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Kosmische Dimensionen

Der atmosphärische Druck im erdnahen Raum

Atmosphärisches

Dringen kosmische Objekte in die Atmosphäre eines Planeten ein, ist die Beachtung der Strömungsreibung unerlässlich! Sie ist Fluch und Segen zugleich. Sie kann wegen der gewaltigen kinetischen Energien kosmische Körper zum verglühen bringen, sie kann aber auch landende Raumschiffe so abbremsen, dass sie am Erdboden nicht zerschellen.
Wie wir schon im Kapitel REYNOLDSzahl nachgewiesen haben, haben wir es bei der Größe kosmischer Geschwindigkeiten bei einem Eintritt in die Atmosphäre mit der NEWTONschen Reibung zu tun. Darin spielt die Luftdichte ρ eine wichtige Rolle!
Im erdnahen Raum kann jedoch von der Annahme, dass die Luftdichte ρ eine konstante Größe sei, nicht mehr ausgegangen werden. Je größer die Höhe h über dem Erdboden, desto kleiner ist der Luftdruck p und damit auch die Luftdichte ρ. Daher soll zunächst der Einfluss der Höhe auf die Dichte des die Strömungsreibung hervorrufenden Mediums betrachtet werden.

Barometrische Höhenformel im erdnahen Raum

Luftdichte und atmosphärische Druck im erdnahen Raum sind eng miteinander verknüpft. Nur in Bodennähe kann die Luftdichte ρ als konstant angesehen werden. Temperatur und Luftdruck, insbesondere aber die Höhe über dem Meeresspiegel beeinflussen die Luftdichte. Während Temperatur und Luftdruck witterungsbedingt schon in Bodennähe stark schwanken können, ist der Einfluss der Höhe auf die Luftdichte mathematisch gut fassbar. Darum befassen wir uns hier mit dem Einfluss der Höhe auf die Strömungsreibung von Objekten wie Flugzeuge, Landefähren oder Kometen.
Die höhenabhängige Luftdichte ermitteln wir mit Hilfe der Barometrischen Höhenformel. Folgende Überlegung führt uns auf diese Formel:

Stellen wir uns ein kleines Luftvolumen dV der Dichte ρ vor. Dann hat dieses Volumen das Gewicht dG.
()
Formel
 Zur barometrischen Höhenformel

Abb. Zur barometrischen Höhenformel

Bezogen auf die Fläche A des Volumenelementes erzeugt dieses Gewicht einen Druckunterschied dp zwischen oberer und unterer Grenzfläche. Also:
()
Formel
Dieser Zusammenhang zeigt die Abhängigkeit der Druckänderung je Höhenänderung. Damit ist uns aber nicht gedient. Wir suchen eine Beziehung für die Dichte! Aber keine Panik: hier hilft uns die Zustandsgleichung für ideale Gase (BOYLE-MARIOTTEsches Gesetz) weiter. Für konstante Temperaturen gilt:
()
Formel
4. Geistesblitz
on/off


Auch wenn die Annahme konstanter Temperaturen die Realität nicht korrekt widerspiegelt, ist dieser Ansatz doch recht brauchbar. Er sagt aus, dass das Verhältnis von Druck zu Dichte stets gleich ist. Wir können also den Druck am Boden p0 zur Dichte am Boden ρ0 ins Verhältnis setzen und können so bei bekanntem (beliebigen) Druck auf die dazu gehörige Dichte schließen! Auf diese Weise erhalten wir - allerdings noch in der Differentialform - den gesuchten Zusammenhang zwischen Dichte und Höhe:
()
Formel
Durch das Umsortieren der Variablen erhalten wir eine integrierbare Differential­gleichung,
()
Formel
die unter der Annahme, dass sich die Erdanziehungskonstante g im untersuchten Höhenbereich nicht ändert, können g und auch das Dichte/Druck-Verhältnis ρ0/p0 am Erdboden vor das Integral gezogen werden und so einfach integriert werden.
()
Formel
Die Lösung des Integrals lautet:
()
Formel
Auflösen nach der Dichte ρ ergibt
Geistesblitz
on/off
()
Formel
Wobei die Umwandlung der Konstanten e C in die Konstante K nur der besseren Übersichtlichkeit wegen durchgeführt wurde.

Nun muss noch die Integrationskonstante K bestimmt werden. Aus ρ h = 0 = ρ 0 folgt, dass K = ρ 0 sein muss. Damit liegt uns die Barometrische Höhenformel, ohne Berücksichtigung der Abhängigkeit der Erdanziehungs­konstante g von der Höhe, anwendungs­bereit vor!
()
Formel
 Dichte der Luft in Abhängigkeit von der Höhe

Abb. Dichte der Luft in Abhängigkeit von der Höhe

Erweiterte barometrische Höhenformel

Für Anwendungen, die innerhalb eines Höhenkorridors von ca. 50 km über der Erdoberfläche (terrestrisches Flugwesen) angesiedelt sind, ist diese Formel hinreichend genau. Bei dieser Entfernung liegt die Abweichung der Gravitations­konstaten g von der an der Erdoberfläche gemessenen unter 1,5%!

Anders sieht das aus, wenn kosmische Anwendungen modelliert werden sollen. Hier verändert sich die Gravitationskraft G umgekehrt quadratisch zur Entfernung ()! Fußend auf ergibt sich eine mit der Höhe h veränderliche Erdanziehungskonstante g, wenn g(h) auf die Gravitationskonstante g auf die Erdoberfläche (Radius R) bezogen wird:
()
Formel
Damit verändern sich die Ausgangsbedingungen:
()
Formel
  Erdanziehungskonstante in Abhängigkeit von der Höhe

Abb. Zur Erdanziehungskonstanten g(h)

Ausklammern aller konstanten Faktoren und integrieren
()
Formel
führt auf:
()
Formel
Geistesblitz
on/off


Auflösen nach ρ ergibt:
()
Formel
Die Integrationskonstante K wird wie üblich mit der Randbedingung ρ h = 0 = ρ 0 bestimmt und führt schließlich auf
()
Formel
Damit erhalten wir die erweiterte Barometrische Höhenformel, die die Abnahme der Gravitation mit zunehmender Höhe berücksichtigt:
()
Formel


zeigt, wie sich die berechneten Dichten in Abhängigkeit von der Berücksichtigung der Gravitationswirkung unterscheiden.

  1. Luftdichte berechnet ohne Berück­sichtigung der Ab­hängig­keit der Gravitations­konstanten g von der Höhe h,
  2. Luftdichte berechnet unter Berück­sichtigung der Ab­hängig­keit der Gravitations­konstanten g von der Höhe h,
  3. Luftdichte gemessen.
    Quelle: "Atmosphäre Dichte 600km". Lizenziert unter CC BY-SA 3.0 über Wikimedia Commons - wikimedia.org


Wie die Kurve c) der Grafik () zeigt, gibt es bis zu einer Höhe von ca. 130 km zwischen der errechneten Kurve und dergemessenen eine gut Übereinstimmung. Darüber hinaus wirken Strahlungsprozesse auf die Hochatmosphäre ein, die dem kontinuierliche Druckabfall entgegen wirken und zu einer deutlichen Abweichung führen.

 Luftdichte berechnet und gemessen

Abb. Luftdichte berechnet und gemessen