5. Kapitel

Feder-Masse-Systeme unter Gravitationseinfluss

Zur Behandlung der hängenden Anordnung in können wir das Kräftegleichgewicht nach zugrunde legen. An die Stelle der allgemeinen Wirkkraft F_Wirk tritt jetzt die Gravitationskraft, das Gewicht G = m·g. In gewohnter Weise werden die Kräfte der Feder-Masse-Systeme unter Gravitationseinfluss in die entsprechenden Differentiale überführt.

Da es sich hier um eine senkrechte Anordnung handelt, wird die Differentialgleichung für die Ortskoordinate y aufgestellt. Beachte, dass die Gravitation der y-Koordinate entgegengesetzt wirkt!

Allerdings verdient die Federkraft F_F eine besondere Beachtung, denn der Kraft wirksame Weg Δy der Feder ergibt sich aus der Auslenkung aus der Ruhelage, die durch die Ruhefederlänge l₀ bestimmt wird. Und nicht durch die Ortskoordinate y selbst! D.h. wir müssen von der Ortskoordinate y die Ruhefederlänge l₀ abziehen!

Bisher mussten wir der absoluten Lage eines Objektes nicht Rechnung tragen, da sowohl bei der Trägheitskraft (Masse) als auch bei der Reibungskraft stets die differenzierten Ortskoordinaten zum Einsatz kamen. Und bei der Differentiation verschwinden ja bekanntlich konstante Werte!

Abb. Feder-Masse-System unter Gravitationseinfluss

Der wirksame Federweg ergibt sich wegen der hängenden Anordnung des Feder-Masse-Systems zu

()

Δ y = y - (- l_{0}) = y + l_{0}

So erhalten wir schließlich die Differentialgleichung ():

()

- m \cdot g = m \cdot \overset{\cdot \cdot}{y} + r \cdot \overset{\cdot}{y} + n \cdot (y + l_{0})

Beidseitige Division durch die Masse m

()

- g = \overset{\cdot \cdot}{y} + \frac{r}{m} \cdot \overset{\cdot}{y} + \frac{n}{m} \cdot (y + l_{0})

Der besseren Anschaulichkeit wegen können wir nun noch die Formelsymbole für Dämpfung δ () und Eigenfrequenz ω₀ () einführen:

()

- g = \overset{\cdot \cdot}{y} + 2 δ \cdot \overset{\cdot}{y} + ω_{0}^{2} \cdot (y + l_{0})

Nach dem Umstellen nach der höchsten Ableitung der Ordskoordinate y

()

\overset{\cdot \cdot}{y} = - (g + 2 δ \cdot \overset{\cdot}{y} + ω_{0}^{2} \cdot (y + l_{0}))

wird mit den bekannten Substitutionen

\overset{\cdot}{s} = v

und

\overset{\cdot \cdot}{s} = \overset{\cdot}{v}

die Differentialgleichung 2. Ordnung in eine Differentialgleichung 1. Ordnung überführt, die mit Hilfe der numerischen Lösungsmethode nach dem EULER-CHAUCHY-Verfahren, gelöst werden kann:

()

\overset{\cdot}{v} = - (g + 2 δ \cdot v + ω_{0}^{2} \cdot (y + l_{0}))

Das Programmbeispiel ist so aufgebaut, dass mit Hilfe von Schiebereglern sowohl die Dämpfung δ als auch die Federkonstante n variiert werden können. Angezeigt wird der Schwingungstyp, ob Schwing-, Grenz- oder Kriechfall zu erwarten sind.

Im Anfangszustand befindet sich die Feder im völlig entspannten Zustand, weil die Masse m durch eine (nicht sichtbare) Unterlage gestützt wird. Mit der Betätigung der START-Taste fällt die Kugel herunter, aber die wachsende Federspannung verhindert die unbegrenzte Fallbewegung. Eine horizontale Linie zeigt die Ruhelage des Feder-Masse-Systems an, nachdem sich die Eigenschwingung gelegt hat. Der Zustand nach dem Abklingen der Schwingung wird als eingeschwungener Zustand bezeichnet.

Wenn Du wissen willst, wie weit die Masse m unter ihrem eigenen Gewicht nach unten sinkt, dann sollten wir das Gewicht G = m·g der Federkraft F = n·(y_G + l₀), die einer Auslenkung um y_G entspricht, gegenüberstellen.
Oder, was einfacher ist, wir betrachten im eingeschwungenen Zustand. Da ist nämlich die Masse m zur Ruhe gekommen, was bedeutet, dass sowohl die Beschleunigung

\overset{\cdot \cdot}{y}

als auch die Geschwindigkeit

\overset{\cdot}{y}

verschwinden.

Somit ist

()

- m \cdot g = n \cdot (y_{G} + l_{0})

Umstellen nach y_G:

()

y_{G} = - (\frac{m}{n} \cdot g + l_{0})

bzw. unter Berücksichtigung von

()

y_{G} = - (\frac{g}{ω_{0}^{2}} + l_{0})

Die so berechnete Ruhelage des eingeschwungenen Zustands wird im obigen Beispielprogramm als horizontale Linie dargestellt.

Ergebnisdiskussion: Zunächst fällt auf, dass es einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang zwischen der Ruhelage unter Gravitationseinfluss und der Eigenfrequenz des Systems gibt. Diese Ruhelage ist daher abhängig vom Masse/Feder-Verhältnis.
Am Wert des Wurzelarguments kann abgelesen werden, welcher Schwingungstyp eintreten wird.

Im Gegensatz zu , die eine homogene Differentialgleichung darstellt, handelt es sich hier () um eine inhomogene Differentialgleichung, mit der Gewichtskraft G = -m·g als Störfunktion.

Wir erinnern uns: die Lösung der homogenen DGl. beschreibt das System, wenn es sich selbst überlassen wird (in unserem Beispiel wäre das in einer schwerelosen Umgebung der Fall). Eine zu Beginn des Experimentes vorhandene Auslenkung des Feder-Masse-Systems, d.h. eine anfänglich vorhandene potentielle Energie, wird nach und nach abgebaut, bis das System schließlich bei einer Auslenkung y = -l₀ zum Stillstand kommt. Anders im inhomogenen Fall. gibt vor, auf welche Höhe y = y_G sich das System nach Abbau der Anfangsenergie unter dem Einfluss seines eigenen Gewichts einpendeln muss.

Wie das Experiment zeigt, stellt im gerade besprochenen Beispiel die Lösung der inhomogenen DGl. ( unten) eine Überlagerung der homogenen Lösung ( oben) mit einer Sprungfunktion ( mitte), gegeben durch den Wert y_G, dar. Sprungfunktion deshalb, weil mit dem Loslassen der Masse m aus ihrem Ruhezustand die Wirkung der Gravitation sprunghaft einsetzt. Die ausführliche Begründung findest Du im Kapitel analytische Lösung von Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Abb. Überlagerung von homogener Lösung und Sprungfunktion

Symbol	Bedeutung
g	Erdbeschleunigungskonstante [m/s²]
m	Masse [kg]
r	Reibzahl [N/s], z.B. für STOKESsche Reibung ()
n	Federkonstante [N/m]
δ	Dämpfung [1/s] ()
ω₀	Kreisfrequenz der Eigenschwingung [rad/s] ()
l₀	Ruhefederlänge [m]