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LAGRANGEsche Mechanik

Das beweglich aufgehängte Pendel

Anwendungen des LAGRANGEschen Formalismus

Die Anwendung des LAGRANGEschen Algorithmus ist das ideale Werkzeug zur Lösung komplexer physikalischer Anordnungen. In der Regel führt dies auf ein System verkoppelter, meist nichtlinearer, Differentialgleichungen. Nämlich dann, wenn die Elemente der Anordnung untereinander in Verbindung stehen und sich so gegenseitig beeinflussen. Eine analytische Lösung ist in fast allen Fällen ausgeschlossen, so dass nur numerische Lösungsverfahren in Frage kommen. Da aber alle physikalischen Größen irgendwie von einander abhängig sind, ist bei den gefundenen Lösungen stets auf die Stabilität und die zu erreichende Genauigkeit zu achten. Solche Betrachtungen werden im Kapitel Numerische Lösungsmethoden eingehender erörtert.

Wagen mit Pendel

Das beweglich aufgehängte Pendel () ist schon nicht mehr ganz so einfach zu erfassen. Zwischen Wagen und Pendel wird es augenscheinlich Wechselwirkungen geben, die die Bewegung beider Objekte in nicht vorhersehbarer Weise beeinflussen.
Das Pendel hat, anders als bei den bekannten Standardbedingungen, keine starre Befestigung mehr. Der Drehpunkt des Pendels ist an einem in x-Richtung frei beweglichen Wagen der Masse mW befestigt. Einzig die vorhandene Rollreibung rW beeinflusst die Bewegung des Wagens auf der horizontalen Ebene. Als Reibungseinfluss für das Pendel wählen wir die STOKESsche Strömungsreibung rP wegen der zu erwartenden niedrigen Pendelgeschwindigkeit.

Zwangsbedingungen: In y-Richtung ist keine Bewegung, weder des Wagens noch - damit verbunden - des Drehpunktes, möglich. Für die Pendelmasse ist noch eine weitere Einschränkung wirksam, nämlich die Bindung an den starren Stab der Länge l, der die Masse mP an den Drehpunkt bindet.
Die erste Zwangsbedingung bedeutet, weil sich der Wagen nur horizontal auf der Unterlage bewegen kann, dass yW = const. ist.
()
Formel
Nicht fixiertes Pendel

Abb. Nicht fixiertes Pendel
Und die zweite Zwangsbedingung kann aus dem Satz des PYTHAGORAS hergeleitet werden:
()
Formel
Dadurch schränkt sich die Zahl der Freiheitsgrade auf zwei ein.
Mit der Transformation:
(a)
Formel
(b)
Formel
können die Variablen im System von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten und umgekehrt umgerechnet werden (). Dabei definieren wir die Lage des Drehpunktes so, dass yW = 0 ist.
Freiheitsgrade des nichtfixiertes Pendels

Abb. Freiheitsgrade des nicht­fixierten Pendels

Nun wenden wir den LAGRANGE-Formalismus an. Zunächst werden die Summen der kinetische () und der potentiellen () Energien berechnet:
()
Formel
und
()
Formel
Aus denen nun die LAGRANGEsche Funktion entsprechend aus der Differenz von kinetischer und potentieller Energie gebildet wird:
()
Formel
Die LAGRANGEsche Funktion beinhaltet noch drei Variable, nämlich vWx, yPy sowie die ersten Ableitungen vPy und vPx, von denen zwei Variable, nämlich xP und yP nicht unabhängig von einander sind. Hier hilft jetzt die Einarbeitung der Transformations­regeln (a) und b)). Dafür benötigen wir aber noch den Zusammenhang zwischen den Ortskoordinaten xP und yP und den zugehörigen Geschwindigkeiten, die ja den ersten Ableitungen nach der Zeit entsprechen:
()
Formel
Worin ω die erste Ableitung des Winkels φ nach der Zeit, also die Winkelgeschwindigkeit, bedeutet. In eingesetzt, erhalten wir jetzt die LAGRANGEsche Funktion mit nur noch zwei Variablen, einschließlich ihrer ersten Ableitungen nach der Zeit ():
Geistesblitz
on/off

()
Formel
Und los geht's mit dem LAGRANGEschen Formalismus (). Im ersten Schritt wird der Formalismus auf die Ortskoordinate des Wagens xW angewendet.
Die rechte Seite von ergibt:
()
Formel
und die linke, die zunächst (partiell) nach der Wagengeschwindigkeit vxW abgeleitet wird
()
Formel
nun muss noch nach der Zeit differenziert werden:
()
Formel
Gemäß erfolgt nun die Gegenüberstellung von und und wir erhalten die erste von zwei Differentialgleichungen:
()
Formel
Im zweiten Schritt wird der Formalismus nun auf den Winkel des Pendels φ angewendet.
Die rechte Seite von ergibt:
()
Formel
Wobei die Differentiation, die auf führt, wiederum die Anwendung der Kettenregel erfordert.

Im nächsten Teilschritt muss jetzt die linke Seite, zunächst (partiell) nach der Winkelgeschwindigkeit ω abgeleitet werden:
()
Formel
und auch muss nun noch nach der Zeit differenziert werden:
Geistesblitz
on/off

()
Formel
Die Gegenüberstellung von und gemäß liefert jetzt die zweite von zwei Differentialgleichungen:
()
Formel
Allerdings enthalten und die gesuchten Variablen, insbesondere deren erste Ableitungen vxW und ω, noch in ungeordneter Form. Beide erste Ableitungen liegen noch in beiden Gleichungen verteilt vor, so dass sie für eine sofortigen numerischen Lösung nicht zugänglich sind. Außerdem fehlt ja noch die Behandlung des Reibungseinflusses, den wir im nächsten Schritt berücksichtigen wollen.

Um den Einfluss nichtkonservativer Kräfte zu berücksichtigen, erweitern wir den LAGRANGEschen Formalismus um
  1. die Reibungskraft FRW, die auf die Wagenbewegung Einluss nimmt:
    ()
    Formel
    Die Reibkraft, die die Bewegung des Wagens abbremst, hier als Rollreibung gedacht, wirkt bekanntlich immer der Bewegung entgegen. Um die Richtungsabhängigkeit der Reibung zu berücksichtigen, wird das Vorzeichen der Wagengeschwindigkeit vxW als Indikator für die Wirkrichtung der Reibkraft verwendet.

    ... und

  2. die NEWTONsche Strömungsreibung (wir könnten aber abenso die STOKESsche Reibung zur Anwendung bringen!), die die Bewegung des Pendels abbremst. Hier setzt sich die Pendel­geschwindigkeit aus zwei Komponenten zusammen: der Pendelschwingung zuzüglich der Wagengeschwindigkeit. Allerdings nicht in Gänze, sondern nur der Teil vxW·cos(φ) , der in Richtung der Pendelgeschwindigkeit vP = ω·l verläuft ().
    Auch hier wird die Richtungs­abhängigkeit der Reibung durch das Vorzeichen der resultierenden Pendel­geschwindig­keit berücksichtigt (die NEWTONsche Strömungsreibung ist quadratisch von der Strömungs­geschwindigkeit abhängig - was zu einem Vorzeichenverlust führt - darum verwende ich hier den Trick der Quadrierung durch Produktbildung aus Betrag und vorzeichen­behafteter Geschwindigkeit - wodurch das Vorzeichen erhalten bleibt. Siehe hierzu auch das Kapitel "Strömungsreibung nach NEWTON", :
    Reibungswirksame Pendelgeschwindigkeit

    Abb. Reibungswirksame Pendelgeschwindigkeit
()
Formel
Nun werden die Gleichungen und geeignet geordnet und schließlich um die beiden Reibungskräfte FRW und FRP nach und erweitert:
()
Formel
und
()
Formel
Es zeigt sich, dass es sich bei den Gleichungen und um ein Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten handelt, das am bestem mit Hilfe der Determinanten­rechnung gelöst wird:
()
Formel
und
()
Formel
Woraus schließlich die endgültigen, für eine numerische Lösung geeigneten Bestimmungsgleichungen gewonnen werden:
()
Formel
und
()
Formel

Im Beispielprogramm ist eine nichtfixierte Masse mWagen, an der ein ideales Pendel der Masse mPendel und der Länge l befestigt ist. Einstellbar sind die Pendellänge l, die Strömungsreibung am Pendel cw und die Rollreibung μr zwischen Wagen und Untergrund.
download processing
download p5.js
run program
Ergebnisdiskussion: Je nach Reibungseinfluss (cw für die Strömungsreibung und μGl für die Rollreibung) findet ein Energieaustausch zwischen Pendelmasse mPendel und Wagenmasse mWagen statt. Während die Energieverluste durch die Strömungsreibung nur die Pendelbewegung zum Abklingen bringen, wirken die Rollreibungsverluste dahingehend, dass die Wagenbewegung, zu erkennen an den max. Auslenkungen des Wagens, zunehmend unsymmetrisch wird.

Hinweis: Die numerische Lösung verkoppelter Differential­gleichungen erfordert ein sehr viel genaueres Lösungsverfahren als das bisher von uns benutzte EULER-CAUCHY-Verfahren. Dessen Ungenauigkeiten führen bei solchen Anwendungen zu falschen und sogar instabilen Bewegungsverläufen. Deshalb wird im beigefügten Beispiel ein genauer arbeitendes Verfahren verwendet. Einzelheiten findest Du im Kapitel "Numerische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen".