4. Kapitel

Fall eines Körpers unter NEWTONscher Reibung

Differentialgleichung mit Gravitationseinfluss - NEWTON

Untersuchen wir den Fall eines Körpers unter Einfluss der NEWTONschen Reibung. Das hier wirkende Kräftegleichgewicht unterscheidet sich vom Kräftegleichgewicht der STOKESschen Reibung durch die wirkende Reibungskraft.

Beginnen wir wieder mit dem allgemeinen Kräftegleichgewicht. Auf der ACTIO-Seite steht die Wirkkraft F_Wirk, die beim senkrechten Fall durch die Gravitation -m·g repräsentiert wird. Auf der rechten Seite die Trägheitskraft F_Trägheit und die Reibkraft F_Reibung:

()

F_{W} = F_{T} + F_{R}

Anders als bei der STOKESschen Reibung () ist die Reibkraft jetzt aber vom Quadrat der Geschwindigkeit v abhängig:

()

F_{R} = c_{w} \cdot ρ \cdot A \cdot \frac{v^{2}}{2}

damit erhalten wir jetzt ein anderes Kräftegleichgewicht (vergl. mit ):

()

F_{W} = m \cdot \overset{\cdot \cdot}{s} + c_{w} \cdot ρ \cdot A \cdot \frac{v^{2}}{2}

Speziell für die senkrechte Bewegung unter Gravitationseinfluss gilt:

()

mit der Abkürzung

r = \frac{c_{w} \cdot ρ \cdot A}{2}

(Reibzahl) und beidseitiges dividieren durch m und umstellen nach

\overset{\cdot \cdot}{y}

()

Auch hier kann eine analytische Lösung dieser Differentialgleichung, die im nebenstehenden "step by step" ausführlich besprochen wird, angegeben werden. Wie Du sehen kannst, kann die Lösung einer komplizierteren Differentialgleichung sehr aufwändig werden. Darum ist immer zu überlegen, ob eine numerische Lösung vorteilhafter wäre.
Hier die Lösungen für die Geschwindigkeit und den Ort eines fallenden Objekts:

()

und

()

Beachte: Infolge der quadratischen Abhängigkeit der Reibungskraft von der Geschwindigkeit geht die Information über die Bewegungsrichtung (sign(v ≥ 0) = 1 bzw. sign(v ≥ 0) = -1 verloren. Deshalb muss stets auf das Richtungsvorzeichen getestet und dementsprechend die Integration zur Lösung der DGl. angepasst werden.
Letztlich bedeutet dies, dass es je nach Bewegungsrichtung unterschiedliche Lösungen gibt. Dies wird im "step by step"-Beitrag ausführlich behandelt. und geben nur die Lösungen für den senkrechten Fall an, wobei eine positive Anfangsgeschwindigkeit v₀ ≥ 0 nicht erlaubt ist!

worin

()

die Endgeschwindigkeit bei t → ∞ und

()

τ = - \sqrt{| \frac{m}{r \cdot g} |}

on/off

die Zeitkonstante des Systems Objekt - Medium bedeuten. Die physikalische Bedeutung der Endgeschwindigkeit v_∞ ist darin begründet, dass während des Falls die Verminderung der potentiellen Energie W_pot nicht mehr in einen Zuwachs an kinetischer Energie W_kin, also einen Zuwachs an Geschwindigkeit v umgewandelt wird, sondern gänzlich als Wärmeenergie in Erscheinung tritt. Gibt es aber keinen Geschwindigkeitszuwachs mehr, dann bedeutet dies, dass es keine Beschleunigung

\overset{\cdot \cdot}{y}

mehr gibt. Das vereinfacht , wenn wir die 1. Ableitung der Ortskoordinate

\overset{\cdot \cdot}{y}

durch die Endgeschwindigkeit v_∞ substituieren:

()

- m \cdot g = r \cdot {\dot{v}}_{\infty}^{2}

so dass durch einfaches Umstellen nach v_∞ folgt.

Um wieviel einfacher kann die Lösung des Falls unter NEWTONscher Reibung numerisch gelöst werden! Wie schon an anderer Stelle praktiziert, wird die Substitution

\overset{\cdot}{y} = v, \overset{\cdot \cdot}{y} = \overset{\cdot}{v}

in vorgenommen:

()

Mit dem Zeitquant Δt = 1/frameRate wird die rechentechnische Umsetzung der Geschwindigkeitsberechnung möglich. Frame für Frame wird aus dem Geschwindigkeitswert v_i-1 des vorherigen Frames ein neuer Geschwindigkeitswert v_i für den aktuellen Frame berechnet:

()

analog gilt für den Ort:

()

Aus Gründen der Zweckmäßigkeit lohnt es sich, das Geschwindigkeits-Quadrat in als Produkt aus Geschwindigkeit und Betrag der Geschwindigkeit zu schreiben (). So wird unter Beibehaltung des Vorzeichens, das ja die Richtungsinformation darstellt, das Geschwindigkeitsquadrat richtig berechnet!

()

Das Beispielprogramm vergleicht die Bewegung eines Objektes unter Einfluss der Strömungsreibung nach NEWTON, die zum einen analytisch zum anderen numerisch berechnet wurde. Beide Lösungen werden direkt gegenüber gestellt, wobei alle Parameter identisch sind.

Vertikales Ziehen des Geschwindigkeitspfeiles verändert die Startgeschwindigkeit beider Objekte. Ziehen des Schiebereglers "r/m" verändert das Reibungs-Masse-Verhältnis. Da hier die klassische Definition der Zeitkonstante nicht gilt, müssen die Zeitkonstante τ wie auch die Endgeschwindigkeit v_∞ separat berechnet werden.

Ergebnisdiskussion: Stärker als bei der STOKESschen Reibung wirkt die NEWTONsche Reibung bremsend auf bewegte Körper.

Im Vergleich der beiden Lösungsmethoden wird die Schwäche der einfachen numerischen Lösungsmethode deutlich. Im Bewegungsverlauf hinkt das numerisch berechnete Objekt dem analytisch berechneten hinterher. Was allerdings den Typus des Bewegungsverlaufs und das erreichen der Endgeschwindigkeit betrifft, sind beide Methoden gleichwertig!

Der Programmauszug in zeigt die beiden Lösungsmethoden im Vergleich. Aus ökonomischer Sicht wird der Vorzug der numerischen Lösung gegenüber der analytischen Lösung deutlich, auch wenn die Rechengenauigkeit zu wünschen übrig lässt. Auch hier verweise ich auf das Kapitel Einführung in die numerische Lösung von Differentialgleichungen, wo Methoden mit deutlich genaueren Resultaten besprochen werden.

Abb. Vergleich analytische - numerische Lösungsmethode

Fall unter Einfluss der Strömungsreibung

Der Hersteller eines Personenfallschirms (rund) gibt für sein Produkt folgende Werte an:

Basisdurchmesser	7,01 m
Masse	12 kg
Personengewicht	78 kg
Fallgeschwindigkeit	5,1 m/s

Nehmen wir an, dass Fallschirmspringer und Fallschirm zusammen eine Masse von m = 90 kg haben. Die Luftdichte beträgt ρ = 1,3 kg/m³. Als Strömungsbeiwert wird der einer konkaven Halbkugel mit einem c_w = 1,33 angenommen. Bei nicht geöffnetem Fallschirm wird eine Strömungsbeiwert von c_w = 1,0 angenommen. Unter diesen Annahmen beträgt die Endgeschwindigkeit

()

liegt also sehr nahe bei den Herstellerangaben!

Im Beispielprogramm springen zwei Fallschirmspringer aus einer Höhe von 100m ab. Der linke Fallschirmspringer kann seinen Fallschirm mit dem OPEN-Button öffnen (bzw. schließen, wenn ihm der Flug zu lange dauert). Der rechte hingegen hat das Pech, dass sein Fallschirm nicht öffnet, er also im freien Fall nach unten fliegt.
Der Fall eines Körpers unter NEWTONscher Reibung führt also zu einer Verlangsamung der Bewegung, indem potentielle Energie zu Lasten der kinetischen Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird.

Fall unter Einfluss des Auftriebs

Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass das Medium, in dem die Bewegung abläuft, nur vermittels seines Reibungseinflusses auf die Bewegung wirkt. In der Realität bedeutet dies aber die Vernachlässigung des Auftriebs. Solange das Medium gasförmig, wie z.B. Luft, ist und der sich bewegende Körper hinreichend Masse reich ist, hat dies kaum sichtbaren Einfluss auf die Bewegung. Anders, wenn Medium und Körper vergleichbare Dichten ρ aufweisen, dann darf der statische Auftrieb nicht mehr vernachlässigt werden.

Jeder Körper verdrängt dank seines Volumens V ein gleichgroßes Volumen des Mediums, in dem er sich befindet. Das Gewicht dieses verdrängten Volumens vermindert das Gewicht des verdrängenden Körpers, welches er im Vakuum hätte:

()

G = m_{K ö r p e r} \cdot g - m_{M e d i u m} \cdot g

Im Endeffekt entspricht dies aber einer verminderten Gravitationswirkung:

()

m_{K ö r p e r} \cdot g' = m_{K ö r p e r} \cdot g - m_{M e d i u m} \cdot g

Division auf beiden Seiten der Gleichung durch die Masse des Körpers m_Körper ergibt die effektive Erdbeschleunigungskonstant g':

()

g' = (1 - \frac{m_{M e d i u m}}{m_{K ö r p e r}}) \cdot g = (1 - \frac{ρ_{M e d i u m}}{ρ_{K ö r p e r}}) \cdot g

Werden die Gewichte des Körpers im Vakuum und des verdrängten Mediums durch ihre Dichten ρ zum Ausdruck gebracht - die Volumina sind ja gleich groß! - vereinfacht sich der Ausdruck weiter zum zweiten Teil der Gleichung. Die effektive Erdbeschleunigung ist also stets kleiner als die im Vakuum geltende. Ja, es kann sogar sein, dass sie negative Werte annimmt, dann steigt der Körper entgegen der Gravitation auf!

Wie wirkt sich der Auftrieb nun auf die Bewegung eines Körpers aus? Untersuchen wir die Auswirkung des Auftriebs auf den Fall unter Reibungseinfluss entsprechend . Im Unterschied zum Beispiel Fall unter Reibungseinfluss, teilen wir jetzt die Fallstrecke in zwei unterschiedliche Medien: Luft und Wasser. Luft hat eine Dichte von ρ_Luft=1,3 kg/m³ und Wasser eine Dichte von ρ_Wasser=1000 kg/m³. Während des Falls durch die Luft wird sich der Unterschied in der Erdbescheuligung kaum bemerkbar machen, wenn es sich um einen Probekörper wie einen Golfball oder einen Stein handelt. Anders im Wasser: Hat der Probekörper eine geringere Dichte als des Wasser wird er aufschwimmen, andernfalls untergehen, dabei sich aber langsamer als in Luft bewegen.

Für die Implementation ist eigentlich nur der Übergang zwischen den Medien herausfordernd. Solange sich der Probekörper in Gänze in einem der beiden Medien befindet, wirken die Gesetze des Falls unter Reibungseinfluss uneingeschränkt, sofern die unterschiedlichen Dichten der Medien beachtet werden.
Die Übergänge zwischen den Medien hingegen sollten kontinuierlich verlaufen. So können Instabilitäten, die auf eine sprunghafte Veränderung der effektiven Dichte und damit der effektiven Reibung bzw. effektiven Erdbeschleunigung vermieden werden. Dafür wird eine Gewichtung weight eingeführt, die entsprechend des y-Wertes, sofern er sich innerhalb des Tolereanz-Bereiches eines Balldurchmessers um den Medienübergang befindet:

()

w e i g h t = \frac{1}{d_{B a l l}} \cdot (y - y_{M e d i u m} + 0,5 \cdot d_{B a l l})

So ergibt sich dann die effektive Dichte im Übergang zu

()

ρ_{e f f} = w e i g h t \cdot ρ_{L u f t} + (1 - w e i g h t) \cdot ρ_{W a s s e r}

Im Beispielprogramm fällt ein kugelförmiger Körper in ein flüssiges Medium (Wasser). Dabei findet ein Übergang der Dichten der Medien statt. Dabei fällt der Körper zunächst durch ein gasförmiges Medium (Luft ρ = 1,3 kg/m³), um dann in Wasser (ρ = 1000 kg/m³) zu fallen. Dies hat Einfluss sowohl auf die Reibung, die wir hier als die NEWTONsche definieren wollen, als auch auf den Auftrieb.
Um die Wirkung des Auftriebs studieren zu können, kann die Dichte des fallenden Körpers mit dem Schieberegler verändert werden.

Ergebnisdiskussion: Liegt die Dichte des fallenden Körpers über der Dichte des Wassers sinkt der Körper zu Boden. Ist die Dichte aber kleiner, dann schwimmt der Körper auf. In dieser Konstellation ist ein unnatürlich lang anhaltendes Schwingen des Körpers am Medienübergang zu beobachten. Die Ursache hierfür dürfte sein, dass im natürlichen Vorgang Wellen an der Oberfläche des Mediums ausgelöst werde, deren Erzeugung ebenfalls Energie konsumiert, was letztlich zu einem schnelleren Ausschwingen führt. Für die praktische Anwendung wäre daher zu empfehlen, im Übergangsbereich eine größere Dämpfung zu verwenden.
Nach längerer Zeit kommt diese Schwingung aber auch zum Stillstand, dann ist am Grad des Eintauchens deutlich das Aufschwimmen in Abhängigkeit von der Körperdichte zu beobachten.

Symbol	Bedeutung
F_W	Wirkkraft [N]
F_R	Reibungskraft [N] ( bzw. )
F_T	Trägheitskraft [N] ()
G	Gewicht [N]
g	Erdbeschleunigungskonstante [m/s²]
m	Masse [kg]
c_w	Strömungsbeiwert
A	angeströmte Fläche [m²]
ρ	Dichte des strömenden Mediums [kg/m³]