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Rotation

Trägheitsmomente von Körpern

Von der Punktmasse zum Körper

Betrachten wir zunächst wie sich Momente, die von mehreren Kräften herrühren, errechnen lassen (): Zwei Gewichte G1 und G2 greifen in unterschiedlichen Abständen r1 und r2 an einem einem gemeinsamen Balken an. Der Balken sei starr und masselos - so hat er keinen Einfluss auf das Experiment. Wie groß muss nun die Kraft F, die im Abstand r angreift, sein, damit die Anordnung im Gleichgewicht ist? Ein einfaches Gedankenexperiment bringt uns zu dem Schluss, dass hier die Summe der einzelnen Drehmomente kompensiert werden muss:
()
Formel


Denn würden die beiden Gewichte nacheinander angebracht werden, müsste die Kraft F jeweils das Drehmoment des gerade wirksamen Gewichtes kompensieren. Da sich aber Kräfte in gleicher Wirkrichtung addieren, so müsste die insgesamt aufzubringende Kraft aus der Summe der beiden Teilkräft gebildet werden. Daher folgt:
Zwei Punktmassen - ein Drehmoment?

Abb. Zwei Punktmassen - ein Drehmoment?
()
Formel

Gilt diese Aussage auch für die Trägheitsmomente? Addieren sich Trägheitsmomente wie Teilmassen in translatorischen Systemen? Dazu betrachten wir die .

Zur Beatwortung dieser Frage bemühen wir die kinetische Energiebillanz:
()
Formel

Die kinetische Gesamtenergie Wkin setzt sich aus der Summe der kinetischen Energien Wkin 1 und Wkin 2 der Massen m1 und m2 zusammen. Daher:
()
Formel

Drehmoment und Trägheitsmoment

Abb. Drehmoment und Trägheitsmoment

Die beiden Teilgeschwindigkeiten v1 und vs sind nicht unabhängig voneinander! Vielmehr ergeben sie sich aus dem Produkt der gemeinsamen Winkelgeschwindigkeit ω und dem jeweiligen Abstand vom Drehpunkt r1 bzw. r2:
()
Formel

Werden jetzt die Quadrate aufgelöst und werden die Produkte m·r2 gemäß durch die jeweiligen Trägheitsmomente J1 bzw. J2 ersetzt, so erhalten wir mit
()
Formel

den Beweis, dass auch Trägheitsmomente von Massen additiv zusammengesetzt werden können, vorausgesetzt, sie sind an einem gemeinsamen Drehpunkt befestigt.

So wie die Addition von verteilten Massen für die translatorische Bewegung, gilt auch für die rotatorische Bewegung die Addition von Trägheitsmomenten, wenn sie auf einen gemeinsamen Drehpunkt bezogen sind.

Berechnung von Trägheitsmomenten beliebig geformter Körper

Wichtige Körper - Eine Einführung


Die Berechnung der Trägheitsmomente von Körpern erfolgt analog zu , indem der Körper in unendlich viele Teilmassen dm zerlegt wird. Der Einfachheit halber betrachten wir zunächst einen Scheiben förmigen Körper. Generell gilt eine solche Einschränkung aber nicht!

Zur Berechnung des Trägheitsmomentes wird der Körper in unendlich feine Quader mit den Maßen dx × dy × d zerlegt. d ist die Längsdimension, also die Scheibendicke, des Quaders, die parallel zur Drehachse verläuft. Jeder Quader wird durch eine "Punkt"masse, die sich im Abstand r vom Schwerpunkt S befindet () repräsentiert (Dass wir den Schwerpunkt als Bezugspunkt wählen, hat besondere Gründe, die weiter unten (Satz von Steiner) erläutert werden). Anschließend wird die Integration über alle Masseelemente durchgeführt. Ein Masseelement wird durch seine ortsabhängige (!) Dichte ρ(x, y) und sein Volumen d·dx·dy ausgedrückt. Da wir die Dicke d als konstant angenommen haben, kann d vor das Integral gezogen werden:
()
Formel

 Berechnung des Trägheitsmomentes

Abb. Berechnung des Trägheitsmomentes

So können wir den Gedankengang von wieder aufgreifen. Das Gesamt­trägheits­moment J wird durch die Summation aller Teil­trägheits­momente dJ = r·dm gebildet.
Dabei ist zu bedenken, dass es infolge der verschiedenen möglichen Drehachsen (siehe hierzu das Kapitel "Freiheitsgrade"), auch - je nach Achsenwahl - unterschiedliche Trägheitsmomente gibt. Um Irrtümern vorzubeugen, wird deshalb in der Literatur oft durch einen Index am Trägheitsmoment Jx, Jy bzw. Jz mitgeteilt, um welche Achse sich der Körper dreht (siehe 6. Geistesblitz). Ich bevorzuge dagegen eine Zuordnung des jeweiligen Trägheitsmomentes zu entsprechenden Abbildungen des betreffenden Körpers einschließlich der Drehachse, zu der das Trägheitsmoment gehört.
Weil sich Körper über alle drei Dimensionen erstrecken, eine Dimension aber sinnvoller Weise parallel zur Drehachse verläuft, wird die Summation der Teilträgheitsmomente dJ im allgemeinen durch eine zweifache Integration durchzuführen sein. In der Regel gibt es aber immer vereinfachende geometrischen Bedingungen, die die Intagration auf weniger Freiheitsgrade beschränken.
Geistesblitz
on/off


Trägheitsmoment eines dünnen Stabes

Besondere geometrische Formen der Körper, wie z.B. Rotationssymmetrie oder sehr schlanke Formen, können zu einer Vereinfachung der Rechnung führen. Deshalb wollen wir zunächst eine einfachere Anordnung, nämlich einen dünnen, starren Stab mit der konstanten Querschnittsfläche A und der Länge l, betrachten. Dünn ist ein Stab dann, wenn seine Breite b und seine Höhe h viel kleiner als seine Länge l sind. So darf der Stab als eindimensionales Objekt betrachtet werden, dessen Drehachse senkrecht zu dieser Dimension verläuft. Folglich darf der Stab in unendlich dünne Schichten zerlegt werden, die wegen ihrer geringen Breite und Höhe in einem Messepunkt konzentriert werden können. links zeigt einen solchen Stab. Entsprechend der Idee nach wird dieser Stab in eine unendliche Menge von Punktmassen dm zerlegt rechts), die jede für sich ein kleines Trägheitsmoment bilden. Weil der Stab als sehr dünn angenommen wird, können die kleinen Ersatzmassen alle hintereinander angeordnet werden, das vereinfacht die Berechnung und Summation der Teilträgheitsmomente!

Wenn nun das Trägheitsmoment einer einzelnen Punktmasse gemäß berechnet wird und die Trägheitsmomente der einzelnen Punktmassen summiert werden, dann wird die Summation der unendliche vielen, unendlich kleinen Punktmassen dm durch eine Integration (hier im Beispiel aus Symmetrieüberlegungen in den Grenzen von -R bis R) ausgeführt:
()
Formel

kann vereinfacht werden, weil die unendlich kleine Masse dm durch ihre Dichte ρ(r) und ihr Teilvolumen dV und dieses wiederum als Produkt aus Grundfläche A·dr ausgedrückt werden kann. Dadurch entsteht ein Integral, das im Integranten nur noch Funktionen vom Radius r enthält ():
Berechnung des Trägheitsmomentes eines dünnen Stabes

Abb. Berechnung des Trägheits­momentes eines dünnen Stabes
()
Formel

da
Formel
Ist der Stab homogen (), hat also über sein ganzes Volumen eine konstante Dichte ρ, vereinfacht sich das Integral in und die Dichte ρ kann vor das Integral gezogen werden. Außerdem ist auch noch die Fläche über den ganzen Integrationsbereich unveränderlich. Alle diese Bedingungen erfüllt der homogener Stab.

Sinnvoller Weise wird das Trägheitsmoment des Stabes auf den Schwerpunkt S bezogen. In diesem Fall liegen der Schwerpunkt und Mittelpunkt übereinander. Da der Stab verschiedene Drehachsen haben kann, legen wir uns hier zunächst auf die Anordnung nach fest. Dadurch werden die Integrationsgrenzen auf jeweils die halbe Länge ±l/2 festgelegt.
()
Formel

Der homogene Stab

Abb. Der homogene Stab

Lösen des Integrals, Einsetzen der Grenzen und Ordnen ergibt:
()
Formel

Stehen die Angaben für Dichte und Querschnittsfläche nicht zur Verfügung, tut es auch die Gesamtmasse m, da m = ρ V = ρ A l :
()
Formel

Übrigens, bei dünnen Stäben spielt die Form der Querschnittsfläche keine Rolle. Ein runder, dünner Stab hat demzufolge das gleiche Trägheitsmoment.

Trägheitsmoment eines Hohlzylinders

Dank seiner Rotationssymmetrie ist das Trägheitsmoment des Hohlzylinders besonders einfach zu berechnen. Dazu bietet sich eine Rechnung in Polarkoordinaten an.
Zu berechnen sei das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders, der sich um seine Symmetrieachse drehen soll. Gegeben sind die Dichte ρ bzw. seine Masse m, die Länge l sowie sein Innen- und Außenradius ri bzw. ra ().

Die Vorgehensweise ist wie oben beschrieben. Wir zerlegen den Hohlzylinder in dünne Hohlzylinder der Stärke dr, berechnen deren Teilträgheitsmomente und integrieren entsprechend .
Von besonderem Vorteil ist, dass alle Punkte im Hohlzylinder den gleichen Abstand zum Drehpunkt haben. Darum darf als Masseelement dm der ganze unendlich dünne Hohlzylinder angesehen werden:
()
Formel

So kann das Integral gemäß an den Hohlzylinder angepasst werden:
()
Formel

Der Hohlzylinder

Abb. Der Hohlzylinder
Ausführen der Integration
()
Formel

und Einführung der Masse m des Hohlzylinders unter Anwendung der 3. Binomischen Formel:
()
Formel

weil   m = 2 π · ρ · l · r a 2 r i 2

Wird der Innenradius ri bis auf Null verkleinert, erhalten wir das Trägheitsmoment des homogenen Vollzylinders (Walze):
()
Formel

Die elliptische Scheibe: Berechnung des Trägheitsmomentes

Anders als der Zylinder ist die elliptische Scheibe kein rotations­symmetrisches Objekt. D.h. die Masseelemente eines Ringes haben keinen konstanten Abstand vom Drehpunkt, was aber für eine Behandlung in Polarkoordinaten Voraussetzung ist. Also ist eine Lösung in Polarkoordinaten ausgeschlossen. Aber es gibt eine andere Lösung, nämlich die Verwendung elliptischer Koordinaten. Diese tragen den Unterschieden in den Achsen einer Ellipse Rechnung ():
()
Formel

Eine Ellipse wird mathematisch durch die implizite Gleichung beschrieben:
()
Formel

Auflösen nach y:
()
Formel

Zylinder mit elliptischer Basis

Abb. Zylinder mit elliptischer Basis
ist für Werte von -a ≤ x ≤ +a definiert. Sie drückt zum einen die obere und zum anderen die untere Ellipsenhälfte aus.

Nun zur Berechnung des Trägheitsmomentes. Zunächst drücken wir die Kenngrößen des Trägheitsmomentes entsprechend in kartesischen Koordinaten aus:
()
Formel

Wie sich zeigt, muss das Masseelement dm durch das Produkt der differentiell kleinen Elemente dx und dy ausgedrückt werden. Folglich muss auch die Integration für beide Koordinaten x und y nacheinander ausgeführt werden. Dabei zeigt sich sofort die Schwierigkeit dieser Lösungsmethode. Während die Integrationsgrenzen für die x-Koordinate mit -a und +a sehr einfach zu bestimmen sind, gilt das für die y-Koordinate nicht, denn sie hat ja dem Profil der Ellipse zu folgen. Somit berechnen wir das Trägheitsmoment in kartesischen Koordinaten zu:
()
Formel

Um diesem Dilemma aus dem Weg zu gehen, führen wir die elliptischen Koordinaten entsprechend ein. Dabei ist zu berücksichtigen, dass das Produkt dx·dy in kartesischen Koordinaten durch eine Transformation in das entsprechende Produkt dr·dφ entsprechend in elliptische Koordinaten zu transformieren ist:
()
Formel
wobei   r 2 = x 2 + y 2 ist.

Geistesblitz
on/off
Infolge der Wahl der elliptischen Koordinaten sehen die Integrationsgrenzen gemäß nun sehr einfach aus. Für die Radiuskoordinate gilt 0 ≤ r ≤ 1 und für die Winkelkoordinate 0 ≤ φ ≤ 2π.
Die weiter folgenden Schritte erklären sich selbst. Die Teilergebnisse
(a)
Formel
(b)
Formel
(c)
Formel
(d)
Formel
führen auf das Endergebnis:
()
Formel

weil   m = π · ρ · a · b · l ist.

Trägheitsmoment eines Quaders

Die Berechnung des Trägheitsmomentes eines Quaders oder Würfels ist etwas aufwändiger, da hier tatsächlich mit einer Doppelintegration gearbeitet werden muss. Das Massenelement dm berechnet sich hier zu:
()
Formel

Somit lautet das Integral nach
()
Formel

Damit haben wir hier ein Doppelintegral vorliegen. Die Lösung erfolg so, dass zunächst das innere Integral, also über x bei unveränderlichem y gelöst wird. Damit wurde das Trägheitsmoment eines unendlich schmalen Streifens längs der x-Achse berechnet. Jetzt wird das äußere Integral, also über y gelöst, wobei nun alle Teilträgheits­momente der Streifen summiert werden.
Allerdings ist es dazu notwendig, den Radius r durch die Koordinaten x, y zu ersetzen. Andernfalls wäre die Integration aus mathematischer Sicht unmöglich. Dazu bietet sich der Satz des PYTHAGORAS an (). So kann in ein lösbares Doppelintegral überführt werden:
Quader, Rotation um die z-Achse

Abb. Quader, Rotation um die z-Achse
()
Formel

Nun wird, wie oben beschrieben, zunächst die Integration über x unter Beachtung der Integrationsgrenzen -b/2 ≤ x ≤ b/2 ausgeführt. Anschließend erfolgt die Integration über y unter Beachtung der Integrationsgrenzen -h/2 ≤ y ≤ h/2:
()
Formel

Einsetzen der Integrationsgrenzen und Vereinfachen unter Beachtung der Masse des Quaders m = ρ l b h ergibt:
()
Formel

Trägheitsmoment einer Hohlkugel


Die Berechnung des Trägheitsmomentes einer Hohlkugel erfolgt wegen ihrer Rotations­symmetrie wieder in Polar­koordinaten. Zum einen gibt es den Winkel θ, der die Kugelschale von 0 bis π überstreicht und zum anderen den Radius r, der die Kugelschale von ri bis ra beschreibt ().

Danach berechnet sich das Masseelement dm, hier als Kreisring, zu:
()
Formel

Das Integral nach muss modifiziert werden, da nicht der Kugelradius r, sondern der für die Rotation um eine Achse effektive Radius r' des Kreisrings
()
Formel

Die Hohlkugel

Abb. Die Hohlkugel

für die Berechnung der Teilträgheitsmomente wirksam ist. So lautet nun die Berechnungs­vorschrift für das Trägheits­moment:
()
Formel

Geistesblitz
on/off


vereinfachen führt auf:
()
Formel

Auch hier liegt wieder ein Doppelintegral vor. Das innere summiert alle Teilringe zu einem Schalenspalt ...
()
Formel

... das äußere summiert alle Spalten zur Gesamtschale:
()
Formel

Geistesblitz
on/off

daraus folgt schließlich
()
Formel

Mit der Gesamtmasse der Hohlkugel
()
Formel

beträgt das Massenträgheitsmoment der Hohlkugel...
()
Formel

... und das der Kugel (Vollkugel), wenn ri = 0:
()
Formel

Hier findest Du Trägheitsmomente weiterer geometrischer Körper!

Trägheitsmoment und Schwerpunkt von Polygonen


Neben den oben beschriebenen geometrisch einfachen Figuren gibt es gerade in der Spielewelt Objekte, die nur näherungsweise durch Polygone beschrieben werden können. Denken wir da zum Beispiel an den Kometen Tschuri. Sollte mit einem solchen Objekt ein Stoßereignis modelliert werden, dann sind neben den Punkten Pi des das Objekt umfassenden Polygons, auch noch die Kenntnis seines Schwerpunktes und seines Trägheitsmomentes notwendig.
Da wir uns vorläufig im 2D-Raum befinden, müssen wir für die Berechnung des Trägheitsmomentes eine Annahme machen, nämlich, dass das Objekt flach (also eine Scheibe) mit einer bestimmten Höhe h ist (). Zur Berechnung der Masse benötigen wir noch die Fläche A und die Dichte ρ des Objektes. Die Fläche berechnen wir nach der GAUßschen Trapezformel ():

()
Formel 1

Worin die xi bzw. yi die Koordinaten der Eckpunkte Pi des Polygons darstellen. Somit ergibt sich die Masse m des Objektes, vorausgesetzt der Körper ist homogen, zu
scheibenförmiges Polygon

Abb. scheibenförmiges Polygon
()
Formel 1

Auch für die Berechnung des Schwerpunktes S gibt es eine bekannte Beziehung, die sich aus der GAUßschen Trapezformel herleitet:
()
Formel 1

Wieder sei daran erinnert, dass wir uns nur mit den 2D-Aufgaben beschäftigen wollen. Das bedeutet, dass, sofern der Körper homogen ist, Massenschwerpunkt und Flächenschwerpunkt zusammen fallen.
Bleibt nun noch die Berechnung des (Massen)-Trägheitsmomentes J, das aus den selben Gründen dem Flächenträgheitsmoment identisch ist:
()
Formel 1

Die Herleitung der Formel für die Berechnung des Flächenträgheitsmomentes eine Polygons findest Du im nebenstehenden Bücherstapel.
Das gesuchte Massenträgheitsmoment des scheibenförmigen (!) Polygons berechnet sich wieder ganz einfach zu:
()
Formel 1

step by step explanation
Für den 3D-Fall gelten im Grunde die gleichen Beziehungen, nur dass nunmehr der Schwerpunkt 3-dimensional berechnet werden muss. Komplizierter die Berechnung des Massenträg­heitsmomentes. Davon gibt es ja nunmehr 3, entsprechend der 6 Freiheitsgrade eines starren Körpers. Auch hier kann das Objekt scheibchenweise, in jede der drei Koordinaten, bearbeitet werden. Das Massenträgheitsmoment ergibt sich dann aus der Summation der einzelnen Scheiben­trägheits­momente, wobei die Abweichungen der einzelnen Schwerachsen vom gemeinsamen Schwerpunkt mit Hilfe des Satzes von STEINER korrigiert werden müssen.

Für die Erfassung einer Kontur auf der Basis eines Images habe ich ein Programm zur Konturerfassung geschrieben, mit dessen Hilfe eine Kontur und alle dazu gehörigen Kenngrößen ermittelt und in einem file namens contour.txt gespeichert werden können. Das Kontur­erfassungs­programm erfüllt noch eine weitere Herausforderung, nämlich, dass das Image und die dazugehörige Kontur deckungsgleich sein müssen. Dann nämlich kann das Image den sichtbaren Teil und die Kontur die Kollisionserkennung befriedigen.

Da es zweckmäßig ist, das Trägheitsmoment in Bezug auf den Schwerpunkt zu berechnen, ist eine rechnerische Verschiebung der Bildmitte in den Schwerpunkt vorzunehmen. Wichtig ist hier, dass der Mittelpunkt des Images nicht zwangsläufig mit dem Schwerpunkt des Objektes (durch den ja die freie Achse bei einer Drehbewegung hindurch geht) identisch sein müssen! Also müssen durch eine geeignete Verschiebung des Images beide Punkte zur Deckung gebracht werden (). Hierfür werden die auf den Erfassungsrahmen normierten Daten x'S und y'S mit dem file contour.txt mit geliefert. Beide Größen sind durch Entnormierung auf die wirklichen Abmessungen des Objektes anzupassen, um dann das Image bis zur Deckungs­gleichheit zu verschieben.


Image - Bildmitte und Schwerpunkt

Abb. Image - Bildmitte und Schwerpunkt
Quelle: ESA/Rosetta/MPS for OSIRIS Team MPS/UPD/LAM/IAA/SSO/INTA/UPM/DASP/IDA

Der Vorteil der normierten Kenngrößen liegt darin, dass bei bekannter größter Abmessung l eines Objektes in der Realität, sehr einfach aus den normierten Größen die realen errechnet werden können:
()
Formel 1
()
Formel 1

Voraussetzung für die Berechnung des Trägheitsmomentes J ist allerdings, dass das Objekt scheibenförmig mit konstanter Dicke und Dichte ist. Bei bakannter Masse m:
Geistesblitz
on/off

()
Formel 1

Ein weiterer Knackpunkt ist die Bewegung des Pärchens Image/Kontur (). Während das Image mit Hilfe der Matrix-Befehle einfach verschoben oder gedreht werden kann, trifft dies für die Kontur nicht zu. Die Kontur ist ja nur ein mathematisches Hilfsmittel, das durch seine Konturpunkte beschrieben ist. Um nun beide, das Image und die Kontur den physikalischen Gesetzen entsprechend zu bewegen, müssen das Image mittels der Matrix-Befehle und die Kontur mittels Translations- bzw. Rotations-Mathematik behandelt werden.

Bitte einen Augenblick Geduld
während das Programm geladen wird!
Abb. Deckungsgleichheit von Kontur und Image


Während das Verschieben eines Polygons um einen bestimmten offset unproblematisch ist, ist die Drehung eines Polygons nicht ganz ohne! Um ein Polygon um den Winkel φ zu drehen, muss jeder Punkt des Polygons um den Winkel φ um den Koordinatenursprung gedreht werden. Betrachten wir das Schicksal eines einzelnen Punktes P(x,y):
Zunächst wird eine Hilfskoordinatensystem konstruiert, das genau um den Winkel φ gegenüber dem Ursprungssystem gedreht ist. Nun werden die x- bzw. die y-Koordinate des Punktes P(x,y) auf dieses Hilfssystem projiziert. Dabei ist zu beobachten, dass die Projektionen x' bzw. y' Anteile sowohl von x als auch von y beinhalten. In der Grafik wird dieser Vorgang aus Gründen der Übersichtlichkeit nur für die x-Koordinate dargestellt.
Für die Drehung um den Winkel φ gilt die Trans­formations­regel:

()
Formel 1

Wobei nun x' bzw. y' die neuen Koordinaten des gedrehten Punktes P'(x,y) sind.
Drehung eines Punktes um den Koordinatenursprung

Abb. Drehung eines Punktes um den Koordinatenursprung


zeigt den Code für das Laden und Drehen von Images und Konturdaten. Besondere Beachtung verdient das Verschieben des Images in den durch die Kontur vorgegebenen Schwerpunkt. Die Verschiebung muss in zwei Schritten erfolgen:
  1. Verschiebe den Mittelpunkt des Image auf die Koordinaten des Schwerpunktes.
  2. Verschiebe das Image um die Koordinaten des Schwerpunktes, um so die deckungsgleiche Drehung des Images zu ermöglichen. Der Befehl resize() passt das Image an die Maß der Kontur an.




Abb. Deckungsgleiches Laden und Drehen von Image und Kontur


Das Programmbeispiel verwendet eine bereits erfasste Kontur. Hier die eines Fünfecks, dessen Schwerpunkt deutlich vom Mittelpunkt des Images abweicht. Aber auch andere Konturen befinden sich im Ordner "data". z.B. die des Kometen Tschuri. Mit dem Programm soll demonstriert werden, wie eine Rotation von Image und Kontur deckungsgleich erfolgt. Zu diesem Zweck greift eine Griff (grün) am Schwerpunkt des Objektes an. Mit der Maus kann dieser Griff angefasst und bogenförmig bewegt werden. So kann das Objekt gedreht werden. Betätigen des Buttons Shape zeigt die selbe Operation an der Kontur.
download p5.js
run program

Ergebnisdiskussion: In der Konturdarstellung werden der Mittelpunkt (weiß) und der Schwerpunkt (rot) des Objektes bzw. der Kontur angezeigt. Es ist zu erkennen, dass die Drehung des Objektes um den Schwerpunkt erfolgt.
Im linken Darstellungsbereich werden die aus dem Konturfile data/contour.txt übernommenen Werte angezeigt. Achte dabei auf die ersten Werte, diese sind für die Rotationsparameter von Bedeutung!