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Federn

Feder-Masse-Systeme mit zufälliger Anregung

Erweiterung der Differentialgleichung für stochastische Anregung

Im Fall eines Feder-Masse-Systeme mit zufälliger Anregung wird die erzwungene Schwingung nicht durch eine periodische Störung hervorgerufen, sondern z.B. durch das Laufen eines Rades auf unebenem Untergrund (). Wie Du leicht erkennen kannst, liegt praktisch die gleiche Situation, wie in gezeigt, vor. Die ganze Anordnung steht lediglich "auf dem Kopf". Folglich sehen die mathema­tischen Voraus­setzungen in beiden Fällen sehr ähnlich aus! Der feder­wirksame Weg - und damit die Federkraft FF - ergeben sich aus der Differenz der beiden Federorte: y und ys abzüglich der Ruhefederlänge l0 (Gl. )

()
Formel

Daraus folgt unmittelbar die Differentialgleichung:

()
Formel

Einrad

Abb. Einrad
Die weiteren Schritte erfolgen analog zu und und führen auf den Typ Differentialgleichung, den wir wieder mit Hilfe der numerischen Lösungsmethoden zu der gesuchten Zeitfunktion führen können:

()
Formel

Für die Implementierung des Wegprofils empfielt sich die Verwendung eines Arrays. Das Array in meiner Implementierung besteht aus einem 2-dimensionalen Vektor, der sowohl das Höhenprofil als y-Komponente wie auch die assoziierten Orte als x-Komponente speichert. In der Darstellung des Weges, aber auch bei der Berechnung der Störung ys werden die Stützstellen des Weges durch Geradenstücke verbunden, damit der Weg nicht als Stufenprofil erscheint (). Wobei die Variable StepSize den Abstand zwischen den Stützstellen angibt.

Der aktuelle Ort des Weges xs ist auch der aktuelle Ort des Rades, daher gilt x = xs.

()
Formel

Ist vx eine konstante Geschwindigkeit, dann ist die Bewegung gleichförmig. Damit kann der Ort des Rades xs stets durch das Produkt aus Geschwindigkeit vx und Zeit t berechnet werden.


Im Programmbeispiel hast Du die Möglichkeit, neben der Eigenfrequenz f0 und der Dämpfung δ des Feder-Masse-Systems auch zwischen einem zufällig berechnetem Wegprofil oder einer Rampe zu wählen. Der Einradfahrer kann als Figur oder als Drahtmodell dargestellt werden.
download processing
download p5.js
run program

Ergebnisdiskussion: Das Feder-Masse-System hat infolge seiner Eigenfrequenz filternde Eigenschaften. Auch wenn die Anregung nicht mehr periodisch ist (entweder sie ist zufällig oder sprungförmig), ist die schwingende Vertikal­bewegung des Fahrers zu beobachten. Für ein Fahrzeug wären solche Schwingungen sehr unangenehm, da sie dem Fahrer das Gefühl des Schlingerns vermitteln. Dem wirkt die Dämpfung des Systems entgegen. Betätigst Du den Schieberegler, wirst Du feststellen, dass bei kleiner Dämpfung die Schwingung viel stärker ausfällt, als bei großer Dämpfung. Aus diesem Grunde sind alle Kraftfahrzeuge mit einem Stoßdämpfer ausgerüstet, der meist parallel zur Federung angebracht ist (). Nun könntest Du denken: viel hilft viel. Aber das wäre ein Irrtum. Wird nämlich die Däpfung zu groß, verliert die Feder ihre Wirkung gänzlich und der Fahrer macht alle Unebenheiten der Straße 1:1 mit. Also, die goldene Mitte macht das Rennen!

Konstruktion und Berechnung des Einradfahrers

Um ein vollständiges Szenario aufzubauen, reicht es nicht aus, die Bewegung des Feder-Masse-Systems richtig zu modellieren, nein auch das Drumherum muss stimmen. In unserem Fall ist das die richtige Bewegung der Beine. Das setzt voraus, dass die Füße auf den Pedalen stehen und der Po auf dem Sattel. Und: Ober- und Unterschenkel müssen sich im Knie treffen!
Da sich der Sattel entsprechend des Feder-Masse-Systems bewegt, verbietet sich eine stereotype Beinbewegung. Es bleibt also nichts übrig, als die Beinbewegung im Zuge der Berechnung der Feder-Masse-Bewegung mit zu berechnen.

Meine Lösungsmethode geht von den bekannten Größen y1 - das ist der Ort des oberen Federendes - und y0 - das ist der Ort des unteren Federendes - aus. In beiden Fällen ist die x-Koordinate x = 0. Für die Beinbewegung ist aber der Pedalpunkt xP, yP von Bedeutung. Diese Koordinaten sind allerdings bei bekanntem Kurbelwinkel γ leicht zu berechnen:

()
Formel

Aus den bekannten Variablen y1 sowie xP und yP kann ein Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten α und β aufgestellt werden.
Stellen wir also zunächst einmal alle Bedingungen für die x- und y-Komponenten der einzelnen Körperteile zusammen.
Beginnen wir mit den Komponenten, die den Oberschenkel beschreiben. Mit y1 und x1 = 0 und der Oberschenkellänge lOs in Verbindung mit dem noch unbekannten Winkel α ergeben sich die Koordinaten des Knies xK, yK vom oberen Ende der Feder aus gesehen. Aber auch vom unteren Ende der Feder gesehen ergeben sich die Koordinaten des Knies, indem von xP und yP ausgehend in Verbindung mit der Länge des Unterschenkels lUs und dem noch unbekannten Winkel β die Koordinaten des Knies berechnet werden. Natürlich müssen die Kniekoordinaten beider Rechnungen identisch sein!
Zunächst die x-Koordinaten des Knies:

()
Formel

Einradfahrer

Abb. Einrad­fahrer
Also Gleichsetzen der xK-Koordinaten der beiden Gleichungen:

()
Formel

Auflösen nach sin(α):

()
Formel

Eine analoge Rechnung kann nun für die yK-Koordinate des Knies ausgeführt werden:

()
Formel

Gleichsetzen der yK-Koordinaten der beiden Gleichungen:

()
Formel

Sortieren wir die so um, dass auf der linken Seite die bekannten und auf der rechten Seite der Gleichung die unbekannten Größen zu finden sind:

()
Formel

Damit eine der beiden Unbekannten eliminiert werden kann, stellen wir so um, dass z.B. der Ausdruck cos(α) in eliminiert werden kann:
()
Formel

Geistesblitz
on/off


So enthält nur noch eine Unbekannte:

()
Formel

Ziel der folgenden Schritte ist die Freistellung des Winkels β. Ist dieser Winkel bekannt, kann aus einfach auf den anderen Winkel α geschlossen werde.

Zunächst muss durch Separierung der Wurzel in und anschließender Quadrierung beider Seiten der Gleichung die Wurzel beseitigt. Schließlich wird auch noch der Bruch aufgehoben:

()
Formel

Auflösen der Binome ergibt

()
Formel

Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung erfolgt eine weitere Vereinfachung:

()
Formel

Jetzt wird so umsortiert, dass die verbliebene Unbekannte auf der rechten Seite allein steht:

()
Formel

Jetzt haben wir zwar alle Ausdrücke, die den Winkel β beinhalten, auf der rechten Seite von zusammen­gefasst, jedoch sind sie nur als Argumente je einer sin- bzw. cos-Funktion vertreten. Wie wir diese vereinheitlichen zeigt der Geistesblitz.
Geistesblitz
on/off

Auf angewandt:

()
Formel

Der arctan gibt einen Winkel zurück, in unserem Fall ist es ein offset zum Winkel β. Er gibt den Winkel an, der durch die Linie Pedalpunkt xP, yP ↔ oberes Federende y1 und die Vertikale x = 0 eingeschlossen wird.

Schließlich folgt aus :

()
Formel

und damit auch durch Einsetzen in :

()
Formel

Nunmehr sind alle Parameter für die synchrone Beinbewegung für eine Anwendung der Matrix-Befehle gegeben.

Der Programmauszug in zeigt die Implemen­tierungs­schritte für die vom Pedalwinkel γ abhängige Dar­stellung der Beine.



Abb. Implemen­tierung des Einrad­fahrers