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Innere Reibung - Reibung in Flüssigkeiten und Gasen

Schräger Wurf unter Einfluss der Strömungsreibung

Wir erinnern uns: die Behandlung des schrägen Wurfes erfordert die Berechnung von zwei Ortskomponenten x(t) und y(t), da das bewegte Objekt zwei Freiheitsgarde hat. D.h. sowohl für die x-Koordinate als auch für die y-Koordinate sind je eine Differentialgleichung aufzustellen und zu lösen.

Merke: für jeden Freiheitsgrad ist eine eigene Differentialgleichung zuständig. Daher entspricht die Zahl der Freiheitsgrade der Zahl der erforderlichen Differentialgleichungen!

Das Besondere an der Betrachtung des schrägen Wurfes unter Einfluss der Strömungs­reibung besteht nun darin, dass die Reibungskraft stets der Bewegungsrichtung entgegengesetzt wirkt und dann noch in einem quadratischen Abhängigkeitsverhältnis zur Geschwindigkeit steht. Für die Berechnung der x- und y-Komponenten der Reibungskraft genügt also nicht, die Geschwindigkeit in ihre x- bzw. y-Komponente zu zerlegen und getrennt entsprechend zu quadrieren, sondern - wegen genau dieser quadratischen Abhängigkeit - muss erst die Reibungskraft berechnet werden, um dann in die einzelnen Komponenten zerlegt werden zu können.
Schräger Wurf unter Einfluss der Strömungsreibung
Abb. Schräger Wurf unter Einfluss der Strömungsreibung


Aus mathematischer Sicht ist die Berechnung der Kraftkomponenten kein Problem. Denn mit dem Flugwinkel α ist auch die Wirkrichtung der Reibungskraft bekannt, die ja der Flugrichtung entgegen wirkt. Ist der Flugwinkel bekannt, dann können mit Hilfe der cos- bzw. sin-Funktion die beiden Kraftkomponenten in x- bzw. y-Richtung berechnet werden.
Allerdings erhebt sich die Frage, woher kenne ich den Flugwinkel α unter dem die Reibungskraft angreift?
Da hilft uns weiter. Da die Kraft ja exakt gegen die Bewegungsrichtung des fliegenden Objekts wirkt, wird unser gesuchter Winkel durch die Strömungsrichtung bestimmt. Und die Strömungsrichtung wiederum wird durch die Komponenten der Fluggeschwindigkeit bestimmt. D.h. erst wird der Winkel des Kraftangriffs mit Hilfe der arctan-Funktion aus dem Verhältnis der Geschwindigkeits­komponenten vy zu vx berechnet, dann können die Kraftkomponenten wie beschrieben berechnet werden.
Verlauf der Geschwindigkeit über der Zeit
Abb. Komponentenzerlegung


Ziemlich aufwändig, oder? Aber muss denn die Rechnung so kompliziert und Rechenzeit intensiv sein? Die Berechnung trigonomietrischer Funktionen ist sehr aufwändig. Nein! Die einfachere Lösung kommt mit dem Dreisatz aus. Es gilt

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Formel

Umstellen
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Formel

Nach dem Satz des  PYTHAGORAS  gilt v = v x 2 + v y 2 und wird zu
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Formel

Einsetzen in
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Formel

Jetzt können wir die Differentialgleichungen für beide Bewegungskomponenten aufstellen. Das tun wir analog zu , indem wir wieder die Substitution x · = v x x · · = v · x bzw. y · = v y y · · = v · y anwenden.

In x-Richtung wirken keine äußeren Kräfte, in y-Richtung wirkt die Gravitation als Störung.
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Formel

Stellen wir nun noch die Normalform der Differentialgleichungen her
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Formel

Wie unschwer zu erkennen ist, gibt es eine gegenseitige Abhängigkeit der beiden Teilgleichungen . Einmal ist die Differentialgleichung für vx von vy abhängig, das andere mal vy von vx. Solche Differentialgleichungen werden verkoppelt genannt.
Eine analytische Lösung der verkoppelten Differentialgleichungen wäre noch viel komplizierter als die bisherigen Lösungen für den Fall unter Reibungseinflusss, daher wenden wir das numerische Lösungsverfahren an.
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Formel

Bei der Besprechung des Falls unter dem Einfluss der NEWTONschen-Reibung erwähnte ich, dass die Richtungsinformation infolge der Quadrierung der Geschwindigkeit verloren geht und deshalb das Quadrat in ein Produkt aus Geschwindigkeit und Betrag der Geschwindigkeit umgewandelt werden muss (). Nach erübrigt sich diese Vorkehrung, da der Wurzelausdruck an sich schon dem Betrag der Geschwindigkeit entspricht!

Für die rechentechnische Umsetzung der Bewegungsgleichungen ist es wichtig, die Geschwindigkeitswerte vx und vy des (i-1)ten Schrittes vorrätig zu haben. Wie ein Blick auf zeigt. Denn im Programm wird der alte Geschwindigkeitswert vx sofort mit dem neu berechneten Wert überschrieben, stünde also für Die Berechnung des neuen Wertes für vy nicht mehr zur Verfügung! Daher wird zu Beginn der Rechnung der Wert vx in einer Hilfsvariablen vx' gesichert.

Beachte: Die Stabilität verkoppelter numerischer Lösungen hängt stark von der Integrationsreihenfolge ab. Dies trifft besonders auf das einfache numerische Lösungsverfahre, das wir bisher angewendet haben, zu.
Aus Stabilitätsgründen ist es also erforderlich, dass im ersten Schritt alle I. Integrationen (also die Berechnung der Geschwindigkeiten) ausgeführt werden. Erst dann können im II. Integrationsschritt alle Ortsfunktionen berechnet werden.



Abb. numerische Lösung einer verkoppelten Differentialgleichung


Das Beispielprogramm vergleicht die Bewegung eines Balls unter Einfluss der Strömungsreibung nach NEWTON, die zum einen ohne Reibungseinfluss (Vacuum) zum anderen mit Reibungseinfluss berechnet wurden. Beide Lösungen werden direkt gegenüber gestellt, wobei alle Parameter identisch sind. Als Vacuum-Referenz dient der sschwarze Punkt.

Ziehen des Geschwindigkeitspfeiles verändert die Startgeschwindigkeit und Startwinkel des Balls. Ziehen des Schiebereglers "τ" verändert die "Zeitkonstante". Da hier die klassische Definition der Zeitkonstante nicht gilt, verwenden wir die Definition nach .

Beachte die Abweichung beider Bewegungsverläufe!
download p5.js
run program