Advanced Games Physics
Inhaltsverzeichnis zum
Inhalt

Innere Reibung - Reibung in Flüssigkeiten und Gasen

Energetische Betrachtung zur Bewegung unter Reibungseinfluss

Eine energetische Betrachtung zur Bewegung unter Reibungseinfluss ist für die Entwicklung von Spielen und das Verstehen der physics engines wohl weniger interessant, dennoch lohnt sich ein Blick auf diese Thematik.

Befindet sich ein Körper der Masse m auf einem bestimmten Niveau h, so besitzt er die potentielle Energie Wpot:
()
Formel

Worin g die Erdbeschleunigungskonstante bedeutet.
Wird der Körper nun fallen gelassen, so verringert sich mit abnehmender Höhe seine potentielle Energie Wpot. Seine aktuelle potentielle Energie beträgt dann

()
Formel

Gleichzeitig wird der Körper aber durch die Gravitation beschleunigt und seine Geschwindigkeit v steigt und er gewinnt an kinetischer Energie Wkin. Seine kinetischer Energie beträgt nun:

()
Formel

Im freien Fall, d.h. ohne Reibungseinfluss, wird weder Energie hinzugefügt noch anderweitig abgeführt, die Gesamtenergie Wges bleibt also über den gesamten Fall hinweg unverändert! Die Energiebillanz lautet:
()
Formel

Anders liegen die Verhältnisse, wenn während des Falls die Strömungsreibung wirkt. Dann wird ein Teil der ursprünglich vorhandenen potentiellen Energie in Wärmeenergie WR (d.h. Reibungsverlustenergie) umgewandelt. Wir berücksichtigen dies durch eine Erweiterung der Energiebillanz:
()
Formel

Für die Ermittlung der Verlustenergie WR (Verlust deshalb, weil dieser Anteil durch Umwandlung in Wärme nicht mehr für die Bewegung verfügbar, also nichtkonservativ ist) gehen wir von der Grundbeziehung ()
()
Formel

aus. Den allgemeinen Ausdruck s für den Weg ersetzen wir durch y, die Ortskoordinate des Falls. Und statt des einfachen Produktes benutzen wir die Integralform, weil die Reibungskraft nicht über den gesamten Weg von y = h bis y = 0 konstant ist. Wir können demzufolge immer nur für differentiell kleine Wegabschnitte die Energieänderung erfassen:
()
Formel

Die Größe der Kraft FR, die infolge der Strömungsreibung auftritt, kennen wir bereits aus . Damit wird die Änderung der Energie so berechnet:
()
Formel

Um nun die kinetische Gesamtenergie Wges zu erhalten, die der Körper bei der Geschwindigkeit vy aufgenommen hat, müssen wir über den gesamten Weg integrieren:
()
Formel

berücksichtigen wir, dass dy aus dem Produkt von Geschwindigkeit v und dt, also durch dy = vy·dt ersetzt werden kann:
()
Formel

Dieses Integral zu lösen ist sehr aufwändig, da schon der analytische Ausdruck für die Fallgeschwindigkeit vy (siehe ) sehr umfangreich ist. Deshalb verwenden wir auch hier ein numerischen Verfahren für die Integration:
()
Formel

Zu letzt noch eine Bemerkung zur Verlustleistung Ploss. Die Leistung ist ein Maß für den Energieaufwand/verlust pro Zeiteinheit:
()
Formel

Nach (bzw. ) kann dW = F·ds ersetzt werden:
()
Formel

Übertragen auf den Fallschirmsprung () bedeutet dies
()
Formel

Beachte, dass die Verlustleistung unter NEWTONscher Reibung mit der 3. Potenz der Geschwindigkeit steigt. Wer also statt Tempo 100 km/h 130 km/h fährt, muss die fast 3-fache Verlustleistung durch Strömungsreibung aufbringen! Wenn das kein triftiges Argument für ein Tempolimit auf deutschen Autobahnen ist!


stellt die einzelnen Energieformen bei einem Fall­schirm­sprung nach dem Anwendungsbeispiel gegenüber. Auch der Verlauf der Verlustleistung Ploss kann dargestellt werden.

Bitte einen Augenblick Geduld
während das Programm geladen wird!

Abb. Energie- und Leistungsbillanz beim Fallschirmsprung

Das Demoprogramm erlaubt, nachdem es gestartet wurde, die Darstellung der Energieformen Wpot, Wkin und Wloss als Grafen. Wird der Button Power betätigt, wird der Verlauf der Verlustleistung dargestellt. Mit dem Button open kann der Fallschirm geöffnet oder geschlossen werden. Nach Programmstart ist der Fallschirm geschlossen.
download processing
download p5.js

Ergebnisdiskussion: bereits an einem herkömmlichen Fallschirm (Gesamtmasse 90 kg) entsteht eine Verlustleistung von ca. 5 kW! Damit könnten in 1 min und 40 s 1 l Wasser um 100 °C erwärmt werden! Allerdings dauert die Flugphase unseres Fallschirms nicht so lange! Außerdem verteilt sich diese Verlustleistung auf die recht große Oberfläche des Fallschirms, wo sie keinen Schaden anrichten kann.
Im freien Fall (Fallschirm geschlossen) ist die Verlustleistung, wie zu erwarten, gleich Null.