4. Kapitel

Schräger Wurf unter Einfluss der Strömungsreibung

Wir erinnern uns: die Behandlung des schrägen Wurfes erfordert die Berechnung von zwei Ortskomponenten x(t) und y(t), da das bewegte Objekt zwei Freiheitsgarde hat. D.h. sowohl für die x-Koordinate als auch für die y-Koordinate sind je eine Differentialgleichung aufzustellen und zu lösen.

Merke: für jeden Freiheitsgrad ist eine eigene Differentialgleichung zuständig. Daher entspricht die Zahl der Freiheitsgrade der Zahl der erforderlichen Differentialgleichungen!

Folglich gibt es für den schrägen Wurf unter Einfluss der Strömungsreibung je eine Gleichung für die x-Koordinate und die y-Koordinate:

()

0 = F_{T_{x}} + F_{R_{x}}

G = F_{T_{y}} + F_{R_{y}}

D.h. wir benötigen die x- bzw. y-Komponenten der Reibungskraft.

Das Besondere an der Betrachtung des schrägen Wurfes unter Einfluss der Strömungsreibung besteht nun darin, dass die Reibungskraft, die ja stets der Bewegungsrichtung entgegengesetzt wirkt, in einem quadratischen Abhängigkeitsverhältnis zur Geschwindigkeit steht. Für die Berechnung der x- und y-Komponenten der Reibungskraft genügt also nicht, die Geschwindigkeit in ihre x- bzw. y-Komponente zu zerlegen und getrennt entsprechend zu quadrieren, sondern - wegen genau dieser quadratischen Abhängigkeit - muss erst die Reibungskraft berechnet werden, um dann in die einzelnen Komponenten zerlegt werden zu können. So entsteht die Situation, dass diese Kraftkomponenten nicht mehr unabhängig von einander sind.

Abb. Schräger Wurf unter Einfluss der Strömungsreibung

Die Gesamtreibungskraft F_R teilt sich dem Flugwinkel α entsprechend

in die für die x- y-Ebende maßgeblichen Komponenten F_Rx und F_Ry auf.
Da aber der momentane Flugwinkel durch den arctan() des momentanen Geschwindigkeitsverhältnisses v_y/v_x berechnet wird, kann durch Anwendung der trigonometrischen Gesetzmäßigkeiten die folgende Vereinfachung gefunden werden:

Aus mathematischer Sicht ist die Berechnung der Kraftkomponenten kein Problem. Denn mit dem Flugwinkel α ist auch die Wirkrichtung der Reibungskraft bekannt, die ja der Flugrichtung entgegen wirkt. Ist der Flugwinkel bekannt, dann können mit Hilfe der cos- bzw. sin-Funktion die beiden Kraftkomponenten in x- bzw. y-Richtung berechnet werden.
Allerdings erhebt sich die Frage, woher kenne ich den Flugwinkel α unter dem die Reibungskraft angreift?
Da hilft uns weiter. Da die Kraft ja exakt gegen die Bewegungsrichtung des fliegenden Objekts wirkt, wird unser gesuchter Winkel durch die Strömungsrichtung bestimmt. Und die Strömungsrichtung wiederum wird durch die Komponenten der Fluggeschwindigkeit bestimmt. D.h. erst wird der Winkel des Kraftangriffs mit Hilfe der arctan-Funktion aus dem Verhältnis der Geschwindigkeitskomponenten v_y zu v_x berechnet, dann können die Kraftkomponenten wie beschrieben berechnet werden (siehe Geistesblitz).

on/off

Ziemlich aufwändig, oder? Aber muss denn die Rechnung so kompliziert und Rechenzeit intensiv sein? Die Berechnung trigonomietrischer Funktionen ist sehr aufwändig. Nein! Die einfachere Lösung kommt mit dem Dreisatz aus. Es gilt nämlich

()

weil, sowohl der Geschwindigkeitsvektor und der Kraftvektor der Strömungsreibung, als auch die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors und des Kraftvektors in die gleichen Richtungen weisen. So erhalten wir durch Umstellen von die gesuchten Komponenten des Kraftvektors:

()

Verlauf der Geschwindigkeit über der Zeit

Abb. Komponentenzerlegung

Nach dem Satz des PYTHAGORAS gilt

v = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}

und wird zu

()

Einsetzen in

()

Jetzt können wir die Differentialgleichungen für beide Bewegungskomponenten aufstellen. Das tun wir analog zu , indem wir wieder die Substitution

\overset{\cdot}{x} = v_{x} \Rightarrow \overset{\cdot \cdot}{x} = {\overset{\cdot}{v}}_{x}

bzw.

\overset{\cdot}{y} = v_{y} \Rightarrow \overset{\cdot \cdot}{y} = {\overset{\cdot}{v}}_{y}

anwenden.

In x-Richtung wirken keine äußeren Kräfte, in y-Richtung wirkt die Gravitation als Störung.

()

0 = m \cdot {\dot{v}}_{x} + c_{w} \cdot \frac{ρ \cdot A}{2} \cdot v_{x} \cdot \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}

- m \cdot g = m \cdot {\dot{v}}_{y} + c_{w} \cdot \frac{ρ \cdot A}{2} \cdot v_{y} \cdot \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}

Stellen wir nun noch die Normalform der Differentialgleichungen her

()

Wie unschwer zu erkennen ist, gibt es eine gegenseitige Abhängigkeit der beiden Teilgleichungen . Einmal ist die Differentialgleichung für v_x von v_y abhängig, das andere mal v_y von v_x. Solche Differentialgleichungen werden verkoppelt genannt.
Eine analytische Lösung der verkoppelten Differentialgleichungen wäre noch viel komplizierter als die bisherigen Lösungen für den Fall unter Reibungseinflusss, daher wenden wir das numerische Lösungsverfahren an.

()

Bei der Besprechung des Falls unter dem Einfluss der NEWTONschen-Reibung erwähnte ich, dass die Richtungsinformation infolge der Quadrierung der Geschwindigkeit verloren geht und deshalb das Quadrat in ein Produkt aus Geschwindigkeit und Betrag der Geschwindigkeit umgewandelt werden muss (). Nach erübrigt sich diese Vorkehrung, da der Wurzelausdruck an sich schon dem Betrag der Geschwindigkeit entspricht!

Für die rechentechnische Umsetzung der Bewegungsgleichungen ist es wichtig, die Geschwindigkeitswerte v_x und v_y des (i-1)ten Schrittes vorrätig zu haben. Wie ein Blick auf zeigt. Denn im Programm wird der alte Geschwindigkeitswert v_x sofort mit dem neu berechneten Wert überschrieben, stünde also für Die Berechnung des neuen Wertes für v_y nicht mehr zur Verfügung! Daher wird zu Beginn der Rechnung der Wert v_x in einer Hilfsvariablen v_x' gesichert.

Beachte: Die Stabilität verkoppelter numerischer Lösungen hängt stark von der Integrationsreihenfolge ab. Dies trifft besonders auf das einfache numerische Lösungsverfahre, das wir bisher angewendet haben, zu.
Aus Stabilitätsgründen ist es also erforderlich, dass im ersten Schritt alle I. Integrationen (also die Berechnung der Geschwindigkeiten) ausgeführt werden. Erst dann können im II. Integrationsschritt alle Ortsfunktionen berechnet werden.

Abb. numerische Lösung einer verkoppelten Differentialgleichung

Das Beispielprogramm vergleicht die Bewegung eines Balls unter Einfluss der Strömungsreibung nach NEWTON, die zum einen ohne Reibungseinfluss (Vacuum) zum anderen mit Reibungseinfluss berechnet wurden. Beide Lösungen werden direkt gegenüber gestellt, wobei alle Parameter identisch sind. Als Vacuum-Referenz dient der schwarze Punkt.

Ziehen des Geschwindigkeitspfeiles verändert die Startgeschwindigkeit und Startwinkel des Balls. Ziehen des Schiebereglers "τ" verändert die "Zeitkonstante". Da hier die klassische Definition der Zeitkonstante nicht gilt, verwenden wir die Definition nach .

Beachte die Abweichung beider Bewegungsverläufe!

Symbol	Bedeutung
F_R	Reibungskraft [N] ( bzw. )
F_T	Trägheitskraft [N] ()
G	Gewicht [N]
g	Erdbeschleunigungskonstante [m/s²]
m	Masse [kg]
c_w	Strömungsbeiwert
A	angeströmte Fläche [m²]
ρ	Dichte des strömenden Mediums [kg/m³]