4. Kapitel

Schräger Wurf unter Wind-Einfluss

In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, welchen Einfluss der Wind bei der Bewegung unter Berücksichtigung der Strömungsreibung nach NEWTON hat. Wir wollen hier annehmen, dass der Wind nur in x-Richtung weht (prinzipiell stellt dies aber keine Einschränkung dar!).

Wie zeigt, weht der Wind (dicker brauner Pfeil) in Bewegungsrichtung des Objektes mit der Geschwindigkeit v_Wind. In der Wirkung unterstützt der Wind den Flug des Objektes, d.h. in x-Richung muss die Strömungsreibung kleiner werden, weil die Relativgeschwindigkeit zwischen Objekt und Medium durch den Wind kleiner geworden ist.

Abb. Schräger Wurf unter Einfluss von Wind

Welchen Einfluss der Wind auf die reibungswirksamen Komponenten hat, zeigt . Die Geschwindigkeitskomponenten v_x und v_y werden wie bisher aus der Geschwindigkeit v des Objektes hergeleitet. Reibungswirksam ist aber die Geschwindigkeit v_R, die sich aus den Komponenten v_y (unverändert) und v_x - v_Wind zusammen setzt.

Die reibungswirksame Geschwindigkeit berechnet sich dann zu

()

Wie zu erwarten ist, reduziert der Rückenwind die resultierende Geschwindigkeit v und damit die wirksame Reibkraft F_R. Gegenwind verstärkt hingegen die Reibkraft.

Abb. Komponentenzerlegung bei Bewegung unter Windeinfluss

Unter diesen Randbedingungen lautet jetzt der Dreisatz

()

Auflösen nach den Komponenten der Reibungskraft:

()

Die weitere Entwicklung der Lösung führt analog zu auf die Differentialgleichungen für die Bewegungsgleichungen der Ortskoordinaten v_x und v_y:

()

Auch hier bietet sich die numerische Lösung der Differentialgleichung nach an und führt so zu v_x(t) und v_y(t), respektive zu x(t) und y(t).

Geschoss unter Einfluss von Wind

Im folgenden Beispiel wollen wir den Flug eines Geschosses am Computer simulieren. Hier die technischen Daten des Gewehrs Fortek 2001:

Kaliber	0.5" (12 mm)
Masse	42 g
Mündungsgeschwindigkeit	823 m/s

Der Hersteller gibt die maximale Schussweite mit 6200 m bei einem Schusswinkel von 37 Grad an. Das Geschoss trifft mit einer Geschwindigkeit von 175 m/s auf.

Das Beispielprogramm vergleicht die Bewegung des Geschosses unter Wind-Einfluss. Es wird die Flugbahn als Graf dargestellt. Als Parameter kann die Windgeschwindigkeit v_Wind im Bereich von ±100 km/h mit einem Schieberegler variiert werden. Der Button RESET erlaubt die simultane Darstellung verschiedener Einstellungen, erst mit Betätigung des CLEAR-Buttons werden alle Grafen gelöscht.

Ergebnisdiskussion: Der Wind nimmt deutlich Einfluss auf die Bewegung des Geschosses. Die vom Hersteller (ohne Wind!) gemachte Angabe zur Schussweite wird in der Simulation nicht erreicht. Ursache hierfür dürfte ebenfalls die simple Lösungsmethode der Differentialgleichungen sein. Hingegen ist die Übereinstimmung bei der Auftreffgeschwindigkeit sehr gut.

Geschoss unter Einfluss von Seitenwind

Man möchte meinen, dass Seitenwind, der senkrecht (also aus z-Richtung) auf die Flugbahn eines Objektes weht, keine Wirkung auf die Flugbahn in x - y- Richtung hat. Mal sehen, ob das so ist?
Die zu lösende Aufgabe ist ein 3D-Problem; drei Dimensionen → drei Freiheitsgrade → drei Differentialgleichungen - obwohl uns nur die Auswirkung des Seitenwindes auf die Bewegung in der x - y-Ebene interessiert!

Nehmen wir wieder das Geschoss als Beispiel. Der Einfachheit halber betrachten wir das Geschoss als Zylinder mit der Frontfläche A_x, y und einer seitlichen Projektionsfläche A_z. Ebenso sind auch die c_{w_x,y}- bzw. c_{w_z}-Werte verschieden. Unter diesen Voraussetzungen wirkt bei Einfluss eines Seitenwindes mit der Geschwindigkeit v_Wind in z-Richtung eine Reibungskraft F_R entsprechend :

()

F_{R} = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot [c_{w_{x, y}} \cdot A_{x, y} \cdot ({v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}) + c_{w_{z}} \cdot A_{z} \cdot {(v_{z} - v_{W i n d})}^{2}]

Mit der Gesamtgeschwindigkeit v:

()

v = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2} + {(v_{z} - v_{W i n d})}^{2}}

Analog zur Entwicklung der bis folgt die Aufstellung der .

Die verkoppelte DGl lautet also:

()

{\overset{\cdot}{v}}_{x} = - \frac{ρ \cdot v_{x}}{2 \cdot m \cdot \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2} + {(v_{z} - v_{W i n d})}^{2}}} \cdot [c_{w_{x, y}} \cdot A_{x, y} \cdot ({v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}) + c_{w_{z}} \cdot A_{z} \cdot {(v_{z} - v_{W i n d})}^{2}]

{\overset{\cdot}{v}}_{y} = - g - \frac{ρ \cdot v_{y}}{2 \cdot m \cdot \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2} + {(v_{z} - v_{W i n d})}^{2}}} \cdot [c_{w_{x, y}} \cdot A_{x, y} \cdot ({v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}) + c_{w_{z}} \cdot A_{z} \cdot {(v_{z} - v_{W i n d})}^{2}]

{\overset{\cdot}{v}}_{z} = - \frac{ρ \cdot v_{z}}{2 \cdot m \cdot \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2} + {(v_{z} - v_{W i n d})}^{2}}} \cdot [c_{w_{x, y}} \cdot A_{x, y} \cdot ({v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}) + c_{w_{z}} \cdot A_{z} \cdot {(v_{z} - v_{W i n d})}^{2}]

Das Beispielprogramm vergleicht die Bewegung des Geschosses unter dem Einfluss von Seitenwind. Hier wird die Wirkung in z-Richtung nicht untersucht, vielmehr wird untersucht, inwieweit Seitenwind auf die Bewegung eines Objektes in seiner x - y-Bewegung Einfluss nimmt.
Es wird die Flugbahn als Graf dargestellt. Als Parameter kann die Windgeschwindigkeit v_Wind im Bereich von ±100 km/h mit einem Schieberegler variiert werden. Der Button RESET erlaubt die simultane Darstellung verschiedener Einstellungen, erst mit Betätigung des CLEAR-Buttons werden alle Grafen gelöscht.

Ergebnisdiskussion: Was jeder Fahrradfahrer weiß: Seitenwind bremst und kostet zusätzliche Anstrengungen. Diese Erfahrung bestätigt das Experiment. Natürlich ist die Wirkung von Seitenwind nicht so stark wie bei Rücken- oder Gegenwind! Aber sie ist sichtbar bremsend vorhanden! Aus welcher Richtung der Seitenwind weht hat erwartungsgemäß keinen Einfluss auf die Geschossbahn.

Symbol	Bedeutung
F_R	Reibungskraft [N] ( bzw. )
g	Erdbeschleunigungskonstante [m/s²]
m	Masse [kg]
c_w	Strömungsbeiwert
A	angeströmte Fläche [m²]
A_x,y	angeströmte Frontfläche [m²]
A_z	angeströmte Seitenfläche [m²]
ρ	Dichte des strömenden Mediums [kg/m³]