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Innere Reibung - Reibung in Flüssigkeiten und Gasen

Fall eines Körpers unter dem Einfluss der NEWTONschen Reibung

Differentialgleichung mit Gravitationseinfluss - NEWTON

Untersuchen wir den Fall eines Körpers unter Einfluss der NEWTONschen Reibung. Das hier wirkende Kräftegleichgewicht unterscheidet sich vom Kräftegleichgewicht der STOKESschen Reibung durch die wirkende Reibungskraft.

Beginnen wir wieder mit dem allgemeinen Kräftegleichgewicht. Auf der ACTIO-Seite steht die Wirkkraft FWirk, die beim senkrechten Fall durch die Gravitation -m·g repräsentiert wird. Auf der rechten Seite die Trägheitskraft FTrägheit und die Reibkraft FReibung:
()
Formel

Anders als bei der STOKESschen Reibung () ist die Reibkraft jetzt aber vom Quadrat der Geschwindigkeit v abhängig:
()
Formel

damit erhalten wir jetzt ein anderes Kräftegleichgewicht (vergl. mit ):
()
Formel

Speziell für die senkrechte Bewegung unter Gravitationseinfluss gilt:
()
Formel
mit der Abkür­zung r = c w · ρ · A 2 (Reibzahl) und
beidseitiges dividieren durch m und umstellen nach y · ·
()
Formel

Auch hier kann eine analytische Lösung dieser Differentialgleichung, die im nebenstehenden "step by step" ausführlich besprochen wird, angegeben werden. Wie Du sehen kannst, kann die Lösung einer komplizierteren Differentialgleichung sehr aufwändig werden. Darum ist immer zu überlegen, ob eine numerische Lösung vorteilhafter wäre.
Hier die Lösungen für die Geschwindigkeit und den Ort eines fallenden Objekts:

()
Formel
step by step explanation
und
()
Formel
worin
()
Formel
die Endgeschwindigkeit bei   t → ∞   und
()
Formel
die Zeitkonstante des Systems Objekt - Medium bedeuten.
Geistesblitz
on/off

Um wieviel einfacher kann die Lösung des Falls unter NEWTONscher Reibung numerisch gelöst werden! Wie schon an anderer Stelle praktiziert wird die Substitution y · = v , y · · = v · in vorgenommen:
()
Formel

Mit dem Zeitquant Δt = 1/frameRate wird die rechen­technische Umsetzung der Geschwindigkeits­berechnung möglich. Frame für Frame wird aus dem Geschwindig­keitswert vi-1 des vorherigen Frames ein neuer Geschwindig­keitswert vi für den aktuellen Frame berechnet:

()
Formel

analog gilt für den Ort:
()
Formel

Aus Gründen der Zweckmäßigkeit lohnt es sich, das Geschwindigkeits-Quadrat in als Produkt aus Geschwindig­keit und Betrag der Geschwindig­keit zu schreiben (). So wird unter Beibehaltung des Vorzeichens, das ja die Richtungs­information darstellt, das Geschwindigkeits­quadrat richtig berechnet!

()
Formel

Das Beispiel­programm ver­gleicht die Bewegung eines Objektes unter Einfluss der Strömungs­reibung nach NEWTON, die zum einen analytisch zum anderen numerisch berechnet wurde. Beide Lösungen werden direkt gegenüber gestellt, wobei alle Parameter identisch sind.

Vertikales Ziehen des Geschwindig­keits­pfeiles verändert die Startgeschwindigkeit beider Objekte. Ziehen des Schiebe­reglers "r/m" verändert das Reibungs-Masse-Verhältnis. Da hier die klassische Definition der Zeit­konstante nicht gilt, müssen die Zeit­konstante τ wie auch die End­geschwindig­keit v separat berechnet werden.

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Ergebnisdiskussion: Stärker als bei der STOKESschen Reibung wirkt die NEWTONsche Reibung bremsend auf bewegte Körper.

Im Vergleich der beiden Lösungsmethoden wird die Schwäche der einfachen numerischen Lösungsmethode deutlich. Im Bewegungsverlauf hinkt das numerisch berechnete Objekt dem analytisch berechneten hinterher. Was allerdings den Typus des Bewegungsverlaufs und das erreichen der Endgeschwindigkeit betrifft, sind beide Methoden gleichwertig!


Der Programmauszug in zeigt die beiden Lösungsmethoden im Vergleich. Aus ökonomischer Sicht wird der Vorzug der numerischen Lösung gegenüber der analytischen Lösung deutlich, auch wenn die Rechengenauigkeit zu wünschen übrig lässt. Auch hier verweise ich auf das Kapitel Einführung in die numerische Lösung von Differentialgleichungen, wo Methoden mit deutlich genaueren Resultaten besprochen werden.



Abb. Vergleich analytische - numerische Lösungsmethode


Fall unter Einfluss der Strömungsreibung

Der Hersteller eines Personenfallschirms (rund) gibt für sein Produkt folgende Werte an:
Basisdurchmesser 7,01 m
Masse 12 kg
Personengewicht 78 kg
Fallgeschwindigkeit 5,1 m/s


Nehmen wir an, dass Fallschirmspringer und Fallschirm zusammen eine Masse von m = 90 kg90 kg haben. Die Luftdichte beträgt ρ = 1,3 kg/m³. Als Strömungsbeiwert wird der einer konkaven Halbkugel mit einem cw = 1,33 angenommen. Bei nicht geöffnetem Fallschirm wird eine Strömungsbeiwert von cw = 1,0 angenommen. Unter diesen Annahmen beträgt die Endgeschwindigkeit
()
Formel

liegt also sehr nahe bei den Herstellerangaben!

Im Beispielprogramm springen zwei Fallschirmspringer aus einer Höhe von 100 m ab. Der linke Fallschirmspringer kann seinen Fallschirm mit dem OPEN-Button öffnen (bzw. schließen, wenn ihm der Flug zu lange dauert). Der rechte hingegen hat das Pech, dass sein Fallschirm nicht öffnet, er also im freien Fall nach unten fliegt.
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