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Rotation - Anwendungen

Das rollende Rad - Kombination aus Translation und Rotation

Bewegung eines rollenden Rades

Rollt ein Rad, dann zur Fortbewegung. Mit anderen Worten, zu der Drehbewegung tritt eine translatorische Bewegung hinzu. Wir wollen hier das Rad auf einer schiefen Ebene bei seiner Bewegung beobachten ().

Ein Rad mit dem Radius R, der Masse m und dem Trägheitsmoment J befindet sich auf einer im Winkel α geneigten Ebene. Wir kennen die Aufgabenstellung bereits aus Sicht der Translation.

Die Behandlung dieser Kombinations­bewegung geht wie üblich von einem Kräfte­gleichgewicht aus:
()
Formel 1

Im Fall der kombinierten Bewegung teilt sich die Hangabtriebskraft FH auf zwei Trägheitskräfte auf: die translatorische FT und die rotatorische FR.
	Das rollende Rad auf der schiefen Ebene

Abb. Das rollende Rad auf der schiefen Ebene

Infolge des zwangsweise zu befahrenden Weges, kann die Gravitationswirkung nur teilweise auf die Hangabtriebskraft FH wirken. Der Aufteilungsmodus ist uns bereits bekannt, hier sei er nochmals aufgezeigt:
()
Formel 1

Die Kraftkomponenten auf der rechten Seite des Kräftegleichgewichts () setzen sich aus der translatorischen Trägheitskraft, die uns bereits aus bekannt ist, und der rotatorischen Trägheitskraft gemäß
()
Formel 1

zusammen. Damit erhalten wir das Kräftegleichgewicht durch die einzelnen Kräfte ausgedrückt:
()
Formel 1
Berücksichtigen wir noch den Zusammenhang s = R φ zwischen Weg und Winkel und ersetzen wir FH noch durch , erhalten wir eine Gleichung, die nur noch den Winkel φ in seiner 2. Ableitung enthält:
()
Formel 1
Erweitern mit R
()
Formel 1
und Umstellen nach φ · · ergibt schließlich
Zusammenhang zwischen Weg und Winkel

Abb. Zusammenhang zwischen Weg und Winkel


()
Formel 1
die gesuchte Differentialgleichung.
Geistesblitz
on/off


Das Beispielprogramm zeigt im Vergleich zwei Räder unterschiedlicher Trägheitsmomente auf der schiefen Ebene. Alle sonstigen Parameter der Räder sind identisch. Für die Implementierung der Aufgabestellung ist a) die Berechnung der Trägheitsmomente und b) der richtige Zusammenhang zwischen Drehwinkel und Weg wichtig.
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download p5.js
run program
Die Räder haben eine unterschiedliche Masseverteilung. Ein Rad besteht aus einem Hohlzylinder mit den Abmessungen Außenradius: ra = R und dem Innenradius ri = riz, d.h. die gesamte Masse ist außen konzentriert. Und das andere Rad besteht aus einer massiven Walze mit dem Außenradius ra = raw, die die gesamte Masse im Inneren konzentriert. Damit nun beide Räder je Umdrehung den gleichen Weg zurücklegen, ist die Walze von einem masselosen Ring mit dem Radius R umgeben und fest mit diesem verbunden. Die Trägheitsmomente J1 für den Hohlzylinder berechnen sich gemäß bzw. J2 für die Walze nach .

Damit die Rotation besser zu erkennen ist, tragen beide Räder je eine Speiche zur Markierung des Drehwinkels. Nach dem Start bewegen sich die Räder unter dem Einfluss der Schwerkraft die schiefe Ebene hinab. Welches der beiden Räder kommt zuerst unten an?
Noch eine Bemerkung zur Implementierung: Die Angabe der Masse m ist eigentlich nicht erforderlich, da sie entspr. ohnehin wieder gekürzt wird. Dass die Masse m hier im Code erscheint, ist nur dem Umstand besserer Lesbarkeit des Codes zuzuschreiben.

Ergebnisdiskussion: Es ist die Walze, die schneller am Ende der schiefen Ebene ankommt. Der Grund liegt in dem größeren Trägheitsmoment des Hohlzylinders. Die potentielle Energie ist in beiden Fällen gleich groß, muss sich aber in kinetische Translationsenergie und Rotationsenergie aufteilen. Da beim Zylinder mehr Rotationsenergie als bei der Walze aufzubringen ist, kann das nur zu Lasten der Translation erfolgen. Also: der Zylinder muss langsamer sein.