9. Kapitel

Erforschung ferner Himmelskörper - die Rosetta-Mission

Die Erforschung ferner Himmelskörper, wie z.B. die Rosetta-Mission, erbringt neue Erkenntnisse über den Kosmos. Sie diente der Erforschung des Kometen Tschurjumow-Gerassimenko. Zitat ESA: "Tschurjumow-Gerassimenko hat gemeinsam mit Rosetta im August 2015 im Abstand von 1,2432 AE (193 Millionen Kilometern) den sonnennächsten Punkt seiner Umlaufbahn erreicht. Am 4. Februar 2015 wurde der Orbit Rosettas so verändert, dass die Sonde am 14. Februar die Kometenoberfläche in nur 6 km Abstand überfliegen konnte...". Nach Abschluss der zahlreichen Experimente wurde das Rosetta-Modul gezielt auf dem Kometen zum Absturz gebracht.
Diese letzte Phase der Mission wollen wir hier simulieren. Von Interesse ist dabei der unelastische Stoß beim Zusammenprall sowie die Folgen für die Eigenrotation des Kometen nach dem Stoß. Der dezentrale Aufprall der Sonde bewirkt einen zusätzlichen Drehimpuls. Für eine realistische Darstellung ist es wichtig, den Kometen als ein Polygon zu behandeln.
Der Komet Tschurjumow-Gerassimenko (kurz Tschuri) hat die folgenden Eigenschaften:

Abmessungen	4 x 3,5 x 3,5	km³
Masse	10¹³	kg
Dichte	0,533	g/cm³
Dauer Eigenrotation	12,7614	h
Bahngeschwindigkeit	33,51	km/s

und das Rosetta-Modul (Rosetta):

Abmessungen	2,8 x 2,1 x 2,0	m³
Masse	165	kg
Aufprallgeschwindigkeit	0,9	m/s

Das hier zu untersuchende 2D-Szenarium betrifft die Bewegungen des Kometen Tschuri und des Rosetta-Moduls vor und nach dem Zusammenstoß beider Objekte. Es sei voraus geschickt, dass wegen des geringen Gewichts, der geringen Größe und der geringen Aufprallgeschwindigkeit des Rosetta-Moduls kaum beobachtbare Veränderungen an der Bewegung des Kometen nach dem Stoß zu erwarten sind. Deshalb habe ich die Möglichkeit eines Zusammenpralls mit einem vergleichbar schweren Meteor in Betracht gezogen. All dies begründet die Darstellung (und Behandlung) des stoßenden Objektes (Rosetta oder Meteor) als Kreis bzw. Kugel.

Im Augenblick des Zusammenstoßes bewegt sich Tschuri mit der Geschwindigkeit

{\vec{v}}_{1}

und dreht sich mit der Drehgeschwindigkeit

{\vec{ω}}_{1}

um seinen Schwerpunkt

\vec{S}

. Hingegen fliegt das stoßende Objekt mit der Geschwindigkeit

{\vec{v}}_{2}

. Da alle Bewegungsgrößen vektoriell angegeben werden, sind Beträge und Richtungen der Bewegungsgrößen bekannt.

Wie von der Bewegungsberechnung eines dezentral angestoßen Stabes bekannt ist, müssen wir die Impulserhaltung und die Drehimpulserhaltung den weiteren Betrachtungen zugrunde legen.

Abb. Rosetta-Mission: Zusammenprall beim gezielten Absturz

Für die translatorische Bewegung gilt:

()

und für die rotatorische:

()

Die Bewegungsgrößen nach dem Stoß sind, wie üblich, durch ein Hochkomma (') gekennzeichnet. Du wunderst Dich, dass auch das Trägheitsmoment J' nach dem Stoß verändert ist? Ja, da wir es hier mit einem unelastischen Stoß zu tun haben, vereinen sich die beiden am Stoß beteiligten Massen. Das hat zur Folge, dass

sich der Schwerpunkt $\vec{S}$ zu $\vec{S'}$ verschiebt (wir nehmen an, dass die stoßende Masse m₂ am Stoßort in Gänze erhalten bleibt) und
das Trägheitsmoment J einerseits wegen der Verschiebung des Schwerpunktes, andererseits aber durch die Massenvergrößerung zu J' vergrößerte wird.

Befassen wir uns zunächst mit der Verschiebung des Schwerpunktes. Ähnlich wie bei einer Wippe kann auch hier durch Verschiebung des Schwerpunktes auf einer Verbindungslinie vom bisherigen Schwerpunkt

\vec{S}

zum Touchpunkt

\vec{T_{P}}

ein neuer Gleichgewichtszustand der beteiligten Massen herbeigeführt werden. Der neue Schwerpunkt

\vec{S'}

wird im Verhältnis der neu hinzugekommenen Masse m₂ zur Gesamtmasse (m₁ + m₂) gefunden:

()

wobei genau diese Verbindungslinie entlang des Vektors

{\vec{X}}_{L}

()

verläuft.

Die Berechnung des neuen Trägheitsmomentes J' bezieht sich auf die Verschiebung des Schwerpunktes der Kometen. Hier wird nach dem Satz von STEINER vorgegangen. Dabei werden sowohl das bisherige Trägheitsmoment des Kometen J als auch das neu hinzugekommene Trägheitsmoment der Masse m₂ additiv vereint:

()

Abb. Nach dem Aufprall

Jetzt sind alle Einflussgrößen für die Berechnung der Drehimpulse L gegeben. Die Drehimpulse vor dem Stoß ergeben sich aus den Kreuzprodukten der jeweiligen Geschwindigkeitsvektoren

{\vec{v}}_{1}

bzw.

{\vec{v}}_{2}

mit den Abstandsvektoren

{\vec{X}}_{L}

()

Nach dem Stoß gelten die geänderten Werte für die (gemeinsame) Geschwindigkeit

\vec{v'}

, den neuen Schwerpunkt

\vec{S'}

und daraus folgend den neuen Abstandsvektor

{\vec{X'}}_{L}

. So lautet der gemeinsame Drehimpuls L' nach dem Stoß:

()

Nun haben wir die zwei Gleichungen gefunden, die wir nach den gesuchten Bewegungsgrößen nach dem Stoß auflösen können. Aus folgt:

()

und aus :

()

Ausgangspunkt für eine Programm technische Implementierung ist die Generierung einer zum Image des Kometen Tschuri passende Kontur und die Bestimmung des Massenträgheitsmomentes aus den gegebenen Parametern. Die Konturerzeugung mittels Polygonen erfolgt zweckmäßiger Weise mit dem Programm Konturerfassung, das neben den Koordinaten des Flächenschwerpunktes S(x, y) auch das Flächenträgheitsmoment J_A berechnet und in einem File gemeinsam mit den Konturdaten speichert. Bleibt noch die Erweiterung des Flächenträgheitsmomentes J_A zum Massenträgheitsmoment J. Diese Umwandlung ist problematisch, da sie einen Scheiben förmigen Aufbau des Polygons voraussetzt. Das ist in unserem Beispiel natürlich eine starke Vereinfachung der Realität. Dann aber ist

()

wobei d die Dicke und ρ die Dichte des Kometen sind.

Das Beispielprogramm simuliert die letzte Phase der Rosetta-Mission, den gezielten Sturz auf den Kometen Tschuri. Dem Nutzer steht es frei, diese Phase mit dem Images der beteiligten Objekte auszuführen oder als die geometrischen Figuren Polygon und Kreis. Die Auswahl triffst Du durch Betätigung des Buttons shape. In diesem Modus werden auch einige der wichtigsten Parameter angezeigt. Zudem wird die Stoßsituation detailliert dargestellt, indem alle Bewegungen im Stoßmoment angehalten und erst nach Betätigung des Buttons continue fortzgesetzt werden.
Wichtig zu wissen: Rosetta wird wegen der besseren Sichtbarkeit doppelt so groß dargestellt wie in der Realität.

Zum Zwecke einer detailierten Untersuchung der Bewegung nach dem Stoß können sowohl der Ausgangsort der stoßenden Objekte (Rosetta oder Meteor) als auch deren Anfangsgeschwindigkeit per drag'n drop verändert werden.

Da das Rosetta-Modul vergleichsweise sehr leicht ist, kannst Du den Versuch auch mit einem Meteor, dessen Masse ca. 50% der Masse von Tschuri beträgt, wiederholen, um so die Bewegungsabläufe besser beurteilen zu können. Tschuri dreht SICH innerhalb von T = 12,7 h einmal um sich selbst, das ist im Beispiel kaum wahrnehmbar. Hingegen wird die translatorische Geschwindigkeit mit 50 m/s als sehr stark verlangsamt, aber sichtbar, angenommen.

Ergebnisdiskussion: Prallt das Fliegengewicht Rosetta auf den Kometen Tschuri hat das nahezu keine Auswirkungen auf die Bewegung des Kometen. Anders, wenn das Gewicht des stoßenden Himmelskörpers in die gleiche Größenordnung wie das des Kometen kommt. Dann ist eine sichtbare translatorische aber auch eine rotatorische Bewegung zu beobachten. Da wir den Zusammenmprall als nicht elastisch ansehen, verschmelzen beide Objekte im Zusammenprall zu einem Ombjekt. Dieses Konglomerat hat infolge des Massenzuwachses einen veränderten Schwerpunkt und ein verändertes Trägheitsmoment gegenüber den Ausgangswerten von Tschuri. In der Konturdarstellung ist dies deutlich zu sehen, dass der neue Schwerpunkt (rotes Kreuz) gegenüber dem ursprünglichen Schwerpunkt (blaues Kreuz) verschoben ist. Der neue Schwerpunkt bildet die freie Achse, um die sich das zusammengesetzte Objekt dreht.

Symbol	Bedeutung
φ	Drehwinkel [°] oder [rad]
ω	Winkelgeschwindigkeit [°/s] oder [rad/s]
v	Radialgeschwindigkeit [m/s]
m	Masse [kg]
J	Massenträgheitsmoment [kgm²]
L	Drehimpuls [kgm²/s]
t	Zeit [s]
ρ	Dichte [kg/m³]
d	Dicke [m]