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LAGRANGEsche Mechanik

Das Doppelpendel: Zwei Pendel, die aneinander befestigt sind

Differentialgleichungen für das Doppelpendel

Das Doppelpendel besteht aus zwei Pendeln, die aneinander befestigt sind (). Auf den ersten Blick scheint das Doppelpendel eine recht triviale Anordnung zu sein. Ein erstes Pendel ist in seinem Drehpunkt fixiert und an seiner Pendelmasse ist ein weiters Pendel drehbar angebracht. Die Bewegung des ersten Pendels teilt sich dem zweiten Pendel mit. Aber genauso gibt es eine Rückwirkung der Bewegung des zweiten Pendels auf das erste Pendel. Damit stellt diese Anordnung ein ideales Anwendungsfeld für den LAGRANGEschen Lösungs­algorith­mus dar.
Doppelpendel

Abb. Doppelpendel

Beginnen wir also wieder mit der Ermittlung der kinetischen und der potentiellen Energie des Systems:
()
Formel
und
()
Formel
Die Zwangsbedingungen folgen aus der Anordnung der Pendel:
  1. l1 = const.
  2. l2 = const.
So können die in kartesischen Koordinaten ausgedrückten Ortskoordinaten x1;y1 bzw. x2;y2 in einem Polar-Koordinatensystem auf die beiden Winkel φ1 und φ2 abgebildet werden:
()
Formel
sowie
()
Formel
Die Berechnung der kinetischen Energie () setzt die Kenntnis der Geschwindigkeiten beider Pendelmassen voraus. Diese erhalten wir, wenn die Ortskoordinaten beider Pendelmassen () und () nach der Zeit differenziert werden:
()
Formel
und
()
Formel
Geistesblitz
on/off

Aus folgt:
()
Formel
... und aus über die folgenden Zwischenschritte

quadrieren der Geschwindigkeitskomponenten:
Formel
... zusammenfassen:
Formel
... und vereinfachen:
()
Formel
Nun können wir sowohl die kinetische Energie Wkin () als auch die potentielle Energie Wpot () benennen:
()
Formel
()
Formel
Mit und können jetzt die LAGRANGEsche Funktion L () und die LAGRANGEsche Gleichung () formuliert werden:
()
Formel
In den folgenden Schritten werden die partiellen Differentiationen ausgeführt:
()
Formel
Formel
woraus schließlich folgt:
()
Formel
...und
()
Formel
sowie
()
Formel
nun noch nach der Zeit t differenzieren:
()
Formel
Die Gleichungen bis entsprechend zusammengefasst und geeignet sortiert ergeben wieder ein Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:
()
Formel
()
Formel
und werden sinnvoller Weise als Matrizen geschrieben und erhalten so eine allgemein gültige Form für alle Differentialgleichungssystemen vom Typ 2 x 2:
()
Formel
mit den Abkürzungen
Formel
können die gesuchten Größen nach der CRAMERschen Regel entsprechend und gefunden werden:
()
Formel
und
()
Formel
Die hier gewählte Schreibweise ist für die spätere Programm technische Umsetzung vorteilhaft, erspart sie doch die mühevolle Erfassung der vollständigen Formeln und gestattet zugleich die Austauschbarkeit der Lösungsfunktionen innerhalb der numerischen Lösungsmethoden.

Den Reibungseinfluss beschränken wir in diesem Beispiel auf eine Drehreibung in den Gelenken. Formal wird sie wie die Gleitreibung behandelt, d.h. sie ist nur von der Anpresskraft abhängig und der Bewegung stets entgegen gerichtet:
()
Formel
und
()
Formel
Wie in den früheren Beispielen wird die Wirkung der nichtkonservativen Kräfte in die LAGRANGEsche Beziehung eingearbeitet. Das führt letztlich auf eine Erweiterung der Koeffizienten c1 und c2:
()
Formel
und
()
Formel
Für die Lösung des Systems von Differentialgleichungen habe ich den Solver nach DORMAND-PRINCE wegen seiner hohen Genauigkeit ausgwählt. Warum? Weil es sich hier um nichtlineare Differentialgleichungen handelt, die in der Literatur als "steife" Differentialgleichungen gehandelt werden. Solche steifen Differentialgleichungen sind mit Vorsicht zu bahandeln. Meist werden die Rechenergebnisse über kurz oder lang falsch. Um zu bewerten, wie gut der ODE-Solver funktioniert, überprüfe ich die im System befindliche Energie. Falsche Rechenergebnisse äußern sich meist, aber nicht immer, in einem Zuwachs an Energie. Vorausgesetzt natürlich, das System muss reibungsfrei eingestellt sein, denn nur dann sollte die im System befindliche Energie konstant sein!

Im Gegensatz zum bewegten Doppelpendel, wo die Lösung der verkoppelten Differentialgleichungen das Zusammenspiel der beiden Teilpendel regelt, ist die Einstellung der Ausgangssituation vor dem Start per drag'n drop nicht ganz so einfach und selbstverständlich!

Schauen wir uns die nebenstehende Anordnung () an. Klar ist, dass der Ort x1;y1 der Masse m1 vollständig durch den Ort x2;y2 der Masse m2 bestimmt ist. Als Nebenbedingung können wir noch festhalten, dass die Entfernung der Masse m2 vom Aufhängungspunkt x0;y0 nicht größer sein kann als die Summe beider Pendellängen l1 + l2.

Wenn die Masse m2 per drag'n drop bewegt wird, dann ist ihr Ort x2;y2 bekannt. Daraus können nun der Abstand
()
Formel
und auch der Winkel
()
Formel
berechnet werden.
 Zur Einstellung der Anfangsbedingungen

Abb. Zur Einstel­lung der Anfangs­beding­ungen
Was wir suchen, sind die Winkel φ1 und φ2. Beide gehen als Anfangswerte in die Lösung der DGLn ein. Bei der Findung der Winkel hilft uns nun der Cosinus-Satz der Trigonometrie. So können nach etwas Umformarbeit die gesuchten Winkel berechnet werden:
()
Formel
()
Formel
Geistesblitz
on/off

Es sollte nicht verwunderlich sein, dass die Winkel φ1 und φ2 zwei Lösungen haben. Das geht auch aus der Skizze () hervor. Die Masse m1 kann zwei mögliche Positionen einnehmen! Im Programmbeispiel wird per Zufall ausgewählt, welche der beiden Varianten aktiv ist.


Das Beispielprogramm gestattet die Einstellung beliebiger Pendelkonstellationen per Maus. Dazu wird die gelbe Masse mit der Maus angeklickt und an die gewünschte Position gezogen. Beim Loslassen der Maustaste startet das Programm. Mit dem RESET-Button kann die Bewegung jederzeit angehalten werden. Dabei wird wieder die ursprüngliche Startposition der Pendel eingenommen.
Im Grundzustand arbeitet das System reibungsfrei. Mit dem Schieberegler "μ" kann eine Gelenkreibung eingestellt werden.
download processing
download p5.js
run program


Ergebnisdiskussion: Der Solver nach DORMAND-PRINCE bewährt sich prächtig! Insbesondere wird der kritische Fall - Reibungsfreiheit - sehr gut bewältigt. Die unten links im Spielfeld eingeblendete Kontrollfunktion zeigt die Abweichung der Gesamtenergie vom Anfangswert in % an. Selbst über längere Laufzeiten liegen die Abweichungen weit unter 1%! Wird die Gelenkreibung mittels Schieberegler zur Wirkung gebracht, zeigt sich das erwartete Verhalten, nämlich das zunehmende Auspendeln der Anordnung.

Die Bewegungsverläufe beider Pendelmassen sind chaotisch. Keine Konstellation der Massen wiederholt sich. Kleinste Änderungen in den Anfangs­bedingungen haben dramatische Folgen für die Bewegungsabläufe. Dieses Verhalten kannst Du im folgenden Programmbeispiel beobachten. Hier wird allerdings der besseren Übersicht auf die Darstellung der Pendel verzichtet und nur der Ort der unteren Masse (m2) als Trajektorie in wechselnder Farbe dargestellt.


Auch hier gestattet das Beispielprogramm die Einstellung beliebiger Pendelkonstellationen per Maus. Die gelbe Masse wird per Drag'n Drop an die gewünschte Position gezogen und losgelassen. Damit startet das Programm. Der RESET-Button stoppt jederzeit die Bewegung, um eine andere Pendelposition zu erproben. Mit dem Schieberegler "μ" kann eine Gelenkreibung simuliert werden.
download processing
download p5.js
run program


Ergebnisdiskussion: Der Verlauf der Trajektorie macht deutlich, dass es sich hier tatsächslich um eine chaotische Bewegung handelt. Kein Teilstück wird trotz gewisser Ähnlichkeiten wiederholt durchlaufen!