9. Kapitel

Bewegungen im kosmischen Raum als Folge von Kräften in rotierenden Systemen

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Kräfte in rotierenden Systemen

Können Bewegungen im kosmischen Raum als Folge von Kräften in rotierenden Systemen betrachtet werden? Im Kosmos regieren - zumindest was unser Anliegen betrifft - zwei Kräfte: die Zentripedalkraft d.h. Gravitation und die Zentrifugalkraft. Die Gravitation wirkt so zwischen Massen, dass diese sich gegenseitig anziehen. Folglich würde ohne Gegenkraft keine Masse über längere Zeiträume getrennt von anderen Massen existieren können. Der Gegenspieler zur Gravitation ist die Zentrifugalkraft, diese kann aber nur dann wirken, wenn sich die Massen auf gekrümmten Bahnen (Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln) um einen gemeinsamen Schwerpunkt bewegen. Während die Zentripedalkraft zu dem gemeinsamen Schwerpunkt gerichtet ist, wirkt die Zentrifugalkraft genau in die entgegen gesetzte Richtung. Sind beide Kräfte im Gleichgewicht, bewegen sich die Massen auf geschlossenen Bahnen - Ellipsen oder Kreisen - um den gemeinsamen Schwerpunkt. Diese Fälle sollen im Folgenden untersucht werden.

Gravitation und Erdanziehung

Über die Gravitation haben wir bereits im Kapitel "3. Beschleunigte Bewegung" gesprochen. Daher sollen an dieser Stelle nur die wichtigsten Aussagen wiederholt werden. Das betrifft natürlich die Kraft, die mit der Gravitation verbunden ist. Ganz allgemein gilt

()

Abb. Einflußgrößen der Gravitation

worin m und M die Massen zweier sich anziehender Körper sind. Die Gravitationswirkung wird durch die Gravitationskonstante γ zum Ausdruck gebracht. γ hat einen außerordentlich kleinen Wert:

()

der schon darauf hindeutet, dass nur große Massen im Stande sind, nennenswerte Kräfte auf einander auszuüben.
Und was noch wichtig ist: die Kraftwirkung nimmt quadratisch mit der Entfernung r zwischen den Körpern ab ()!

Die Bezeichnungen für die Massen, kleines m und großes M, deuten schon darauf hin: wir betrachten die Bewegung einer vergleichsweise kleinen Masse um eine große Masse. Das erleichtert uns die Aufstellung der Bewegungsgleichungen enorm, weil in diesen Fällen der gemeinsame Schwerpunkt mit dem Zentrum des massereicheren Körpers mehr oder weniger deckungsgleich ist. Unmöglich wäre das Aufstellen der Bewegungsgleichung bei etwa gleichschweren Körpern aber nicht!

Handelt es sich bei der größeren Masse um die Erde, dann kann aus durch Umstellung und Einführung der Erdbeschleunigungskonstanten

g = γ \cdot M_{E r d e} ∕ R_{E r d e}

eine einfachere Beziehung aufgestellt werden:

()

Potentielle Energie im Schwerefeld

Unsere energetische Betrachtungen zur Bewegung im Schwerefeld beruht auf dem Gravitationsgesetz von NEWTON. Gemäß nimmt die Wirkung der Gravitation quadratisch mit der Entfernung zwischen den sich gegenseitig anziehenden Massen ab. Was bedeutet das für die potentielle Energie eines Körpers, der sich unter dem Einfluss eines Gravitationsfeldes befindet?

Die potentielle Energie W_pot eines Probekörpers mit der Masse m ergibt sich aus dem Produkt von Kraft F und dem Weg s, der unter dem Einfluss dieser Kraft zurück gelegt werden kann. Im Falle der Gravitation entspricht diese Kraft dem Gewicht G bzw. dem Abstand r vom Mittelpunkt des zentralen kosmischen Körpers (z.B. Sonne, Erde oder Mond). Das Gewicht wiederum ist indirekt abhängig von der Masse des Himmelskörpers M ().
Bei der Betrachtung der Gravitationswirkung in kosmischen Maßstäben haben wir die Gravitationskonstante g als vom Abstand r abhängige Größe zu betrachten. Damit ist die potentielle Energie W_pot ebenfalls eine vom Abstand r abhängige Größe und kann daher nur in differentiell kleinen Intervallen berechnet werden, weil angenommen werden kann, dass in diesen Intervallen die Gravitationskonstante g unverändert wirkt:

Abb. Gravitationswirkung

()

Wird mit Hilfe der Beschleunigungskonstante g ausgedrückt, kann das Gravitationsgesetz auch so ausgedrückt werden:

()

wenn nämlich das Gewicht G des Probekörpers m auf der Oberfläche des kosmischen Körpers mit dem Radius R als Bezugsgröße

G = m \cdot g = m \cdot \frac{γ \cdot M}{R^{2}}

zugrunde gelegt wird. Mit der Einführung von wird zu ...

()

... und die Abhängigkeit vom Abstand r wird so sichtbar.

Um nun die Gesamtenergie zu berechnen, müssen alle differentiell kleinen Teilintervalle integriert werden:

()

Integriert wird hier über alle Wegintervalle dr von der Oberfläche des Planeten (R) bis zum Standort des Probekörpers (r), dessen potentielle Energie W_pot bestimmt werden soll. Die Integration liefert:

()

woraus dann

()

folgt.

Wenn wir nun den Probekörper unendlich weit entfernt vom Planeten plazierten, verfügte der Probekörper über die größtmögliche potentielle Energie

()

einen Wert, der nur hypothetische Bedeutung hat, denn unser Probekörper ist nicht allein im All. Die Wechselwirkung mit anderen Himmelskörpern würde den Wert W_{pot_∞} stats überlagern.

Zentrifugalkraft

Wer hat noch nicht die Beobachtung gemacht, dass bei der erzwungenen kreisförmigen Bewegung eines Körpers Fliehkräfte auftreten? Wie ist diese Kraft zu erklären? Nun, sie ergibt sich wieder einmal aus den NEWTONschen Axiomen, insbesondere dem 2. Axiom. Wie zeigt, wird ein Körper der Masse m durch eine starre Verbindung drehbar an einen festen Punkt, den Drehpunkt, befestigt. Wird dieser Körper nun bewegt, kann er sich nur kreisförmig und nicht geradlinig um den Drehpunkt herum bewegen. Nehmen wir an, dass sich der Körper mit der Drehgeschwindigkeit ω um den Drehpunkt rotierend bewegt, dann findet eine stete Ablenkung des Körpers von der geradlinigen Bewegung, der der Körper eigentlich folgen will, statt. Nach dem 2. Axiom bedeutet dies, dass eine Kraft in Richtung des Drehpunktes aufgebracht werden muss, um den Körper auf der Kreisbahn zu halten. Diese Kraft wird von der starren Verbindung aufgebracht. Die Gegenkraft zu dieser "Halte"kraft nennen wir Zentrifugalkraft F_Z.

Betrachten wir dazu die Vektoren der Tangentialgeschwindigkeit v (). Während des Zeitquants dt hat sich der Drehwinkel um dφ verändert. Damit verbunden ist die Veränderung des Tangentialvektors v.
Dabei hat sich nicht der Betrag, sondern nur die Richtung des Vektors verändert! In der Detailabbildung ist dies deutlich zu erkennen. Die Differenz zwischen den Vektoren zur Zeit t+dt bzw. t entspricht der Geschwindigkeitsänderung dv zwischen diesen Zeitpunkten.

Abb. Zentrifugalkraft

Der Betrag der Tangentialgeschwindigkeit ergibt sich aus dem Radius R und der Winkelgeschwindigkeit ω:

()

Wie aus hervorgeht, ist der Betrag des Differenzvektors dv bei kleinem dφ gleich dem Produkt aus der Seitenlänge v(t) und dem Winkel dφ. Der Winkel im Dreieck ist aus Ähnlichkeitsgründen gleich dem des Kreissegments ...

()

Abb. Vektoren der Tangentialgeschwindigkeit

... woraus folgt:

()

wird nun auf beiden Seiten durch dt dividiert, ergibt sich, dass ...

()

Wenn nun noch der Quotient dv/dt durch die Radialbeschleunigung a und der Quotient dφ/dt durch die Winkelgeschwindigkeit ω ersetzt wird, erhalten wir

()

dann ergibt sich die Zentrifugalkraft F_Z (weil F = m·a) zu

()

Symbol	Bedeutung
r	Abstand, Radius einer Planetenbahn [m]
R	Radius eines Himmelskörpers [m]
m	Masse des kleineren Körpers [kg]
M	Masse des größeren Körpers [kg] (hier NICHT der Maßstab!)
γ	Gravitationskonstante [m³/kgs²]
g	Erdanziehungskonstante [m/s²]
F	Gravitationskraft [N]
G	Gewichtskraft [N]
F_Z	Zentrifugalkraft [N]
h	Höhe [m]
W_kin	kinetische Energie [Ws]
W_pot	potentielle Energie [Ws] oder [Nm]
φ	Drehwinkel [°] oder [rad]
ω	Winkelgeschwindigkeit [°/s] oder [rad/s]