9. Kapitel

Bewegungsgleichungen nach den Gesetzen der Rotation

Bewegungsgleichungen für Planeten und Kometen

Wen fasziniert nicht die ewige Bewegung der Planeten um ihr Zentralgestirn? Ohne äußere Kraft dauert diese Bewegung ohne nennenswerte Veränderung der Bahnen an. Versuchen wir, diesem Geheimnis auf die Spur zu kommen.

Kometen

In den folgenden Betrachtungen gehen wir davon aus, dass das Zentralgestirn sehr viel massereicher ist, als das umkreisende Objekt, z.B. ein Komet. Damit dürfen wir annehmen, dass die Wirkung dieses Objektes auf die Sonne vernachlässigbar klein ist. So kann das sog. Zwei-Körper-Problem auf ein Ein-Körper-Problem reduziert werden.

Auf den Kometen sollten zwei Kraftkomponenten wirken:

eine radiale Komponente, hervorgerufen durch das Wechselspiel zwischen Zentrifugalkraft und Zentripedalkraft und
eine tangentiale Komonente, die aber gleich 0 ist, sofern keine äußeren Kräfte auf den Kometen einwirken (deshalb fehlen in auch entsprechende tangentiale Kraftpfeile!).

Befassen wir uns zunächst mit der radialen Kraftkomponente:
Wie wir bereits von den KEPLERschen Gesetzen wissen, beruht die Kometenbewegung auf dem Gleichgewicht der radialen Kräfte von Gravitation und Zentrifugalkraft. Wäre dieses Gleichgewicht gestört, bliebe eine Kräftedifferenz übrig, die die Masse des Kometen zum Zentralgestirn hin oder von diesem weg beschleunigen würde. Daher lautet das vollständige Kräftegleichgewicht:

()

F_{T} = F_{Z} - F_{R}

worin F_Z die Zentrifugalkraft, hervorgerufen durch die Rotation um das Zentralgestirn, F_R die Radialkraft (oder auch Zentripedalkraft genannt), hervorgerufen durch die Gravitation und F_T die Trägheitskraft bedeuten. Die Zentrifugalkraft gemäß und die Radialkraft gemäß sind hier Gegenspieler.

Tritt ein Kräfteungleichgewicht zwischen Gravitation (Radialkraft) F_R und Zentrifugalkraft F_Z, wirkt auf den Kometen eine Kraft in Richtung der Radialkomponente. Somit wird der Planet durch die Trägheitskraft F_T ebenfalls in diese Richtung (und umgekehrt) beschleunigt. So lautet das radiale Kräftegleichgewicht nach

Abb. Sonne und Planet: das Ein-Körper-Problem

()

m_{2} \cdot {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{2} = m_{2} \cdot r_{2} \cdot ω^{2} - γ \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{{r_{2}}^{2}}

Nun zum tangentiale Kräftegleichgewicht. Weil in tangentiale Richtung keine Kräfte wirken, muss das Drehmoment M verschwinden. D.h. aber, dass der Drehimpuls L unverändert bleibt. Mit anderen Worten: die Änderung des Drehimpulses (also seine erste Ableitung nach der Zeit) verschwindet:

()

M = 0 \Rightarrow L = const \Rightarrow \overset{\cdot}{L} = 0

Infolge der gewaltigen kosmischen Entfernungen kann selbst ein Planet als punktförmig angesehen werden!

Mit der Definition des Drehimpulses ()

L = J \cdot ω

und dem Trägheitsmoment einer Punktmasse ()

J = m_{2^{\cdot}} {r_{2}}^{2}

lautet der Drehimpuls

()

L = m_{2} \cdot {r_{2}}^{2} \cdot ω

on/off

Das Differenzieren von nach der Zeit erfolgt nach der Produktregel, da sowohl die Winkelgeschwindigkeit ω als auch der Abstand r₂ zwischen Zentralgestirn und Planet zeitlich veränderlich sind:

()

\overset{\cdot}{L} = \frac{d (m_{2} \cdot {r_{2}}^{2} \cdot ω)}{d t} = m_{2} \cdot (2 r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{r}}_{2} \cdot ω + {r_{2}}^{2} \cdot \overset{\cdot}{ω})

Gemäß soll dieser Ausdruck gleich 0 sein. So erhalten wir unter Beachtung von

ω = \overset{\cdot}{φ}

und

\overset{\cdot}{ω} = \overset{\cdot \cdot}{φ}

()

\overset{\cdot \cdot}{φ} = - \frac{2 \cdot \overset{\cdot}{φ} \cdot {\overset{\cdot}{r}}_{2}}{r_{2}}

und durch Umstellen von

()

{\overset{\cdot \cdot}{r}}_{2} = r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}^{2} - γ \cdot \frac{m_{1}}{{r_{2}}^{2}}

ein System verkoppelter Differentialgleichungen, bestehend aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Was für Kometen gilt, gilt natürlich auch für andere Himmelskörper, wie z.B. Satelliten, Meteore oder Kometen. Einer der derzeitig bekanntesten Kometen ist der Komet Tschurjumow-Gerassimenko, der durch die Rosetta-Mission der European Space Agency ins Blickfeld des allgemeinen Interesses gerückt ist. Wollen wir sehen, wie sich der Komet Tschurjumow-Gerassimenko im Gravitationsfeld der Sonne bewegt.
Für die Implementation ist zunächst die Erfassung der Startsituation erforderlich. Im Beispielprogramm können der Startort und die vektorielle Startgeschwindigkeit des Kometen per Maus frei gewählt werden. Dass der Geschwindigkeitsvektor beliebige Orientierungen haben kann, berücksichtigt die Herkunft des Kometen aus den Tiefen des Weltalls.
Der Startort des Kometen ist durch seine Koordinaten x₀ und y₀ gegeben, während der Vektor der Startgeschwindigkeit v_0x bzw. v_0y erst berechnet werden muss.

Für die Aufstellung der rekursiven Lösung der Bewegungsgleichung benötigen wir die Radial- bzw. Tangentialgeschwindigkeit v_0r bzw. v_0p der Startgeschwindigkeit. Die erhalten wir über die Komponentenberechnung mittels trigonometrischer Funktionen der Winkeldifferenz aus Richtungswinkel ψ der Startgeschwindigkeit und dem Standortwinkel φ₀ des Kometen (siehe ). Aus der tangentialen Geschwindigkeitskomponente kann dann leicht mittels Division durch den Startabstand des Kometen von der Sonne r₀ die Anfangswinkelgeschwindigkeit ω₀ berechnet werden.
Für die Lösung der Differentialgleichung bietet sich der DORMAND-PRINCE-Solver wegen seiner hohen Genauigkeit an. Geht es bei dieser Aufgabe doch darum, eine verlustfreie Bewegung (Vakuum!) so zu berechnen, dass sich die Bahnkurven, die in der Realität Ellipsen sind, in sich selbst schließen.
Auf die Benutzung der Matrix-Befehle wird hier verzichtet und statt dessen die klassische Umrechnung von Polar- in kartesische Koordinaten vorgenommen.

Abb. Sonne und Planet: Startsituation

In der Simulation sehen wir die Sonne im Zentrum und in einiger Entfernung einen der Sonne nahen Kometen (orange). Letzterer kann per Maus beliebig plaziert werden. Vor dem Start hast Du die Möglichkeit, den Geschwindigkeitsvektor, der vom Kometen ausgeht, zu verändern. Dazu musst Du mit der Maus das Ende des Vektors festhalten und neu plazieren. Das Ergebnis Deiner Eingabe kannst Du links unten verfolgen. Winkel des Geschwindigkeitsvektors ψ sowie des Kometen bez. der Sonnenposition φ werden in Grad (°) angegeben. Ebenfalls angezeigt wird die seit dem Start verstrichene Zeit t in Stunden (h). Wegen der enormen Raumdimensionen dauern kosmische Vorgänge bekanntlich sehr lange, deshalb wird die Bewegung des Kometen im Zeitraffer dargestellt.

Ergebnisdiskussion: Das Programm ist mit einer Grundkonfiguration für die Kometenstartsituation ausgestattet, die zu einer geschlossenen elliptischen Bahn führt. Veränderungen des Kometenstartortes bzw. der Startgeschwindigkeit in Betrag und Richtung erlaubt die Nachbildung aller realen Situationen, von der hyperbolischen Ablenkung des Kometen über geschlossene Bahnen bis hin zum Sturz in die Sonne.

Zwei-Körper-Problem: Objekte vergleichbarer Massen

In den nun folgenden Betrachtungen gehen wir nicht mehr davon aus, dass das Zentralgestirn sehr viel massereicher ist, als der umkreisende Planet. Somit ist die gegenseitige Wirkung der beteiligten Objekte nicht mehr zu vernachlässigen! Wenn wir uns auf zwei solche Objekte beschränken, muss das sog. Zwei-Körper-Problem gelöst werden.

Abb. veranschaulicht die Konstellation zweier kosmischer Objekte, deren Massen vergleichbare Größen aufweisen. Die Lösung des Zwei-Körper-Problems geht davon aus, dass außer der gegenseitigen Gravitationswirkung und den Zentrifugalkräften keine weiteren Kräfte auf die beiden Objekte einwirken. Daraus folgt, dass sich beide Objekte um einen gemeinsamen Schwerpunkt S drehen müssen. Die Schwerpunkte (hier identisch mit den Objektmittelpunkten) der beiden Objekte und der gemeinsame Schwerpunkt liegen dabei stets auf einer Geraden! Also

()

φ_{1} = φ_{2} + π \Rightarrow {\overset{\cdot}{φ}}_{1} = {\overset{\cdot}{φ}}_{2} = \overset{\cdot}{φ}

Diese Aussage erlaubt uns auch, die Lage des gemeinsamen Schwerpunktes zu berechnen:

()

r_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot r_{2}

Gleichzeitig sind mit und Zwangsbedingungen für die Bewegung beider Objekte gegeben. So könnte das Zwei-Körper-Problem mit den mathematischen Mitteln des Ein-Körper-Problems gelöst werden. Davon wollen wir aber keinen Gebrauch machen, sondern einen anderen Lösungsweg ausprobieren, nämlich die Anwendung des LAGRANGEschen Formalismus.

Abb. Das Zwei-Körper-Problem

Danach werden zunächst die kinetischen und potentiellen Energien des Gesamtsystems W_kin und W_pot bestimmt:

()

W_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot m_{1} \cdot [{(r_{1} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{1})}^{2} + {\overset{\cdot}{r}}_{1}^{2}] + \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot [{(r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2})}^{2} + {\overset{\cdot}{r}}_{2}^{2}]

und mit der Gravitationskonstanten γ = 6,67430·10^-11 m³/kg·s²:

()

W_{p o t} = γ \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{{(r_{1} + r_{2})}^{2}} \cdot (r_{1} + r_{2}) = γ \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{(r_{1} + r_{2})}

Arbeiten wir die Zwangsbedingungen nach und ein, vereinfachen sich die und :

()

W_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot (1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}) \cdot [{(r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2})}^{2} + {\overset{\cdot}{r}}_{2}^{2}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot [{(r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2})}^{2} + {\overset{\cdot}{r}}_{2}^{2}]

und

()

W_{p o t} = γ \cdot \frac{m_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{m_{1} + m_{2}} = γ \cdot \frac{m_{1}}{r_{2}} \cdot μ

Worin der Ausdruck M die Gesamtmasse und der Ausdruck μ die sog. reduzierte Masse bezeichnet. Die reduzierte Masse ist stets kleiner als die kleinere der beiden Massen.

Die folgenden Schritte erfolgen analog : So lautet die LAGRANGEsche Funktion, die nur noch von zwei Variablen r₂ und φ₂ bzw. deren Ableitungen abhängig ist...

()

L = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot [{(r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2})}^{2} + {\overset{\cdot}{r}}_{2}^{2}] + γ \cdot \frac{m_{1}}{r_{2}} \cdot μ

...und die erforderlichen Ableitungen notieren:

(a)

\frac{\partial L}{\partial {\overset{\cdot}{r}}_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot {\overset{\cdot}{r}}_{2}

sowie

(b)

\frac{\partial L}{\partial {\overset{\cdot}{φ}}_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot {r_{2}}^{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2}

(c)

\frac{d (\frac{\partial L}{\partial {\overset{\cdot}{r}}_{2}})}{d t} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{2}

sowie unter Anwendung der Produktregel

(d)

\frac{d (\frac{\partial L}{\partial {\overset{\cdot}{φ}}_{2}})}{d t} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot (2 r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{r}}_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2} + {r_{2}}^{2} \cdot {\overset{\cdot \cdot}{φ}}_{2})

(a)

\frac{\partial L}{\partial r_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2}^{2} - γ \cdot \frac{m_{1}}{{r_{2}}^{2}} \cdot μ

sowie

(b)

\frac{\partial L}{d φ_{2}} = 0

Somit können nun die zwei Differentialgleichungen (siehe hierzu ) hergeleitet werden. Aus c und a folgt:

(a)

\frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{2} - \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2}^{2} + γ \cdot \frac{m_{1}}{{r_{2}}^{2}} \cdot μ = 0

...und aus d und b:

(b)

\frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot M \cdot (2 r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{r}}_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2} + {r_{2}}^{2} {\overset{\cdot \cdot}{φ}}_{2}) - 0 = 0

Auflösen und umstellen nach den jeweils höchsten Ableitungen:

(a)

{\overset{\cdot \cdot}{r}}_{2} = r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2}^{2} - \frac{γ}{{r_{2}}^{2}} \cdot \frac{{m_{1}}^{2}}{m_{2}} \cdot \frac{μ}{M} = r_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2}^{2} - γ \cdot \frac{m_{1}}{{r_{2}}^{2}} \cdot \frac{{m_{1}}^{2}}{M^{2}}

(b)

{\overset{\cdot \cdot}{φ}}_{2} = - \frac{2 \cdot {\overset{\cdot}{r}}_{2} \cdot {\overset{\cdot}{φ}}_{2}}{r_{2}}

Interessant ist, dass sich nur durch den Quotienten (m₁/M)² von der Lösung des Ein-Körper-Problems und gar nicht von unterscheiden. Für große Massenunterschiede geht nämlich der Quotient (m₁/M)² → 1! Dieses Gleichungssystem wird in der Literatur auch als das äquivalentes Ein-Körper-Problem bezeichnet.

Im Zusammenwirken mit den beiden und liegen munmehr alle Bestimmungsgleichungen für die Bewegungen der beiden Himmelskörper vor. Unabhängig von den Bewegungen der beiden Körper um den gemeinsamen Schwerpunkt können weitere Bewegungsmuster überlagert werden, nämlich durch eine translatorische, gleichförmige Bewegung des gemeinsamen Schwerpunktes. Dies tritt auf, wenn sich die beiden Körper gemeinsam auf einer Bahn um einen größeren Himmelskörper, wie z.B. die Sonne, bewegen.

Das nebenstehende Beispielprogramm zeigt zwei Himmelskörper ähnlich großer Massen. Der Beobachter ist auf der Position des gemeinsamen Massenschwerpunktes. Es ist also unerheblich, ob sich dieser bewegt oder nicht - es gibt keine Relativbewegung zwischen Beobachter und Schwerpunkt.
Im Programm sind sowohl das Massenverhältnis m₂/m₁ per Schieberegler, als auch die verktorielle Startgeschwindigkeit v₀ und der Startort des zweiten Objektes per drag'n drop wählbar.
Vor dem START werden beide Objekte in ihrer vollen Größe einsckließlich des gemeinsamen Schwerpunktes gezeigt. Nach dem START verschwinden diese Darstellungen zu Gunsten einer Spur-Darstellung, weil so der Bahnverlauf besser zu verfolgen ist.

Ergebnisdiskussion: Wie die KEPLERschen Gesetze besagen, bewegen sich die beiden Köper bei hinreichend niedriger Startgeschwindigkeit (variiere den roten Geschwindigkeitsvektor!) auf elliptischen Bahnen, bei höheren Geschwindigeiten auf einer hyperbolischen Bahn um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Ist eine der beiden Massen sehr groß, fallen Objektmittelpunkt und Schwerpunkt zusammen.

Symbol	Bedeutung
F_T	Trägheitskraft [N]
F_Z	Zentrifugalkraft [N]
F_R	Radialkraft [N]
r	Abstand, Radius einer Planetenbahn [m]
M	Drehmoment [Nm] (hier NICHT der Maßstab!)
L	Drehimpuls [kgm²/s]
J	Massenträgheitsmoment [kgm²]
γ	Gravitationskonstante [m³/kgs²]
φ	Drehwinkel [°] oder [rad]
ω	Winkelgeschwindigkeit [°/s] oder [rad/s]
m	Massen [kg]
m₁ / m₂	Masse 1, Masse 2
μ / M	reduzierte Masse, Gesamtmasse (hier WEDER Maßstab NOCH Drehmoment!) [kg]
W_kin	kinetische Energie [Ws]
W_pot	potentielle Energie [Ws] oder [Nm]