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Kosmische Dimensionen

Bewegungsgleichungen nach den Gesetzen der Rotation

Bewegungsgleichungen für Planeten und Kometen

Wen fasziniert nicht die ewige Bewegung der Planeten um ihr Zentralgestirn? Ohne äußere Kraft dauert diese Bewegung ohne nennenswerte Veränderung der Bahnen an. Versuchen wir, diesem Geheimnis auf die Spur zu kommen.

In den folgenden Betrachtungen gehen wir davon aus, dass das Zentralgestirn sehr viel massereicher ist, als der umkreisende Planet. Damit dürfen wir annehmen, dass die Wirkung des Planeten auf die Sonne vernachlässigbar klein ist.

Auf den Planeten sollten zwei Kraftkomponenten wirken:
  1. eine radiale Komponente, hervorgerufen durch das Wechselspiel zwischen Zentrifugalkraft und Zentripedalkraft und

  2. eine tangentiale Komonente, die aber gleich 0 ist, sofern keine äußeren Kräfte auf den Planeten einwirken (deshalb fehlen in auch entsprechende tangentiale Kraftpfeile!).


Befassen wir uns zunächst mit der radialen Kraftkomponente:
Wie wir bereits von den KEPLERschen Gesetzen wissen, beruht die Planetenbewegung auf dem Gleichgewicht der radialen Kräfte von Gravitation und Zentrifugalkraft. Wäre dieses Gleichgewicht gestört, bliebe eine Kräftedifferenz übrig, die die Masse des Planeten (Kometen) zum Zentralgestirn hin oder von diesem weg beschleunigen würde. Daher lautet das vollständige Kräftegleichgewicht:
()
Formel
worin FZ die Zentrifugalkraft, hervorgerufen durch die Rotation um das Zentralgestirn, FR die Radialkraft (oder auch Zentripedalkraft genannt), hervorgerufen durch die Gravitation und FT die Trägheitskraft bedeuten. Die Zentrifugalkraft gemäß und die Radialkraft gemäß sind hier Gegenspieler.

Tritt ein Kräfteungleichgewicht zwischen Gravitation (Radialkraft) FR und Zentrifugalkraft FZ, wirkt auf den Planeten eine Kraft in Richtung der Radialkomponente. Somit wird der Planet durch die Trägheitskraft FT ebenfalls in diese Richtung (und umgekehrt) beschleunigt. So lautet das radiale Kräftegleichgewicht nach
 Sonne und Planet: das Zwei-Körper-Problem

Abb. Sonne und Planet: das Zwei-Körper-Problem

()
Formel
Nun zum tangentiale Kräftegleichgewicht. Weil in tangentiale Richtung keine Kräfte wirken, muss das Drehmoment M verschwinden. D.h. aber, dass der Drehimpuls L unverändert bleibt. Mit anderen Worten: die Änderung des Drehimpulses (also seine erste Ableitung nach der Zeit) verschwindet:
()
Formel
Mit der Definition des Drehimpulses () L = J · ω und dem Trägheitsmoment einer Punktmasse () J = m 1 · r 2 lautet der Drehimpuls
()
Formel
Geistesblitz
on/off


Das Differenzieren von nach der Zeit erfolgt nach der Produktregel, da sowohl die Winkelgeschwindigkeit ω als auch der Abstand r zwischen Zentralgestirn und Planet zeitlich veränderlich sind:
()
Formel
Gemäß soll dieser Ausdruck gleich 0 sein. So erhalten wir unter Beachtung von ω = φ · und ω · = φ · ·
()
Formel
und durch Umstellen von
()
Formel
ein System verkoppelter Differential­gleichungen, bestehend aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Was für Planeten gilt, gilt natürlich auch für andere Himmelskörper, wie z.B. Satelliten, Meteore oder Kometen. Einer der derzeitig bekanntesten Kometen ist der Komet Tschurjumow-Gerassimenko, der durch die Rosetta-Mission der European Space Agency ins Blickfeld des allgemeinen Interesses gerückt ist. Wollen wir sehen, wie sich der Komet Tschurjumow-Gerassimenko im Gravitationsfeld der Sonne bewegt.
Für die Implementation ist zunächst die Erfassung der Startsituation erforderlich. Im Beispielprogramm können der Startort und die vektorielle Start­geschwindig­keit des Kometen per Maus frei gewählt werden. Dass der Geschwindig­keitsvektor beliebige Orientierungen haben kann, berücksichtigt die Herkunft des Kometen aus den Tiefen des Weltalls.
Der Startort des Kometen ist durch seine Koordinaten x0 und y0 gegeben, während der Vektor der Start­geschwindig­keit v0x bzw. v0y erst berechnet werden muss.

Für die Aufstellung der rekursiven Lösung der Bewegungsgleichung benötigen wir die Radial- bzw. Tangentialgeschwindigkeit v0r bzw. v0p der Startgeschwindigkeit. Die erhalten wir über die Komponentenberechnung mittels trigonometrischer Funktionen der Winkeldifferenz aus Richtungswinkel ψ der Startgeschwindigkeit und dem Standortwinkel φ0 des Kometen (siehe ). Aus der tangentialen Geschwindig­keits­komponente kann dann leicht mittels Division durch den Startabstand des Kometen von der Sonne r0 die Anfangswinkelgeschwindigkeit ω0 berechnet werden.
Für die Lösung der Differentialgleichung bietet sich der DORMAND-PRINCE-Solver wegen seiner hohen Genauigkeit an. Geht es bei dieser Aufgabe doch darum, eine verlustfreie Bewegung (Vakuum!) so zu berechnen, dass sich die Bahnkurven, die in der Realität Ellipsen sind, in sich selbst schließen.
Auf die Benutzung der Matrix-Befehle wird hier verzichtet und statt dessen die klassische Umrechnung von Polar- in kartesische Koordinaten vorgenommen.
Sonne und Planet: Startsituation

Abb. Sonne und Planet: Startsituation

In der Simulation sehen wir die Sonne im Zentrum und in einiger Entfernung einen der Sonne nahen Kometen (orange). Letzterer kann per Maus beliebig plaziert werden. Vor dem Start hast Du die Möglichkeit, den Geschwindig­keits­vektor, der vom Kometen ausgeht, zu verändern. Dazu musst Du mit der Maus das Ende des Vektors festhalten und neu plazieren. Das Ergebnis Deiner Eingabe kannst Du links unten verfolgen. Winkel des Geschwindigkeitsvektors ψ sowie des Kometen bez. der Sonnenposition φ werden in Grad (°) angegeben. Ebenfalls angezeigt wird die seit dem Start verstrichene Zeit t in Stunden (h). Wegen der enormen Raumdimensionen dauern kosmische Vorgänge bekanntlich sehr lange, deshalb wird die Bewegung des Kometen im Zeitraffer dargestellt.
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run program


Ergebnisdiskussion: Das Programm ist mit einer Grundkonfiguration für die Kometenstartsituation ausgestattet, die zu einer geschlossenen elliptischen Bahn führt. Veränderungen des Kometenstartortes bzw. der Startgeschwindigkeit in Betrag und Richtung erlaubt die Nachbildung aller realen Situationen, von der hyperbolischen Ablenkung des Kometen über geschlossene Bahnen bis hin zum Sturz in die Sonne.