5. Kapitel

Eigenschaften und Wirkung von Federn

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Federn - Typen und Eigenschaften

Federn sind in allen Lebensbereichen in den verschiedensten Formen und Qualitäten anzutreffen. Allen gemeinsam ist aber, dass ihre Verformung nur unter Krafteinwirkung möglich ist. Dabei gibt es nicht nur metallische Federn, wie das die nahe zu legen scheint. Nein, Federn können auch aus organischen Materialien, z.B. Gummi, bestehen. Für unsere Physics Engines bestehen aber auch Kleiderstoffe oder Körperteile u.a. aus Federn!
In diesem Sinn sind Federn, sofern sie in einer zu modellierenden Anordnung anzutreffen sind, wichtiger Bestandteil bei der Betrachtung einer Kräftebillanz.

Abb. Typen von mechanischen Federn

Federn dienen im Wesentlichen drei Aufgaben:

elastische Abstandshalter, z.B. Spiral- oder Blattfedern im Fahrzeug,
elastische Verbindungselemente, z.B. Textilien und
Energiespeicher, z.B. Spiralfeder in mechanischen Uhren.

Die Verwendung als Energiespeicher ist im Games-Bereich allerdings weniger interessant!

HOOKEs Gesetz

Das HOOKEsche Gesetz betrachtet eine Feder als ideales Bauelement, dessen elastisches Verhalten proportional zur einwirkenden Kraft ist. Die durch die Kraft verursachte Verformung ist reversibel.

Im Folgenden beschränken wir uns auf die Betrachtung der Spiralfeder (). Eine Spiralfeder kann sowohl gestreckt als auch gestaucht werden. Welche Belastung eintritt, hängt ausschließlich von der Wirkrichtung der angreifenden Kraft F ab. In der gezeigten Abbildung wirkt überhaupt keine Kraft, so dass die Feder die Ruhefederlänge l₀ aufweist.

Das HOOKEsche Gesetz stellt den linearen Sonderfall des Elastizitätsgesetzes dar, Verformung und Kraft stehen in einem linearen Zusammenhang. Dies kommt in der Proportionalität () zum Ausdruck:

()

Abb. Feder im Ruhezustand

Für die weiteren Betrachtungen ist wichtig zu bemerken, dass der Federweg, der in Proportionalität zur einwirkenden Kraft steht, nicht die gesamte Federlänge, sondern nur die Längenänderung Δl () betrifft.

Die Proportionalität sagt aus, dass, je größer die einwirkende Kraft F ist, desto größer ist der Federweg Δl. Da es nun im Sinne der Kraft-Weg-Proportionalität unterschiedlich starke Federn gibt, benötigen wir noch eine Proportionalitätskonstante, die über die Materialeigenschaften der Feder Aussagen macht. Dies ist die Federkonstante n ().

Abb. Definition des Federwegs

In der Realität gilt diese strenge Proportionalität leider nicht. Welche Auswirkungen das hat, werden wir im Kapitel Ideale und Reale Federn untersuchen.

()

Da unser Interesse den Kräften gilt, stellen wir nach der Kraft um:

()

Abb. Der Federweg als Ortsvariable s

Zur Vereinheitlichung der Koordinaten werden wir nun noch den Federweg Δl in unser allgemein gültiges Koordinatensystem umschreiben, so dass wir für den Federweg nunmehr die Ortskoordinate s übernehmen ().

Beachte: die Ortskoordinate s greift hier am Ende der ruhenden Feder an! Willst Du das Koordinatensystem an den Federanfang verlegen, so muss die Ortskoordinate s um die Ruhefederlänge l₀ verschoben werden (). Darin unterscheidet sich das "Bauelement" Feder von den anderen "Bauelementen" Masse und Reibung!

Im Augenblick müssen wir darauf noch keine Rücksicht nehmen, da wir zunächst nur die Längenänderung s (bzw. Δl) betrachten wollen.

()

Energetische Betrachtung

Federn sind Speicher potentieller Energie. Wenn eine Bewegung gegen eine Kraft durchgesetzt werden soll, muss dafür Energie aufgewendet werden.

Wie aus hervorgeht, wird im Falle einer Feder die zu überwindende Kraft durch Dehnen oder Stauchen der Feder hervor gerufen. Für die Berechnung der aufzuwendende Energie ist zu beachten, dass sich die Größe der Kraft F mit der Auslenkung s verändert. Darum können wie die Energie W nur in einem differentiell kleinen Ausschnitt des gesamten Weges s hinreichend genau bestimmen ().

Wie groß die momentane Kraft F bei der Auslenkung s gerade ist, geht aus hervor. Um nun die Feder um ein weiteres Wegstück ds zu spannen, ist eine Energiemenge dW erforderlich ():

()

Abb. zum Energieinhalt einer Feder

laut ist aber die Kraft F mit dem aktuellen Weg s verbunden:

()

Um nun die Gesamtenergie W zu erhalten, müssen alle Teilenergien dW über alle Wegelemente ds aufsummiert, also integriert, werden ():

()

Die Integration wird nach der Potenzregel ausgeführt. Damit beträgt die für die Dehnung (oder Stauchung) einer Feder aufzuwendende Energie:

()

Bei einer idealen Feder führt die Deformation (Dehnung oder Stauchung) zu keinem Energieverlust. Die einmal für die Deformation aufgewendete Energie bleibt in der Feder vollständig erhalten und kann durch Entlastung der Feder wieder zurück gewonnen werden. Darum ist auch die Feder (wie die Masse) ein konservatives Element.

Reihen- und Parallelschaltung von Federn

Aus verschiedensten Gründen kann es vorkommen, dass eine Feder in Kombination mit einer oder mehreren anderen Federn vorkommt. Beispielsweise sind die vier Räder eines PKW über Federn mit dem Chassis verbunden. Wird nun das Auto als Ganzes betrachtet, sind die vier Federn parallel geschaltet.

Um nicht jede Feder einzeln betrachten zu müssen, empfielt es sich, eine "Ersatz"-Feder zu berechnen, die die gleichen Eigernschaften wie alle Federn zusammen aufweisen. Besonders interessant sind solche Fälle, bei denen die Federn unterschiedliche Federkonstanten aufweisen.

Parallelschaltung: Zwei Federn gleicher Länge l mit verschiedenen Federkonstanten n₁ und n₂ werden parallel geschaltet (). Gesucht ist die Federkonstante n einer gleichlangen Ersatzfeder ()

Abb. Parallele Federn

Abb. Ersatzfeder

Wird nun eine Kraft F auf die Federkombination ausgeübt, müssen sich beide Federn um genau die selbe Länge Δl ändern (da sie ja parallel geschaltet sind!). Ebenso muss diese Längenänderung eintreten, wenn auf die Ersatzfeder die gleiche Kraft ausgeübt wird.
In der Federkombination () teilt sich die Gesamtkraft F in die Teilkräfte F₁ und F₂ auf.

()

Da beide Federn die gleiche Ruhefederlänge l₀ = l₀₁ = l₀₂ aufweisen, müssen auch die Längenänderungen s (bzw. Δl) gleich sein!

()

Wegen der gleichen Längenänderung beider Federn können die Teilkräfte nun nach dem HOOKEschen Gesetz berechnet werden:

()

Weil die Ersatzfeder bei gleicher Kraft die gleiche Längenänderung erfahren soll, kann die Längenänderung auf beiden Seiten gekürzt werden und es bleibt die Bestimmungsgleichung für die Federkonstante n der Ersatzfeder:

()

Was aber, wenn die Federn parallel angeordnet, aber ungleich lang sind ()? D.h. l₀₁ ≠ l₀₂. Offenbar ist es so, dass durch den Kraftschluss beider Federn eine Längenanpassung jeder Feder auf eine gemeinsame Länge l stattfinden muss. D.h. die längere Feder muss kürzer, die kürzere Feder länger werden. Es finden also Längenänderungen statt und die sind mit den Federkräften F₁ und F₂ verbunden.

Abb. Parallelschaltung ungleich langer Federn

Wenn wir davon ausgehen, dass keine äußeren Kräfte auf die Federanordnung wirken, dann müssen sich die beiden Kräfte F₁ und F₂ gegenseitig in einem Gleichgewichtszustand aufheben:

()

durch das HOOKEsche Gesetz ausgedrückt:

()

Stellen wir nach einer der beiden Längenänderungen s₁ oder s₂ um, so erhalten wir eine Gleichung, die die Längenänderungen in Beziehung setzt:

()

Andererseits muss aber gelten:

()

woraus folgt, dass

()

Durch Einsetzen von in kann eine der beiden Längenänderungen eliminiert werden:

()

Umstellen ergibt hier die Längenänderung für die zweite Feder s₂ (analog dazu könnte auch die Längenänderung s₁ der ersten Feder berechnet werden!):

()

Dieses Resultat in die 2. Teilgleichung von einsetzen, den gemeinsamen Nenner bilden und Vereinfachen führt schließlich auf einen Ausdruck für die Federlänge der Ersatzfeder:

()

Solange das HOOKEsche Gesetz seine Gültigkeit behält (d.h. keine der Federn ist überdehnt), gilt für die Berechnung der Federkonstanten dieser Ersatzfeder ebenfalls .

Reihenschaltung: Zwei Federn beliebiger Ruhelänge l₀₁ und l₀₂ mit verschiedenen Federkonstanten n₁ und n₂ werden hintereinander geschaltet (). Gesucht ist die Federkonstante n einer Ersatzfeder der Ruhelänge l₀ (analog ).

Im Fall der Reihenschaltung wirkt die Kraft F in beiden Federn. Die Gesamtlänge l ergibt sich aus der Summe beider Federlängen l₁ und l₂. Jede Feder hat eine Länge, die durch ihre Ruhelänge plus die Längenänderung infolge der Kraftwirkung gegeben ist:

()

Abb. Reihenschaltung von Federn

Gleiches gilt für die Ersatzfeder:

()

Weil sich die Ruhefederlänge l₀ der Ersatzfeder aus der Summe der einzelnen Ruhefederlängen l₀₁ und l₀₂ berechnet, muss die Längenänderung s der Ersatzfeder gleich der Summe der Längenänderungen s₁ und s₂ der Teilfedern sein:

()

Entsprechend werden jetzt die Längenänderungen s₁ und s₂ in Bezug zur wirkenden Kraft F gesetzt:

()

F wird auf beiden Seiten gekürzt und wir erhalten die Ersatzfederkonstante n nach Kehrwertbildung

()

und die Ersatzruhelänge l₀

()

Ideale und reale Federn

Das HOOKEsche Gesetz beschreibt das Verhalten einer idealen Feder. Eine solche Feder erlaubt unendlich große Änderungen der Federlänge, wobei der Zusammenhang zwischen Kraft und Längenänderung streng linear ist. zeigt dieses Verhalten als Kennlinie. Zunächst fällt auf, dass diese Linie von -∞ bis +∞ ausgedehnt ist. Mit anderen Worten, die Feder kann unendlich weit gedehnt, aber auch unendlich weit gestaucht werden.

Weiterhin ist zu sehen, dass die Steigung der Kennlinie an allen Punkten gleich groß und ∼ n ist. Die Steigung der Kennlinie gibt der Steifigkeit der Feder Ausdruck: je größer die Steigung, also je größer n, desto größer muss die Kraft F sein, um eine bestimmte Längenänderung Δl der Feder zu bewirken. D.h. je größer n desto steifer oder härter ist die Feder!

Abb. Weg-Kraft-Kennlinie einer idealen Feder

Begrenzter Federweg

In der Realität sind Federn weder unendlich dehn- oder stauchbar, noch verhalten sie sich gegenüber einer Kraftwirkung linear. Wenn eine reale Druck- oder Zugfeder nach einer stauchenden Kraft ausgesetzt wird, dann kann sie bestenfalls bis zum vollständigen Zusammendrücken ( oben) gestaucht werden. Ist die Stauchung vollständig, steigt die wirksame Federkonstante n unendlich an. Für eine weitere Stauchung wäre eine unendlich große Kraft F erforderlich! Wird dagegen eine ziehende Kraft wirksam, kann die Ausdehnung nicht über die vollständige Streckung der Feder erfolgen ( unten). Bei vollständiger Streckung bleibt von der ursprünglichen Feder nur noch das gestreckte Material. Auch hier wäre für eine weitere Streckung eine unendlich große Kraft F erforderlich!

Abb. reale Feder

Abb. Grenzen der Längenänderung einer reale Feder

In erster Näherung, d.h. ohne Berücksichtigung weiterer Nichtlinearitäten, kann das Verhalten der realen Feder durch eine stückweise lineare Approximation der Kennlinie nachgebildet werden (). Im mittleren Bereich, also bei relativ kleinen Längenänderungen s, gilt das HOOKEsche Gesetz streng. Das Weg- Kraft-Verhalten der Feder ist linear und proportional der Federkonstanten n.

An den Grenzen des linearen Bereichs sind Längenänderungen nicht mehr möglich. Die Kraft kann beliebig groß werden, eine Längenänderung ist ausgeschlossen!

Abb. reale Feder: maximaler Federhub

Nichtlinearität der Federkonstanten

Bei genaueren Messungen des Federverhaltens wird man feststellen, dass bei Annäherung des Federweges s an eine der Grenzen nicht zu einem sprunghaften, sondern gleitenden Übergang in die Begrenzung führt (). Nur noch im engsten mittleren Bereich, also bei sehr kleinen Längenänderungen s, gilt das HOOKEsche Gesetz. Das Weg-Kraft-Verhalten der Feder ist zwar proportional zur einwirkenden Kraft F, aber nicht mehr linear! Das kommt in einer Wegabhängigkeit der Federkonstanten n zum Ausdruck ().
Auch hier sind über die Grenzen des Federwegs hinaus keine Längenänderungen mehr möglich!

()

Abb. reale Feder: nichtlineare Kennlinie

Ganz besonders problematisch sind Federn, die ein Hysterese-Verhalten aufweisen. Hier verlaufen die Spannungs- und Entspannungskennlinien nicht deckungsgleich.

zeigt ein solches Verhalten, das Federmaterial besteht z.B. aus Gummi oder anderen weichen, aber federnden Materialien.
Die Längenänderung erfolgt, je nach Krafteinwirkung, in drei Phasen:

Phase: der Gummikörper wird erstmalig gestreckt. Dabei ist zu sehen, dass mit zunehmendem Federweg der erforderliche Kraftaufwand zunimmt. Damit der Körper nicht zerreißt, muss die Streckung rechtzeitig beendet werden!
Phase: hier erfolgt eine Entspannung. D.h. es wird keine Kraft auf den Körper ausgeübt! Und das ist das eigentümliche an diesem Verhalten, die Feder (d.h. der Gummikörper) behält einen Teil der Deformation zurück! Erst wenn ein Gegendruck ausgeübt wird, kann die Restdeformation rückgängig gemacht werden. Mit noch größerem Druck wird eine weitere negative Längenänderung bis zum völligen Zusammenpressen möglich.
Phase: auch jetzt erfolgt wieder eine Entspannung, aber es bleibt eine Restpressung zurück, die erst durch erneuten Zug aufgehoben werden kann.

Abb. reale Feder: Hysterese

In einem schwingend belasteten Körper wechseln sich die Phasen 2 und 3 zyklisch ab.

Symbol	Bedeutung
n	Federkonstante [N/m]
l₀	Ruhefederlänge [m]
Δl	Längenänderung [m]
s	alternative Variable der Längenänderung [m]
F	Federkraft [N]