Advanced Games Physics

Einfluss der äußeren Reibung auf die Bewegung von Objekten

Reibung zwischen Festkörpern

Bewegung unter Einfluss der äußeren Reibung

Ein eindrucksvolles Beispiel für die Wechselwirkung von Haft- und Gleitreibung bietet die Bewegung auf der schiefen Ebene:

Festkörperreibung
Abb. Bewegung auf der schiefen Ebene unter Reibungseinfluss


Um den Einfluss der äußeren Reibung auf die Bewegung von Objekten zu untersuchen stellen wir uns vor, dass ein Quader der Masse m auf dem höchsten Punkt einer schiefen Ebene, die eine Neigung α aufweist, ruht.
Zunächst sei angenommen, dass seine Startgeschwindigkeit v0s = 0 ist. So ist klar, dass die Haftreibung wirkt. Die, damit der Körper in Bewegung kommen kann, überwunden werden muss.
Sehen wir uns die wirkenden Kräfte an. Einzige ursächliche Kraft ist das Gewicht G des Köpers. Entsprechend der Neigung der Schräge splittet sich diese Kraft in eine senkrecht zur Unterlage wirkende Kraft, die Normalkraft FN und die Hangabtriebskraft Fs. Die Hangabtriebskraft erhält ihren Namen Fs, weil sie in Richtung des Weges s orientiert ist.
Damit eine Bewegung möglich wird, muss die Haftreibungskraft überwunden werden. D.h. es muss gelten:
()
Formel
Da der Neigungswinkel α der schiefen Ebene auch als Winkel zwischen Gewichtsvektor und Normalenvektor erscheint, können die Normalenkraft FN und die Hangabtriebskraft Fs leicht mittels der trigonometrischen Beziehungen berechnet werden:
()
Formel
entsprechend bedeutet dies:
()
Formel
Das Gewicht G kürzt sich auf beiden Seiten der Ungleichung heraus, so dass ein Umstellung nach dem Haftreibungskoeffizienten μH ergibt:
()
Formel
Daraus ergibt sich schließlich der Winkel der schiefen Ebene, ab dem eine Bewegung des Körpers infolge seines Eigengewichtes möglich wird. Dieser Winkel wird kritischer Winkel genannt:

()
Formel

Andererseits bietet die Anwendung von eine Möglichkeit zur Bestimmung von Haftreibungskoeffizienten unbekannter Materialpaarungen, indem der kritische Winkel auf einer frei neigbaren schiefen Ebene gemessen wird.

Kräftebillanz

Wie wir weiter oben gesehen haben, folgen die unterschiedlichen Reibungskräfte dem gleichen Typ von Beziehung zwischen Normalenkraft FN und Reibkraft FR (siehe bis ). Darum genügt es, Bewegungen unter dem Einfluss von Haft- und Gleitreibung exemplarisch zu berechnen. Die Bewegung bei Rollreibung wird den gleichen Bewegungsgesetzen folgen!

Für die Lösung unserer Aufgabe weist uns wieder das 3. NEWTON'sche Axiom den Weg: Zu jeder Kraft existiert eine gleich große Gegenkraft! Allgemein ausgedrückt lautet der Satz

Actio = Reactio


Wir ordnen also alle beteiligten Kräfte in dieses Schema ein. Unter Actio werden alle auslösenden Kräfte (das sind die Kräfte, die Energie bereit stellen - also die Hangabtriebskraft Fs) und unter Reactio die verbrauchenden Kräfte (also die Trägheitskraft FT und die Reibkraft FR) eingeordnet.

()
Formel
Diese Vorgehensweise wollen wir uns von nun an zum Prinzip machen.

Wie wir das bereits bei der Untersuchung der reibungsfreien Bewegung auf der schiefen Ebene getan haben, wählen wir auch hier ein spezielles Koordinatensystem. Dieses hat nur eine Achse, den Weg s, der durch die Oberfläche der schiefen Ebene zwangsweise festgelegt ist. Wir berechnen also wieder s(t) und können dann mit den bereits beschriebenen Mitteln eine geeignete Darstellung für den sich bewegenden Körper wählen.
Übersetzen wir die Kräfte in ihre Kenngrößen, so wie wir das bereits bei der Aufstellung der Bewegungsgleichung des Freien Falls auf der Grundlage des 2. Newtonschen Axioms getan haben, erhalten wir die Differentialgleichung mit der Variablen s:

()
Formel


gibt die Realität aber nur zum Teil richtig wider. Wir müssen nämlich berücksichtigen, dass die Reibkraft immer der äußeren Kraft Fs entgegen wirkt. Wir wollen ja auch den Fall beschreiben, dass die Bewegung u.U. ihre Richtung umkehrt. Welche Bewegungsgröße gibt an, in welcher Richtung sich das Objekt bewegt? Richtig: die Geschwindigkeit, um genau zu sein, das Vorzeichen der Geschwindigkeit sign(v)! Die Funktion sign( ) gibt nur das Vorzeichen einer Variablen zurück. In unserem Fall trifft sie die Unterscheidung zwischen vorwärts bzw. rückwärts der Bewegung. Darum modifizieren wir und erhalten so

()
Formel


Schauen wir uns genauer an, so stellen wir fest, dass die Masse m aus der Gleichung gekürzt werden kann, also die Bewegung von der Masse unabhängig ist. Darin gleicht die Bewegung unter Reibungseinfluss der des freien Falls:

()
Formel


Ordnen und umstellen der Differentialgleichung nach der höchsten Ableitung:

()
Formel


Ausklammern der Erdbeschleunigungskonstante g macht die Verwandtschaft dieser Differentialgleichung zu der des Freien Falls deutlich:
()
Formel


Bewegung unter Einfluss der Festkörperreibung

Dank der Verwandtschaft der Differentialgleichung für die Bewegung auf der schiefen Ebene unter Reibungseinfluss mit der des Freien Falls können wir die Lösung der Differentialgleichung mit einigen Modifikationen übernehmen. So sah die Differenzialgleichung für den freien Fall () aus:
()
Formel

freilich haben wir es hier mit unterschiedlichen Koordinaten zu tun, aber das Prinzip ist das gleiche: in und in stehen die zweiten Ableitungen der Ortskoordinate Konstanten gegenüber. Beim Freien Fall ist dies die Erd­beschleunigungs­konstante g () hier der komplexere Ausdruck

()
Formel

Ersetzen wir die Erdbeschleunigungskonstante des freien Falls -g nun durch den Ausdruck g' aus , so können wir mit der Substitution s · t = v t die Lösung analog zum Freien Fall übernehmen:
()
Formel


Ergebnisdisskusion
  • Auch unter Reibungseinfluss gelten für die beschleunigte Bewegung eines Körpers auf der schiefen Ebene die gleichen Bewegungsgesetze wie ohne Berücksichtigung der Reibung.
  • Die Ersatzbeschleunigung g' () ist stets kleiner als die Erdbeschleunigung g. Sie hängt sowohl vom Neigungswinkel α als auch vom Gleitreibungskoeffizienten μG ab. Die Größe des Haftreibungskoeffizienten μH hat keine Auswirkung auf die Beschleunigung sondern nur auf den kritischen Winkel αkrit.
  • zeigt bei kleinen Neigungswinkeln α der schiefen Ebene ein ungewöhnliches Verhalten, dass mit den Alltagserfahrungen nicht in Übereinstimmung gebracht werden kann. Der Ausdruck für die Ersatzerdbeschleunigung kann negative Werte annehmen, so dass eine Bewegung "bergauf" stattfinden könnte. Siehe dazu auch .
    Hier kommt die Haftreibung ins Spiel! Wir wissen, dass, damit eine Bewegung auf der schiefen Ebene überhaupt möglich wird, der Neigungswinkel den kritische Winkel übersteigen muss (verbotener Bereich in , dunkelgrün hinterlegt). Wir wissen aber auch, dass der Haftreibungskoeffizient immer größer als der Gleitreibungskoeffizient sein muss. Damit ist immer sicher gestellt, dass der Bereich negativer Beschleunigung immer durch den Bereich, in dem der kritische Winkel nicht überschritten wird, abgedeckt ist. Dies ist bei der programmtechnischen Umsetzung unbedingt zu berücksichtigen!

Winkelabhängigkeit der Beschleunigung
Abb. Winkelabhängigkeit der Beschleunigung


Der Programmauszug in zeigt die Wechselwirkung von Haft- und Gleitreibung:


Abb. Programmausschnitt - Berechnung der Bewegung


Im Programmbeispiel können drei Parameter per Schieberegler gewählt werden:
1. Gleitreibungs- und Haftreibungskoeffizient. Dabei ist zu beachten, dass der Gleitreibungskoeffizient stets einen kleineren Wert als der Haftreibungskoeffizient haben muss!
2. Startgeschwindigkeit. Hier kann eine Aufwärts- aber auch Abwärtsbewegung gewählt werden.

Beachte die Abhängigkeit der Gleitgeschwindigkeit von der Wahl des Gleitreibungskoeffizienten (Zeitangabe!).
download processing
download p5.js
run program
Achtung! besondere Beachtung verdient der Fall, dass sich ein gleitendes oder rollendes Objekt auf einer horizontalen Ebene bewegt, also α = 0 ist. Ein solcher Fall tritt ein, wenn z.B. ein Ball von der schiefen Ebene auf eine horizontale Ebene aufrollt. Dann nämlich ist, obwohl g' = 0 ist, die durch die Reibung bedingte Gegenkraft μG·g·cos(α) ≠ 0 und kann je nach Richtung der Bewegung auch negativ werden. Beides ist auf einer nichtgeneigten Ebene in der Realität unmöglich! Die Schwierigkeit bei der Implementierung in einem Programm besteht darin, dass durch die Zeitdiskretisierung der Punkt des Stillstandes kaum getroffen werden kann. Die Folge ist ein fortlaufender Wechsel zwischen positiver und negativer Richtung bei, wenn auch kleinen, Geschwindigkeiten.
Es muss also vom Programm gewährleistet werden, dass bei kleinen Geschwindigkeiten der Einfluss der Reibkraft verhindert wird. Kriterium hierfür ist der Anteil der Reibkraft an der Geschwindigkeitsänderung je Zeitintervall. Das entspricht genau der Unschärfe, die von der Zeitdiskretisierung, durch die Größe des Zeitquants dt bestimmt, hervor gerufen wird.
Damit erhalten wir eine allgemein gültige Entscheidungsanweisung für die Wahl des Vorzeichens sign:
()
sign = { 1 ; v > 0 0 ; | v | < μ G · cos(α) · g · d t 1 ; v < 0
Zusätzlich empfiehlt es sich im zweiten Fall (sign = 0), die Geschwindigkeit v = 0 zu setzen, um die meist auftretenden Restfehler bei der Geschwindigkeitsberechnung zu eliminieren.



Abb. Programmausschnitt - Vorzeichenbestimmung für die Wirkung der Reibkraft

Im Programmbeispiel wird aus optischen Gründen mit einem rollenden Ball gearbeitet. Es können zwei Parameter per Schieberegler gewählt werden:
1. der Rollreibungskoeffizient. Dabei ist zu beachten, dass der Wert des Rollreibungskoeffizienten so gewählt wird, dass stets μ R < tan α erfüllt sein muss! Andernfalls würde eine Bewegung infolge der Reibung einsetzen, was aber unsinnig ist! Um dies zu vermeiden ist die Objektgeschwindigkeit v = 0 zu setzen.
2. Startgeschwindigkeit. Hier kann eine Aufwärts- aber auch Abwärtsbewegung gewählt werden.

Beachte die Abhängigkeit des Signums von der Wahl der Anfangsgeschwindigkeit bzw. am Ende der Bewegung auf der Horizontalen. Über die Bewegung des Balls in der Ecke (also dem Übergang zwischen benachbarten Segmenten) findest Du im Kapitel Bewegung auf Polygonen mit konkaven Ecken näheres.
download p5.js
run program


Ergebnisdiskussion: Beim Übergang von der Schräge auf die Horizontale erfolgt eine Übergabe der Bewegungsparameter. Dabei wird die Geschwindigkeit v von der Schräge in die Horizontale übernommen. Dies ist möglich, weil die Lösung der Bewegungsgleichungen mittels numerischer Integration (EULER-CAUCHY) erfolgt. Dann ist die Endgeschwindigkeit der Schräge gleich der Anfangsgeschwindigkeit auf der Horizontalen. Da sich der Winkel α beim Übergang ändert, ändern sich auch die effektive Beschleunigung g' und die Darstellung der Bewegung.
Auf der Horizontalen ist g' = 0, daher wirkt nur der bremsende Einfluss der Rollreibung. Was endlich dazu führt, dass der Ball zum Stillstand kommt (sign = 0 und v = 0). Unbenommen davon ist die Behandlung des Richtungswechsels im Fall einer negativen Anfangsgeschwindigkeit. Hier rollt der Ball zunächst die Schräge hinauf, um dann infolge der Erdbeschleunigung wieder hinab zu rollen. Dabei kann auch die Situation sign = 0 und v = 0 eintreten. Das bleibt aber ohne Wirkung auf die gesamte Bewegung, weil sich die Gravitationswirkung auf der Schräge - anders als auf der Horizontalen - durchsetzt.