden. Wir betrachten im Folgenden das Medium (Gas oder Flüssigkeit) stets als inkompressibel, d.h. es verändert sein Volumen bei Druckänderung nicht! Da das Medium bei der Umströmung des Körpers nicht ausweichen, aber auch nicht komprimiert werden kann, kann die Volumendiskrepanz nur durch eine Erhöhung der Strömungs­geschwindigkeit ausgeglichen werden. In wird dies durch die unterschiedlichen Längen der grünen Pfeile verdeutlicht. Hinter dem Körper verlangsamt sich die Strömung wieder und füllt das "offene" Volumen wieder aus. So lange die Strömungsgeschwindigkeit einen kritischen Wert nicht übersteigt, bleiben die Strömungslinien geschlossen und die Strömung ist auch nach dem Hindernis laminar.

Abb. Umströmung eines Zylinders bzw. einer Kugel

Bei zu großen Strömungsgeschwindigkeiten kann der Volumenausgleich nicht schnell genug erfolgen (). Die Strömungslinien reißen ab und verwirbeln sich hinter dem Hindernis. Eine solche Strömung wird turbulent genannt. Turbulente Strömungen setzen dem umströmten Körper einen größeren Widerstand entgegen als dies bei laminarer Strömung der Fall wäre.

Abb. Turbulente Strömung

Gleiten Schichten eines Mediums mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aneinander vorbei, so wirken innere Reibungskräfte zwischen den Schichten. Je größer der Geschwindigkeitsunterschied, desto größer die gegenseitige Beeinflussung. NEWTON formulierte in seinem Reibungsgesetz eine Proportionalität zwischen der Geschwindigkeitsdifferenz dv zweier benachbarter Schichten bezogen auf deren Schichtdicke dy und der Reibungskraft F_R, die zwischen den Schichten wirkt.

Abb. Zum Reibungsgesetz von NEWTON

Untersuchen wir den einfachen Fall (), dass sich ein Medium zwischen einer feststehenden Bodenplatte und einer, mit der Geschwindigkeit v₀, bewegten Deckplatte befindet. Damit sich die Deckplatte bewegen kann, ist die Reibkraft F_R aufzuwenden. Unter diesen Bedingungen werden die Schichten des Mediums von unten nach oben stetigt ansteigend mitgezogen. So entsteht ein Geschwindigkeitsgradient, der linear mit dem Abstand von der Basisfläche bis zu der im Abstand h befindlichen oberen Fläche ansteigt ().

Abb. Reibungskraft bei linearem Geschwindig­keits­gradienten

worin
η die dynamische Viskosität,
R den Kugelradius und
v die Relativgeschwindigkeit
bedeuten.

Nach dem Impulserhaltungssatz verfügt jedes Masseelement dm, welches sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, über einen Impuls p. Trifft dieses Masseelement auf einen Körper und ändert dabei seine Geschwindigkeit um den Wert dv, so übt es für die Dauer dt einen Kraftstoß dF auf den Körper aus (siehe hierzu auch das Kapitel Stoß/Kraftstoß und Impuls).

Abb. Wirkung aufprallender Moleküle

Da die Strömung sich mit der Gesamtgeschwindigkeit v bewegt, legt jedes Element in der Zeit dt den Weg ds zurück:

Abb. Zur Herleitung der NEWTONschen Strömungs­widerstandskraft

Im Folgenden wollen wir dies für ein kugelförmiges Objekt, dessen Reibungsverhalten aus bekannt ist, untersuchen.
In sehen wir eine Kugel mit dem Volumen V. Infolge ihrer Bewegung muss das frei gewordene Volumen des Mediums hinter der Kugel wieder aufgefüllt werden. Dies erfordert kinetische Energie, die Verdrängungsarbeit.
Um die aufzubringende kinetische Energie W_kin für die Verdrängung eines Masseteilchens des Fluids zu berechnen, verwenden wir die bereits bekannte Formel () zur Berechnung der kinetischen Energie bei gegebener Geschwindigkeit:

Abb. Zur Ermittlung der REYNOLDSzahl

worin
ρ die Dichte des Mediums,
R den Kugelradius und
l die charakteristische Länge
bedeuten.