9. Kapitel

Bewegung im erdnahen Raum

Kometen

Nehmen wir an, ein Komet nähert sich der Erde aus den Tiefen des Weltalls und dringt in die Erdatmosphäre ein. Wie wir bereits wissen entsteht während der Bewegung im erdnahen Raum durch die Reibung des Kometen an den Luftmolekülen eine hohe Verlustleistung, die aus der Bewegungsenergie des Kometen gespeist wird. Wegen der sehr hohen Geschwindigkeiten von einigen 1.000 bis 500.000 km/h entstehen dabei Verlustleistungen im hohen GW-Bereich! Diese Leistung wird in Wärme umgesetzt, was meist zur Zerstörung des Kometen führt. Aber nicht immer wie das Beispiel des Tunguska-Meteors lehrt.

Solche Ereignisse und ihren Ausgang zu erklären, wollen wir hier unternehmen. Dabei nehmen wir an, dass sich ein Komet der Erde nähert und schon sehr nah an die Erde heran gekommen ist, so dass die Erde keine sichtbare Krümmung aufweist und wir die idealisierte Bewegung nach dem schrägen Wurf unter Reibungseinfluss behandeln können. Deshalb können wir auch die Lösung für die Bewegungsgleichung aus diesem Kapitel übernehmen. Was wir allerdings beachten müssen, ist die Tatsache, das die Luftdichte nicht mehr konstant ist, sondern sich entsprechend mit der Höhe über dem Erdboden verändert.

Etwas Wärmelehre

Allen Kometen ist gemeinsam, dass sie aus den Tiefen des Weltalls kommen und deshalb sehr niedrigen Temperaturen ausgesetzt waren, bevor sie in die Erdatmosphäre eindringen. Während des Kontaktes mit der Atmosphäre spielen sich im Kometen zwei Prozesse ab. Im ersten Prozess wird der Komet durch Energiezufuhr (Wärmemenge Q) erhitzt, bis seine Oberfläche die Schelz- bzw. Verdampfungstemperatur erreicht. Bei dieser Temperatur findet ein Phasenübergang vom festen in den flüssigen bzw. gasförmigen Zustand des Materials statt. Der Phasenübergang erfordert auch Energie, die nur dazu aufgewandt wird, die molekularen bzw. atomaren Bindungen innerhalb des erwärmenten Materials zu lösen. Eine weitere Erwärmung findet während des Phasenübergangs so lange nicht statt, bis das gesamte Material den Aggregatzustand gewechselt hat ().
Die Abhängigkeit der Temperatur des erwärmten Körpers von der zugeführten Wärmemenge Q wird durch die Materialkonstante c, spezifische Wärme genannt, vermittelt. Sie gibt an, welche Energiemenge notwendig aufzuwenden ist, um 1 kg des Materials um 1 °K (KELVIN ist die SI-Einheit der Temperatur) zu erwärmen ().

()

Abb. Temperatur über Energiezufuhr von Wassereis

Bei genauerer Betrachtung stellt sich heraus, dass die spezifische Wärme doch nicht so konstant ist. Hier seien das Wassereis bzw. das Wasser selbst als Beispiel aufgeführt:

Unseren Zwecken sollte es aber genügen, einen festen Wert je Aggragatzustand zu verwenden.

Für den Schmelzvorgang gibt es auch eine Konstante, die spezifische Schmelzenthalpie h_fus (enthalpie of fusion). Sie gibt an, wieviel Energie H_fus einem Körper zugführt werden muss, damit 1 kg des Materials seinen Aggregatzustand wechselt:

()

Für den Übergang Wassereis - Wasser gilt:

Trotz der unterschiedlichen Bezeichnungen und physikalischen Bedeutungen für die Schmelzwärme (Enthalpie) H_fus bzw. Wärmemenge Q sind beide Größen Energien und werden in J (JOULE) gemessen!

Temperaturentwicklung eines Kometen

Zunächst sei darauf verwiesen, dass es unterschiedliche Kometenarten gibt. Das für uns wichtigste Unterscheidungsmerkmal ist die Materialzusammensetzung: es gibt Gesteinskometen bzw. Nickel-Eisen-Kometen, die kompakt in Erscheinung treten und es gibt sog. Eiskometen, die zu großen Teile aus Wassereis bestehen. Natürlich können Eiskometen auch Einschlüsse von Gesteinen aufweisen.

Gesteinskometen Im Gegensatz zu den Eiskometen erwärmt sich das Gestein beim Eintritt in die Atmosphäre bis zur Weißglut ehe der Komet zu verdampfen beginnt. Sicherlich ist die Erwärmung des Kometen kein homogener Vorgang. Zuerst werden die äußeren Schichten erhitzt ehe auch der Kern des Kometen erwärmt wird. Diesen Vorgang der Wärmeleitung wollen wir hier außer Acht lassen und annehmen, dass die zugeführte Energie den Kometen als Ganzes erwärmt. Dann geht in die Gesamtmasse m des Kometen ein. Somit kann der Temperaturzuwachs direkt berechnet werden. Mit der Anfangstemperatur T₀ = 3 °K, das entspricht der mittleren Temperatur des Weltraumes, ist die absolute Temperatur des Kometen berechenbar.
Dazu stellen wir nach dem differentiellen Temperaturzuwachs Δθ um:

()

Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit v, Reibung ρ·A/2 und Verlustleistung P_V wurde schon im Abschnitt Energieverlust durch Strömungsreibung () besprochen. Der Zusammenhang wird so verändert, dass die Dichte ρ nunmehr abhängig von der Höhe h ist:

()

Maßgeblich für die Erwärmung ist der Energiezuwachs dQ, der sich aus der momentanen Verlustleistung P_V multipliziert mit der Einwirkungsdauer dt errechnet:

()

woraus schließlich die aktuelle Maximaltemperatur θ (Maximaltemperatur deshalb, weil nicht die gesamte Verlustenergie den Kometen erhitzt) durch numerische Integration mit dem Anfangswert θ₀ = T₀ bestimmt werden kann:

()
Eiskometen
Bei den Eiskometen liegen die Verhältnisse etwas anders. Hier kommt bei Erreichen der Schmelztemperatur ein Schmelzvorgang hinzu. Damit verbunden ist ein Masseverlust, der wiederum auf die Bewegungsberechnung Einfluss hat.
Wir wollen annehmen, dass der Komet schichtweise abschmilzt. Dabei wird ein differentiell kleines Volumen der Oberfläche erwärmt und geschmolzen. Ist es einmal geschmolzen, wird es durch die Strömung fort gerissen und vermindert dadurch die Gesamtmasse des Kometen.
Zunächst, die zugeführte Reibungsenergie dW teilt sich auf in das Aufheizen bis auf die Schmelztemperatur dQ und das Schmelzen dH:

()

Entsprechend und ergibt sich daraus der Energieaufwand $d W = P_{V} \cdot d t$ für das Erwärmen und Abschmelzen des Masseelementes dm:

()

daher beträgt der Masseverlust bei gegebener Verlustleistung P_V

()

woraus die aktuelle Masse m wiederum durch numerische Integration gewonnen werden kann:

()

Mit dieser aktualisierten Masse können nun sowohl die Bewegungsgleichungen als auch der aktuelle Durchmesser des Kometen angepasst werden. Aus der Masse einer Kugel

()

kann leicht auf den aktuellen Durchmesser geschlossen werden:

()

Zur Implementierung wäre zu sagen, dass wegen der größen Unterschiede in den Abmessungen von Komet und Erde auf eine maßstabsgerechte Darstellung des Kometen verzichtet wurde. Unabhängig vom wirklichen Durchmesser wird der Komet zu Beginn des Experimentes mit einer festen Anzahl von Pixeln dargestellt. Während beim Steinkometen infolge der Tempereturerhöhung keine Verringerung des dargestellten Durchmessers erfolgt, wird der Eiskomet infolge des Abschmelzens immer kleiner. Zur Veranschaulichung der Temperaturerhöhung wird beim Steinkometen die Farbe verändert.
Im Gegensatz zur obigen Erläuterung wird im Beispielprogramm nicht die Masse, sondern der Durchmesser infolge des Abschmelzens verändert. Die aktuelle Masse wird dann aufgrund des geänderten Durchmessers berechnet.

Im Beispielprogramm kann gewählt werden zwischen einem Stein- und einem Eiskometen. Beider Startdurchmesser d₀ kann mittels Scrollbar zwischen 10 und 100 m verändert werden, auch wenn diese Änderung nicht sichtbar gemacht wird. Weiterhin können die Startposition x₀ bzw. y₀, die Startgeschwindigkeit v₀ und -richtung α₀ des Kometen verändert werden (Komet bzw. Pfeilspitze des Vektors mit der Maus bewegen).
Im oberen Fensterbereich werden die aktuelle Position x(t) bzw. y(t) und Geschwindigkeit v(t) sowie die aktuelle Verlustleistung P_V, die aktuelle Temperatur T beim Steinkometen bzw. Durchmesser d/Masse m beim Eiskometen und die aktuelle Luftdichte ρ(h) angezeigt.

Ergebnisdiskussion: Infolge der hohen Geschwindigkeiten ist die Wirkung der Erdanziehung auf die Kometenbahn kaum wahrnehmbar. Erst bei relativ kleinen Geschwindigkeiten v < 1000 km/h ist ein merkbarer Effekt zu beobachten. Während der Steinkomet hier als nur glühendes Objekt, das seinen Durchmesser nicht verändert (was in der Praxis natürlich dar Fall wäre) dargestellt wird, kann der Massenverlust des Eiskometen deutlich beobachtet werden. Durch gezielte Änderungen an den Parametern kannst Du die meisten der in der Natur auftretenden Effekte überzeugend simulieren.

Achtung!
Die hier angestellten Betrachtungen behandeln das Thema Temperatur und Wärme natürlich nicht erschöpfend. Effekte wie Wärmetransport innerhalb des Kometen, Wärmestrahlung oder Wärmeableitung an die umgebende Atmosphäre sind hierbei überhaupt nicht berücksichtigt worden. In erster Näherung könnte eine Aufteilung der entstehenden Reibungsverlustleistung P_V auf den Kometen und die übrigen Effekte anteilig erfolgen, z.B. indem nur 10% P_V zur Wärmentwicklung am Kometen beitragen. Aber damit ist das Problem nicht grundsätzlich gelöst. Denn auch bei der Temperaturentwicklung gibt es einen exponentiellen Verlauf bei der Wärmeakkumulation, die sich durch Ausgleichseffekte infolge von Strahlungswärme und Wärmeabgabe an die Umgebung erklärt. In zweiter Näherung kann dies durch eine Zeitkonstante beim (exponentiellen) Temperaturaufbau berücksichtigt werden.

Hier ein Vorschlag, wie in 2. Näherung mit den bisher nicht berücksichtigten physikalischen Wärmeeffekten umgegangen werden könnte:

()

zeigt eine Modifikation von . Mit dem Faktor η < 1 wird die anteilige Leistungszuführung zum Kometen berücksichtigt. Der Faktor ε ≤ 1 sorgt für ein limitiertes Wachstum der Temperatur am Kometen. Beide Werte haben keinen realen Bezug zur Wirklichkeit! Sie können nur durch Erproben ermittelt werden. Als geeignet haben sich η = 0,1 und ε = 0.99 erwiesen.

Symbol	Bedeutung
Q	Wärmemenge [J]
c	spezifische Wärme [J/kgK]
θ	Temperatur [K]
H / h	Schmelzenergie [J], Schmelzenthalpie [J/kg]
m	Masse [kg]
P	Leistung [W]
dt	Zeitquant, Dauer eines Bildwechsels [s]
Δt	differentieller Temperaturzuwachs [K] (hier NICHT Zeit!)
T / T₀	absolute Temperatur [K]
V	Volumen [m³]
d	Durchmesser [m]