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Federn

Feder-Masse-Systeme unter Gravitationseinfluss

Zur Behandlung der hängenden Anordnung in können wir das Kräftegleichgewicht nach zugrunde legen. An die Stelle der allgemeinen Wirkkraft FWirk tritt jetzt die Gravitationskraft, das Gewicht G = m·g. In gewohnter Weise werden die Kräfte der Feder-Masse-Systeme unter Gravitationseinfluss in die entsprechenden Differentiale überführt.

Da es sich hier um eine senkrechte Anordnung handelt, wird die Differential­gleichung für die Ortskoordinate y aufgestellt. Beachte, dass die Gravitation der y-Koordinate entgegengesetzt wirkt!

Allerdings verdient die Federkraft FF eine besondere Beachtung, denn der Kraft wirksame Weg Δy der Feder ergibt sich aus der Auslenkung aus der Ruhelage, die durch die Ruhefederlänge l0 und nicht durch die Ortskoordinate y selbst! D.h. wir müssen von der Ortskoordinate y die Ruhefederlänge l0 abziehen!

Bisher mussten wir der absoluten Lage eines Objektes nicht Rechnung tragen, da sowohl bei der Trägheitskraft (Masse) als auch bei der Reibungskraft stets die differenzierten Ortskoordinaten zum Einsatz kamen. Und bei der Differentiation verschwinden ja bekanntlich konstante Werte!
Feder-Masse-System unter Gravitationseinfluss

Abb. Feder-Masse-System unter Grav­ita­tions­einfluss

So erhalten wir schließlich die Differentialgleichung ():
()
Formel
Beidseitige Division durch die Masse m
()
Formel

Der besseren Anschaulichkeit wegen können wir nun noch die Formelsymbole für Dämpfung δ () und Eigenfrequenz ω0 () einführen:
()
Formel

Nach dem Umstellen nach der höchsten Ableitung der Ordskoordinate y
()
Formel

wird mit den bekannten Substitutionen s · = v und s · · = v · die Differential­gleichung 2. Ordnung in eine Differential­gleichung 1. Ordnung überführt, die mit Hilfe der numerischen Lösungsmethode nach dem EULER-CHAUCHY-Verfahren, gelöst werden kann:
()
Formel

Das Programmbeispiel ist so aufgebaut, dass mit Hilfe von Schiebereglern sowohl die Dämpfung δ als auch die Federkonstante n variiert werden können. Angezeigt wird der Schwingungstyp, ob Schwing-, Grenz- oder Kriechfall zu erwarten sind.

download processing
download p5.js
run program

Im Anfangszustand befindet sich die Feder im völlig entspannten Zustand, weil die Masse m durch eine (nicht sichtbare) Unterlage gestützt wird. Mit der Betätigung der START-Taste fällt die Kugel herunter, aber die wachsende Federspannung verhindert die unbegrenzte Fallbewegung. Eine horizontale Linie zeigt die Ruhelage des Feder-Masse-Systems an, nachdem sich die Eigenschwingung gelegt hat. Der Zustand nach dem Abklingen der Schwingung wird als eingeschwungener Zustand bezeichnet.

Wenn Du wissen willst, wie weit die Masse m unter ihrem eigenen Gewicht nach unten sinkt, dann sollten wir das Gewicht G = m·g der Federkraft F = n·(yG - l0), die einer Auslenkung um yG entspricht, gegenüberstellen:
()
Formel
Umstellen nach yG:
()
Formel
bzw. unter Berücksichtigung von
()
Formel
Die so berechnete Ruhelage des eingeschwungenen Zustands wird im obigen Beispielprogramm als horizontale Linie dargestellt.

Ergebnisdiskussion: Zunächst fällt auf, dass es einen umgekehrt propor­tionalen Zusammen­hang zwischen der Ruhelage unter Gravitations­einfluss und der Eigenfrequenz des Systems gibt. Diese Ruhelage ist daher abhängig vom Masse/Feder-Verhältnis.
Am Wert des Wurzel­arguments kann abgelesen werden, welcher Schwing­ungs­typ eintreten wird.

Im Gegensatz zu , die eine homogene Differentialgleichung darstellt, handelt es sich hier () um eine inhomogene Differential­gleichung, mit der Gewichts­kraft G = m·g als Stör­funktion.

Wir erinnern uns: die Lösung der homogenen DGl. beschreibt das System, wenn es sich selbst überlassen wird. Eine zu Beginn des Experimentes vorhandene Auslenkung des Feder-Masse-Systems, d.h. eine anfänglich vorhandene potentielle Energie, wird nach und nach abgebaut, bis das System schließlich bei einer Auslenkung y = l0 zum Stillstand kommt. Anders im inhomogenen Fall. gibt vor, auf welche Höhe y = yG sich das System nach Abbau der Anfangsenergie unter dem Einfluss seines eigenen Gewichts einpendeln muss. Die Höhendifferenz l0 - yG entspricht dabei der Startauslenkung des homogenen Falls.

Wie das Experiment zeigt, stellt im gerade besprochenen Beispiel die Lösung der inhomogenen DGl. ( unten) eine Überlagerung der homogenen Lösung ( oben) mit einer Sprungfunktion ( mitte), gegeben durch den Wert yG, dar. Sprungfunktion deshalb, weil mit dem Loslassen der Masse m aus ihrem Ruhezustand die Wirkung der Gravitation sprunghaft einsetzt.
Überlagerung von homogener Lösung und Sprungfunktion

Abb. Überlagerung von homogener Lösung und Sprungfunktion