4. Kapitel

Energetische Betrachtung zur Bewegung unter Reibungseinfluss

Fallschirmsprung versus freier Fall

Eine energetische Betrachtung zur Bewegung unter Reibungseinfluss ist für die Entwicklung von Spielen und das Verstehen der physics engines wohl weniger interessant, dennoch lohnt sich ein Blick auf diese Thematik.

Befindet sich ein Körper der Masse m auf einem bestimmten Niveau h, so besitzt er die potentielle Energie W_pot:

()

Worin g die Erdbeschleunigungskonstante bedeutet.
Wird der Körper nun fallen gelassen, so verringert sich mit abnehmender Höhe seine potentielle Energie W_pot. Seine aktuelle potentielle Energie beträgt dann

()

Gleichzeitig wird der Körper aber durch die Gravitation beschleunigt und seine Geschwindigkeit v steigt und er gewinnt an kinetischer Energie W_kin. Seine kinetischer Energie beträgt nun:

()

Im freien Fall, d.h. ohne Reibungseinfluss, wird weder Energie hinzugefügt noch anderweitig abgeführt, die Gesamtenergie W_ges bleibt also über den gesamten Fall hinweg unverändert! Die Energiebillanz lautet:

()

Anders liegen die Verhältnisse, wenn während des Falls die Strömungsreibung wirkt. Dann wird ein Teil der ursprünglich vorhandenen potentiellen Energie in Wärmeenergie W_R (d.h. Reibungsverlustenergie) umgewandelt. Wir berücksichtigen dies durch eine Erweiterung der Energiebillanz:

()

Für die Ermittlung der Verlustenergie W_R (Verlust deshalb, weil dieser Anteil durch Umwandlung in Wärme nicht mehr für die Bewegung verfügbar, also nichtkonservativ ist) gehen wir von der Grundbeziehung ()

()

aus. Den allgemeinen Ausdruck s für den Weg ersetzen wir durch y, die Ortskoordinate des Falls. Und statt des einfachen Produktes benutzen wir die Integralform, weil die Reibungskraft nicht über den gesamten Weg von y = h bis y = 0 konstant ist. Wir können demzufolge immer nur für differentiell kleine Wegabschnitte die Energieänderung erfassen:

()

Die Größe der Kraft F_R, die infolge der Strömungsreibung auftritt, kennen wir bereits aus . Damit wird die Änderung der Energie so berechnet:

()

Um nun die kinetische Gesamtenergie W_ges zu erhalten, die der Körper bei der Geschwindigkeit v_y aufgenommen hat, müssen wir über den gesamten Weg integrieren:

()

berücksichtigen wir, dass dy aus dem Produkt von Geschwindigkeit v und dt, also durch dy = v_y·dt ersetzt werden kann:

()

Dieses Integral zu lösen ist sehr aufwändig, da schon der analytische Ausdruck für die Fallgeschwindigkeit v_y (siehe ) sehr umfangreich ist. Deshalb verwenden wir auch hier ein numerischen Verfahren für die Integration:

()

Zu letzt noch eine Bemerkung zur Verlustleistung P_loss. Die Leistung ist ein Maß für den Energieaufwand/verlust pro Zeiteinheit:

()

Nach (bzw. ) kann dW = F·ds ersetzt werden:

()

Übertragen auf den Fallschirmsprung () bedeutet dies

()

Beachte, dass die Verlustleistung unter NEWTONscher Reibung mit der 3. Potenz der Geschwindigkeit steigt. Wer also statt Tempo 100 km/h 130 km/h fährt, muss die fast 3-fache Verlustleistung durch Strömungsreibung aufbringen! Wenn das kein triftiges Argument für ein Tempolimit auf deutschen Autobahnen ist!

stellt die einzelnen Energieformen bei einem Fallschirmsprung nach dem Anwendungsbeispiel gegenüber. Auch der Verlauf der Verlustleistung P_loss kann dargestellt werden.

Bitte einen Augenblick Geduld
während das Programm geladen wird!

Abb. Energie- und Leistungsbillanz beim Fallschirmsprung

Das Demoprogramm erlaubt, nachdem es gestartet wurde, die Darstellung der Energieformen W_pot, W_kin und W_loss als Grafen. Wird der Button Power betätigt, wird der Verlauf der Verlustleistung dargestellt. Mit dem Button open kann der Fallschirm geöffnet oder geschlossen werden. Nach Programmstart ist der Fallschirm geschlossen.

Ergebnisdiskussion: bereits an einem herkömmlichen Fallschirm (Gesamtmasse 90 kg) entsteht eine Verlustleistung von ca. 5 kW! Damit könnten in 1 min und 40 s 1 l Wasser um 100 °C erwärmt werden! Allerdings dauert die Flugphase unseres Fallschirms nicht so lange! Außerdem verteilt sich diese Verlustleistung auf die recht große Oberfläche des Fallschirms, wo sie keinen Schaden anrichten kann.
Im freien Fall (Fallschirm geschlossen) ist die Verlustleistung, wie zu erwarten, gleich Null.

Energie und Umwelt

Der Energiebedarf der Menschheit steigt stetig und verursacht hohe Umweltschäden. Ein Treiber hierbei ist das Flugwesen. Jeden Tag werden weltweit 1 Mrd l Kerosin in CO₂ verbrannt. Im Jahr 2018 fanden allein über Deutschland 3,34 Mio Flugbewegungen statt!
Deshalb ist es angebracht, an dieser Stelle über die Energieaufwendungen nachzudenken, die ein Flug verursacht. Betrachten wir die Energiekonsumption eines Fluges () aus physikalischer Sicht. Im wesentlichen sind drei Flugphasen energetisch von Bedeutung:

Start und Steigflug: Hauptsächlich wird Energie für die Erreichung der Reisegeschwindigkeit und der Reisehöhe aufgewendet. Der Anteil der Strömungsreibung ist in dieser Phase noch zu vernachlässigen.
Streckengewinn in Reiseflughöhe: Hier wirkt in erster Linie die Strömungsreibung.
Sinkflug und Landung: Hier werden sowohl die kinetische Energie als auch die potentielle Energie in Wärme umgewandelt. Ein relativ geringer Energiebedarf ergibt sich aus der Erhaltung von Flugbahnen niedrigeren Niveaus infolge Landeanflug oder Warteschleifen. Dieser Anteil wird ebenfalls vernachlässigt.

Nehmen wir als Beispiel einen Inlandflug mit einem Airbus A320 von Berlin nach Stuttgart. Die Entfernung beträgt ca. 800 km.

Abb. Flugphasen eines Inlandfluges von Berlin nach Stuttgart

Der A320 hat folgende Kenngrößen:

Kennwert	Größe	Maßeinheit
Anzahl Passagiere	180
Reisefluggeschwindigkeit v	900	km/h
Reiseflughöhe y	12	km
Leergewicht m_leer	37	t
Startgewicht m_Start	77	t
Kraftstoffverbrauch in Reiseflughöhe	2700	l/h
strömungsrelavante Fläche (bei Flugzeugen ist dies die Flügelfläche) A	122,6	m²
c_w-Wert	0,08

Weitere Kenngrößen:

Kennwert	Größe	Maßeinheit
Reiseweg x	800	km
Luftdichte in Reiseflughöhe ρ	0,44	kg/m³
Brennwert Kerosin H_s	13	kWh/kg
Dichte Kerosin ρ_Kerosin	0,8	kg/l
Ø jährlicher Elektro-Energiebedarf eines 4-Personen-Haushalts	5000	kWh

Beginnen wir mit der 1. Phase eines Fluges. Für die Erreichung der Reisegeschwindigkeit werden

()

W_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot m_{S t a r t} \cdot v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 77 \cdot 10^{3} \cdot {(\frac{900}{3,6})}^{2} = 2,4 \cdot 10^{9} N m \approx 668 k W h

...und für das Erreichen der Reiseflughöhe

()

W_{p o t} = m_{S t a r t} \cdot g \cdot y = 77 \cdot 10^{3} \cdot 9,81 \cdot 12 \cdot 10^{3} = 9,06 \cdot 10^{9} N m \approx 2.518 k W h

aufgewendet.
In der 2. Phase werden zur Überwindung der Strömungsreibung

()

W_{R} = F_{R} \cdot x = \frac{1}{2} \cdot c_{w} \cdot ρ \cdot A \cdot v^{2} \cdot x = \frac{1}{2} \cdot 0,08 \cdot 0,44 \cdot 122,6 \cdot {(\frac{900}{3,6})}^{2} \cdot 800 \cdot 10^{3} = 1,08 \cdot 10^{11} N m \approx 30.000 k W h

In der 3. Phase wird die gesamte Energie in Wärme umgewandelt und trägt nun nicht mehr zur Energiebillanz bei.
Somit beträgt die insgesamt aufgewendete Energie für einen Flug von Berlin nach Stuttgart

()

W_{g e s} = W_{k i n} + W_{p o t} + W_{R} = 668 + 2.518 + 30.000 = 33.186 k W h

Allerdings müssen wir in Betracht ziehen, dass nur ca. 40% der im Treibstoff einthaltenen Energie in Bewegungsenergie umgewandelt werden kann. Damit erhöht sich der primäre Energieaufwand auf

()

W = η^{- 1} \cdot W_{g e s} = 82.965 k W h

Das entspricht dem 16,7-fachen Jahresbedarf an Elektroenergie einer durchschnittlichen 4-köpfigen Familie!
Um verschiedene Verkehrsmittel miteinander vergleichen zu können, errechnen wir den spezifischen Energieverbrauch pro Person und 100 Entfernungskilometer bei Vollauslastung des Verkehrsmittels. Für unser Fallbeispiel bedeutet das 58 kWh/Person auf 100km. Umgerechnet auf den Kerosinverbrauch sind das 3,57 l pro 100 Personenkilometer. Ein ICE3 verbraucht umgerechnet nur 1 l (ICE-Hochgeschwindigkeitszug). Selbst ein ökologisch sehr bedenklicher SUV liegt mit einem spezifischen Verbrauch von ca. 3 l pro 100 Personenkilometer unter dem eines Fluges!
Und noch ein anderer Vergleich: dem weltweiten Internet wird ein hoher Energieverbrauch mit jährlich (Stand 2022) 537·10⁹ kWh/a (Quelle E.ON: Warum steigt der Energieverbrauch des Internets immer weiter an?) bescheinigt. Bei den jährlichen (Stand 2022) Corona-bedingt "nur" 2,6 Mio/a Flugbewegungen (Quelle DFS: DFS weist für 2022 rund 2,6 Millionen Flugbewegungen aus) über Deutschland entsteht ein Energieverbrauch (bei Zugrundelegung des obigen Rechenbeispiels), der dem 0,4-fachen jährlichen Energieverbrauch des weltweiten Internets entspricht. Wenn das keine Argumente für die Reduzierung oder gar das Verbot von Inlandflügen sind!

Symbol	Bedeutung
W_pot	potentielle Energie [Nm] oder [Ws]
W_kin	kinetische Energie [Nm] oder [Ws]
W_R	Energieverlust durch Reibung [Nm] oder [Ws]
P	Leistung [Nm/s] oder [W]
g	Erdbeschleunigungskonstante [m/s²]
h	Höhe [m]
m	Masse [kg]
c_w	Strömungsbeiwert
A	angeströmte Fläche [m²]
ρ	Dichte des strömenden Mediums [kg/m³]
η	Wirkungsgrad