8. Kapitel
Das rollende Rad - Kombination aus Translation und Rotation
Bewegung eines rollenden Rades
Rollt ein Rad, dann zur Fortbewegung. Mit anderen Worten, zu der Drehbewegung tritt eine translatorische Bewegung hinzu. Wir wollen hier das Rad auf einer schiefen Ebene bei seiner Bewegung beobachten ().
Ein Rad mit dem Radius R, der Masse m und dem
Trägheitsmoment J befindet sich auf einer im Winkel
α geneigten Ebene. Wir kennen die Aufgabenstellung bereits
aus Sicht der Translation.
Die Behandlung dieser Kombinationsbewegung geht wie üblich von einem Kräftegleichgewicht aus:
Im Fall der kombinierten Bewegung teilt sich die Hangabtriebskraft FH auf zwei Trägheitskräfte auf: die translatorische FT und die rotatorische FR.
Die Behandlung dieser Kombinationsbewegung geht wie üblich von einem Kräftegleichgewicht aus:
()
Im Fall der kombinierten Bewegung teilt sich die Hangabtriebskraft FH auf zwei Trägheitskräfte auf: die translatorische FT und die rotatorische FR.
Abb. Das rollende Rad auf der schiefen Ebene
Infolge des zwangsweise zu befahrenden Weges, kann die Gravitationswirkung nur teilweise auf die Hangabtriebskraft FH wirken. Der Aufteilungsmodus ist uns bereits bekannt, hier sei er nochmals aufgezeigt:
()
Die Kraftkomponenten auf der rechten Seite des Kräftegleichgewichts () setzen sich aus der translatorischen Trägheitskraft, die uns bereits aus bekannt ist, und der rotatorischen Trägheitskraft gemäß
()
zusammen. Damit erhalten wir das Kräftegleichgewicht durch die einzelnen Kräfte ausgedrückt:
()
Berücksichtigen wir noch den Zusammenhang
zwischen Weg und Winkel
und ersetzen wir FH noch durch
, erhalten wir eine Gleichung, die nur noch den Winkel
φ in seiner 2. Ableitung enthält:
Erweitern mit R
und Umstellen nach
ergibt schließlich
()
()
Abb. Zusammenhang zwischen Weg und Winkel
An sich ist der Zwischenschritt, den darstellt,
gänzlich unspektakulär und einer expliziten Darstellung gar nicht wert, wäre
da nicht die Parallelität zum Satz von STEINER!
Danach sieht es so aus, als sei mit J das schwerpunktbezogene
Trägheitsmoment des Rades gegeben und mit m·R² würde eine
Verschiebung des Drehpunktes nach STEINER statt finden. D.h. das Rad kippt
stets um den Berührungspunkt mit dem Untergrund herum und bewegt
seinen Mittelpunkt auf diese Weise vorwärts. Das ist das Eigentümliche an der
Rollbewegung: am Berührungspunkt findet keine Translation statt, nur eine
Drehbewegung.
()
on/off
Das Beispielprogramm zeigt im Vergleich zwei Räder unterschiedlicher Trägheitsmomente auf der schiefen Ebene. Alle sonstigen Parameter der Räder sind identisch. Für die Implementierung der Aufgabestellung ist a) die Berechnung der Trägheitsmomente und b) der richtige Zusammenhang zwischen Drehwinkel und Weg wichtig.
Damit die Rotation besser zu erkennen ist, tragen beide Räder je eine Speiche zur Markierung des Drehwinkels. Nach dem Start bewegen sich die Räder unter dem Einfluss der Schwerkraft die schiefe Ebene hinab. Welches der beiden Räder kommt zuerst unten an?
Noch eine Bemerkung zur Implementierung: Die Angabe der Masse m ist eigentlich nicht erforderlich, da sie entspr. ohnehin wieder gekürzt wird. Dass die Masse m hier im Code erscheint, ist nur dem Umstand besserer Lesbarkeit des Codes zuzuschreiben.
Ergebnisdiskussion: Es ist die Walze, die schneller am Ende der schiefen Ebene ankommt. Der Grund liegt in dem größeren Trägheitsmoment des Hohlzylinders. Die potentielle Energie ist in beiden Fällen gleich groß, muss sich aber in kinetische Translationsenergie und Rotationsenergie aufteilen. Da beim Zylinder mehr Rotationsenergie als bei der Walze aufzubringen ist, kann das nur zu Lasten der Translation erfolgen. Also: der Zylinder muss langsamer sein.
