9. Kapitel

Anwendung des Rückstoßprinzips auf den Raketenantrieb

Bewegungsgleichung der Rakete

Eine der wichtigsten Anwendungen der Impulserhaltung ist das Rückstoßprinzip. Hier wollen wir uns mit der Anwendung des Rückstoßprinzips auf den Raketenantrieb befassen. Dieser Antrieb zeichnet sich dadurch aus, dass er zur Fortbewegung einer Masse keinen festen Angriffspunkt oder eine Auftrieb vermittelnde Atmosphäre benötigt.

Den notwendigen Treibstoffvorrat, der sich über die Dauer des aktiven Antriebs stetig verringert, führt die Rakete mit sich. Und hier liegt die Besonderheit in der mathematischen Behandlung. Anders als bisher ist die Masse, die beschleunigt werden muss, nicht mehr konstant!
Die Masse einer Rakete setzt sich aus der Leermasse m₀, wozu auch die Masse der Nutzlast zu rechnen ist, und der zeitlich veränderlichen Treibstoffmasse m_T(t) zusammen.

()

Nehmen wir an, dass die Rakete vor dem Start mit der Treibstoffmenge m_T₀ aufgetankt war und der Antrieb einen konstanten Massestrom q an Treibstoff benötigt, dann verringert sich der Treibstoffvorrat linear mit der Zeit:

()

Der Impulserhaltungssatz sagt aus, dass die Geschwindigkeitszunahme dv dem Masseverlust dm infolge der Treibstoffverbrennung proportional ist. Dabei ist die Wirksamkeit des Antriebs sehr stark von der Geschwindigkeit v_Gas des Verbrennungsgases abhängig. Dadurch, dass die Gesamtmasse m(t) der Rakete mit der Zeit immer geringer wird, nimmt der Geschwindigkeitszuwachs dv mit der Zeit zu.

Beginnen wir mit dem Impulserhaltungssatz

()

Mit der oben gemachten Annahme, dass der Treibstoffverbrauch konstant ist, gilt

()

Abb. Einflussgrößen beim Raketenantrieb
Quelle: NASA public domain

(Gemeinfrei wikimedia)

So vereinfacht sich zu

()

dividieren wir beide Seiten durch dt, erhalten wir den Ausdruck für eine Kraft - das ist die Antriebskraft hervorgerufen durch den Gasstrom

()

Mit dieser Kenntnis können wir nun entsprechend das Kräftegleichgewicht aufstellen:

()

Mit und den entsprechenden Ausdrücken für die Gravitationskraft F_G und die Trägheitskraft F_T folgt

()

woraus die Differentialgleichung für die Bewegung der Rakete abgeleitet wird:

()

Sofern die Rakete senkrecht startet, muss der Antrieb die Erdanziehungskraft überwinden. Da die Rakete zu Beginn ihrer Reise am schwersten ist, muss das Produkt aus Gasgeschwindigkeit und Massestrom v_Gas·q der Bedingung

()

genügen, sonst kann die Rakete nicht abheben.

Im Programmbeispiel wird der Start einer SATURN V simuliert. Wir beobachten das Startverfahren bis zum Ausbrennen der ersten Stufe, die nach Brennschluss zu Boden stürzt. Mit der SATURN V wurden die Mondlandeunternehmungen der NASA gestartet.

Die Mission hatte laut NASA folgende Parameter:

Gesamtmasse	m = 2,95·10⁶ kg
Leermasse	m₀ = 1,00·10⁶ kg
Brenndauer	T = 160 s
Gasgeschwindigkeit	v_Gas = 2,22·10³ m/s
Massestrom	q = 15·10³ kg/s
Schub	F_Antrieb = 33·10⁶ N

Ergebnisdiskussion: Für die SATURN V beträgt die Startbeschleunigung:

Damit wird die kritische Startbeschleunigung überschritten und die Rakete kann abheben!
Der weitere Flugverlauf ist dadurch bestimmt, dass die Rakete nicht gleichmäßig beschleunigt, sondern mit linear wachsender Beschleunigung fliegt!

Schräger Raketenstart unter Reibungseinfluss

Eine schräg startende Rakete ist mehreren Einflüssen unterworfen:

Dem Schub durch den Antrieb entgegengesetzt wirkt die Strömungsreibung,
die Massenträgheit muss überwunden werden und
die Gravitation wirkt der vertikalen Komponente des Antriebs entgegen.

Dies drückt in vektorieller Schreibweise aus. Alle Kräfte greifen im Schwerpunkt S der Rakete an. Folglich gibt es kein Drehmoment, das den Neigungswinkel

γ

der Rakete ändern könnte.

()

Da wir für die Aufstellung der Differentialgleichungen die Komponenten der Bewegung benötigen, werden die maßgeblichen Kräfte über den Neigungswinkel

γ

der Rakete in ihre x- bzw. y-Komponenten zerlegt. Mit q wird wieder der Massestrom des Verbrennungsgases und mit r die Reibzahl der Strömungsreibung bezeichnet.

Im Ergebnis unserer Überlegungen entsteht wieder ein verkoppeltes System von Differentialgleichungen, für jede Komponente eine Differentialgleichung:

Abb. Einflussgrößen beim schrägen Flug

()

Für den Einfluss der Strömungsreibung verwenden wir die Herleitung aus dem Kapitel Schräger Wurf unter Reibungseinfluss.
Bemerkenswert hieran ist, dass auf den actio-Seiten der Gleichungen und ungleiche Kräfte stehen. Während die x-Komponente den dem Neigungswinkel entsprechenden Schub voll abbekommt, wird die anteilige Kraft der y-Komponente um die Gravitation G vermindert. Das hat zur Folge, dass Raktenneigung und Neigung der Flugbahn nicht übereinstimmen.

Division durch die Raketenmasse in beiden Gleichungen führt in bekannter Weise auf ein DGl-System der Beschleunigungen, das wie und zeigen, zu der numerischen Lösung der DGln. führen. Wegen der Einfachheit der Funktionen kann hier wieder das EULER-CAUCHY-Verfahren angewendet werden.

()

worin

v_{g e s_{i}} = \sqrt{\overset{2}{v_{x_{i}}} + \overset{2}{v_{y_{i}}}}

bedeutet.

Im Verlauf des Fluges wird die Beschleunigung der Rakete infolge der abnehmenden Masse immer größer, damit kommt die aktuelle Bahnneigung der idealen Bahn immer näher. Letztlich kommt es zu einem seitlichen Versatz beider Bahnen. Bis zum Brennschluss behält die Rakete ihren Startneigungswinkel

γ

bei, da keine Drehmomente wirken. Erst nach Brennschluss führt die äußere Form der Rakete zu aerodynamischen Effekten, die die Rakete immer in Flugrichtung ausrichten. Dies ist im Beispielprogramm auch zu beobachten.

Das Beispielprogramm zeigt den Flugverlauf einer Rakete, die unter Einfluss der Strömungsreibung schräg gestartet wird. der Neigungswinkel ist über den Schieberegler im Bereich von

0 \leq γ \leq 45 °

einstellbar. Dabei zeigen die graue Linie den idealen Flugverlauf und die grüne den realen Flugverlauf an.
Unsere Beispiel-Rakete ist ein recht kleines Exemplar mit einer Höhe von 1 m und einem Startgewicht von 150 kg. Auch die Gasgeschwindigkeit ist mit 300 m/s bescheiden, ebenso der Massenstrom mit 10 kg/s. Diese Parameter wurden mit Absicht so gewählt, um die Effekte beim schrägen Start unter Einfluss der Strömungsreibung anschaulich zu machen. Damit die Rakete bei dem gewählten Maßstab überhaupt zu sehen ist, wurde sie 200-fach vergrößert!

Ergebnisdiskussion: Wie das Beispielprogramm zeigt, hat die Flugbahn einer geneigt startenden Rakete gegenüber der idealen Flugbahn eine deutliche Abweichung. Diese ist umso größer je kleiner die y-Komponente der Schubkraft gegenüber der Gravitation G ist. Das bedeutet auch, dass ein zu flacher Startwinkel u.U. ein Abheben der Rakete unmöglich machen kann!

Raketengleichung von Ziolkowski

Der russische Raumfahrtpionier Konstantin Eduardowitsch Ziolkowski befasste sich bereits 1903 mit technischen Problemen der Raumfahrt. Ihm war klar, dass nur Rückstoßantriebe in der Lage sein könnten, bemannte Fahrzeuge in das All zu transportieren. Bei diesen Überlegungen fand er die nach ihm benannte Raketengleichung. Diese berechnet aus dem Verhältnis von Startmasse m₀ + m_T0 zu Leermasse m₀ multipliziert mit der Gasgeschwindigkeit v_Gas die maximal erreichbare Endgeschwindigkeit des Flugkörpers.

Die Berechnung der Endgeschwindigkeit beginnt wieder mit dem Impulserhaltungssatz:

()

Da wir uns jetzt für die Geschwindigkeit v interessieren, lösen wir die Gleichung nach dv auf:

()

Zur Erinnerung:

nun wird auf beiden Seiten der Gleichung die Integration ausgeführt:

()

on/off

und erhalten nach der Integration:

()

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten suchen wir uns eine geeignete Anfangsbedingung aus. Im vorliegenden Fall stellen wir einen Bezug zwischen der vollgetankten Rakete, die die Masse m₀ + m_T0 hat und der Startgeschwindigkeit v₀ her:

()

Bei einstufigen Raketen ist die Startgeschwindigkeit v₀ = 0. Aber bei mehrstufigen Raketen gilt immer die zu letzt erreichte Geschwindigkeit als Startgeschwindigkeit der neuen Stufe!

Mit der Anfangsbedingung

v (t = 0) = v_{0}

folgt aus

()

Durch Umstellen erhalten wir die Integrationskonstante

()

Und damit ergibt sich jetzt eine Gleichung zur Geschwindigkeitsbestimmung in Bezug auf die aktuelle Masse der Rakete:

()

Zusammenfassen der Logarithmen

()

Und daraus folgt schließlich die Endgeschwindigkeit v_end. Diese wird erreicht, wenn der gesamte Treibstoff aufgebraucht ist und nur noch die Leermasse verbleibt:

()

Für das nebenstehende Beispiel des senkrechten Starts einer SATURN V ergibt sich mit den obigen Daten rechnerisch eine Endgeschwindigkeit v_end = 2401 m/s. In der Simulation erreicht die erste Stufe bei Brennschluss ca. v_end = 2100 m/s. Nicht ganz getroffen, aber doch als Beleg für die Richtigkeit der Simulation zu sehen.

Achtung! berücksichtigt die Gravitationswirkung nicht, da der Raketenantrieb auch außerhalb des Schwerefeldes von Himmelskörpern arbeiten kann. Im Schwerefeld eines Planeten vermindert sich die Endgeschwindigkeit v_end um den Betrag g·t_end, wobei g die Anziehungsbeschleunigung des betreffenden Planeten und die Zeit t_end die Zeit bis zum Brennschluss ist.

Fluggeschwindigkeit und -höhe einer Rakete

Aus kann eine analytische Formel für die Geschwindigkeit einer Rakete während des Antriebs abgeleitet werden.
Gehen wir davon aus, dass der Volumenstrom q bis zum Brennschluss konstant ist, dann kann die aktuelle Masse der Rakete m(t) aus der Startmasse m_Start = m₀ + m_0T und dem Massenstrom q berechnet werden (siehe auch und ):

()

wobei

In einsetzen ergibt unter Berücksichtigung der Gravitation:

()

vereinfachen führt auf die Momentangeschwindigkeit v(t) der Rakete während des Antriebs:

()

Bei Brennschluss ist der gesamte Treibstoff aufgebraucht und die aktuelle Masse m(t) = m₀ entspricht der Leermasse. Die Brenndauer beträgt also:

()

woraus die Endgeschwindigkeit v_end bei Brennschluss unter Berücksichtigung der Gravitation folgt:

()

Um die Steighöhe zu berechnen, muss noch einmal über die Zeit integriert werden (bei diesen Aufgaben handelt es sich ebenfalls um die Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung, deren Lösung bekanntlich eine zweifache Integration erforderlich macht!).

()

Das Integral darf in die Summer zweier Integrale aufgespaltet ...

()

Die Integration des Logarithmus naturalis erfolgt durch partielle Integration und liefert im speziellen Fall

um diese Form zu erreichen, muss unser Integral durch eine geeignete Substitution

angepasst werden und liefert schließlich die gesuchte Lösung:

... und getrennt integriert werden:

()

on/off

Nun muss noch, wie üblich, der Wert der Integrationskonstanten C bestimmt werden. Wir definieren die Starthöhe y₀ als die Höhe y(t=0). Mit t=0 vereinfacht sich sehr stark:

()

Auflösen nach C ...

()

... und Einsetzen in

()

Nur noch vereinfachen und wir erhalten die endgültige Formel für die analytische Berechnung der Flughöhe bis zum Brennschluss:

()

Unter Anwendung von kann nun die Höhe bei Brennschluss y_end ermittelt werden:

()

sollte uns irgendwie bekannt vorkommen? Sie erinnert an die Lösung der Differentialgleichung des Freien Falls für eine Fallhöhe h = 0 (). Allerdings tritt an Stelle der Startgeschwindigkeit v₀ die Ausströmgeschwindigkeit des Gasstrahls v_Gas - und es gibt die Erweiterung um den letzten Summanden. Gerade dieser Summand ist es, der den theoretisch unbegrenzten Geschwindigkeitszuwachs einer Rakete begründet!

Flugdauer bis zum Erreichen einer bestimmten Höhe

Nicht immer reicht das Wissen über die maximale Steighöhe oder die Dauer bis zum Erreichen dieser Höhe aus. Soll z.B. das Rendezvous einer Transportrakete mit einer Raumstation geplant werden, ist das Wissen um den richtigen Startzeitpunkt des Transporters unabdingbar. Die Raumstation befindet sich in einem Orbit mit exakt bekannten Bahndaten, daher ist die Bestimmung des Standortes der Raumstation zu jedem Zeitpunkt möglich. Ist die Flugdauer des Transporters bekannt, kann der Startzeitpunkt durch Rückrechnen der Positionen von Raumstation und Transporter beim Rendezvous ermittelt werden. Aber dazu ist die Flugdauer des Transporters bis zu diesem Zeitpunkt erforderlich!

Eine exakte analytische Lösung lässt sich nicht angeben, die die Zusammenhänge nichtlinear sind. Darum wird hier eine Lösung mittels Fixpunkt-Iteration angegeben. Aus der expliziten Gleichung () für die Bewegung der Rakete kann eine Fixpunkt-Gleichung abgeleitet werden, indem die gesamte Gleichung nach dem einfachsten Summanden v_Gas·t umgestellt und anschließend nach t aufgelöst wird. Damit lautet die Fixpunkt-Gleichung:

()

Mit h_t wird die erwünschte Höhe der Rakete bezeichnet. Dabei wird angenommen, dass die Starthöhe y₀ = 0 ist.

Nun muss noch geprüft werden, ob die so gefundene Fixpunkt-Gleichung konvergiert. Um den Konvergenzbereich zu bestimmen, wird die Fixpunkt-Gleichung einmal nach der Zeit t differenziert:

()

Hierbei zeigt sich, dass die Kontraktionskonstante λ < 1 für alle 0 < t < t_Brenn ist. Bei einem Startwert t₀ = 0 wird bereits nach ca. 60 Iterationen eine Genauigkeit besser 10^-8 erreicht. Wobei t_Brenn die Brenndauer der Rakete nach ist.

Bei dieser Aufgabe geht es um die Bestimmung der Flugdauer einer Rakete vom Start bis zum Erreichen einer bestimmten Höhe. Die Flughöhe h_t als Funktion der Zeit t kann aus der Raketengleichung von ZIOLKOWSKI () hergeleitet werden. Im Beispiel wird die Zeit bis zum Erreichen einer wählbaren Zielhöhe geschätzt und mit der tatsächlichen Flugdauer verglichen.

Symbol	Bedeutung
t	Zeit [s]
dt	Zeitquant, Bildwechseldauer [s]
m	Masse [kg]
v	Geschwindigkeit [m/s]
v_Gas	Ausström-, Gasgeschwindigkeit [m/s]
q	Massestrom [kg/s]
T	Brenndauer [s]
g	Erdanziehungskonstante [m/s²]
F	Kraft [N]
G	Gewichtskraft [N]
h	Flughöhe [m]
C	Integrationskonstante
λ	Kontraktionskonstante