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Spezialfälle von Feder-Masse-Systemen

Nichtfixierter Feder-Masse-Kontakt

Ein nichtfixierter Feder-Masse-Kontakt liegt vor, wenn Feder und Masse nicht unlösbar miteinander verbunden sind. Dies sind die am häufigsten auftretenden Spezialfälle von Feder-Masse-Systemen, sie bilden die Grundlage für viele Effekte, wie das Abprallen von Objekten von federnden Untergründen (z.B. der Springer auf einem Trampolin) oder das Losschnellen von Objekten (z.B. Pfeil und Sehne).

In wird die prinzipielle Anordnung gezeigt. Die nichtfixierte Masse mK liegt im Ruhezustand auf einer Feder mit der Federkonstanten n auf (linke Anordnung). Da die reale Feder aber selbst über eine Masse, die ihr aber fest zugeordnet ist, verfügt, kann die Feder an sich schon Schwingungen ausführen. Dieses Verhalten kannst Du an jeder realen Feder beobachten. Natürlich wird diese, der Feder eigenen Masse mF, in der Regel kleiner sein, als die Masse des eigentlichen Objektes.
Weil die Masse mK nicht fest mit der Feder verbunden ist, kann diese Masse fallend auf die Feder stürzen, oder durch eine vorgespannte Feder über die Federlänge hinaus bewegt werden (rechte Anordnung).
Es gibt also verschiedene Bewegungsphasen, in denen sich schwingende Zustände und reine Translation der Masse mK abwechseln. Wegen der unterschiedlich großen Massen (Objekt bzw. Federmasse) gibt es auch noch Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen.

Nichtfixe Feder-Masse-Anordnung

Abb. Nichtfixe Feder-Masse-Anordnung

Für die weitere Behandlung des Themas wollen wir zwei Einschränkungen machen, die uns das Leben erleichtern bzw. deren Behandlung uns zur Zeit noch nicht möglich ist:
  1. bewegt sich die Masse unabhängig von der Feder, dann gelten die Gesetze des Freien Falls. Wir berücksichtigen also nicht die Strömungsverluste bei der Bewegung der Masse.

  2. wenn die Masse nach dem freien Fall wieder auf die massebehaftete (!) Feder trifft, wird der Impulserhaltungssatz (Stoßgesetze) außer Acht gelassen. Alle Geschwindigkeiten werden ausschließlich entsprechend der geltenden DGl. berechnet!


zeigt die unterschiedlichen Bewegungsphasen der nichtfixierten Masse und der Feder.
Zu Beginn der Phase I fällt die Masse auf die entspannte Feder (Ruhefederlänge l01) oder liegt bereits auf ihr auf und wird durch die Gravitation nach unten gezogen. Da nun beide Massen, die frei bewegliche Masse mK und die Federmasse mF, gemeinsam wirken, hat das schwingende System eine entsprechend tiefe Eigenfrequenz. Die Schwerkraft presst die freie Masse auf die Feder, so dass beide Elemente die gleiche Bewegung ausführen. Das Ende der Phase I wird eingeleitet, wenn die Ortskoordinaten des oberen Federendes yF bzw. der Masse yK die Ruhefederlänge überschreiten. Denn dann kehrt die Federkraft ihre Wirkung um und bremst die Feder ab. Die Feder kann die freie Masse also nicht weiter beschleunigen!
Zu Beginn der Phase II ist die Frage, ob sich die freie Masse schneller als die gebundene Federmasse bewegt. Ist dies der Fall, trennt sich die freie Masse von der Feder. Die freie Masse bewegt sich nach den Gesetzen des Freien Falls, während die Feder im Verbund mit ihrer Masse in einer höherfrequenten Schwingung ausklingt. Wenn sich aber die freie Masse nicht schneller als die gebundene Masse der Feder bewegt, dann sitzt gravitationsbedingt die freie Masse weiterhin auf der Feder auf und setzt ihre tieffrequente Bewgung gemeinsam mit der Feder fort. Phase II wird beendet, wenn die Kugel nach ihrem freien Fall wieder auf die Feder aufsetzt.
Bewegungsphasen der nichtverbundenen Feder-Masse-Anordnung

Abb. Bewegungsphasen der nichtverbundenen Feder-Masse-Anordnung

Bedenken wir, dass die Feder nunmehr selber eine Masse mF besitzt, dann wird sich die Ruhefederlänge l0 unter dem Einfluss der Gravitation (bei senkrechter Aufstellung) auf l01 verringern (). Da sich die Anordnung der Feder während des gesamten Experimentes nicht verändern wird, ist l01 von nun an die Federlänge für die unbelastete Feder.
()
Formel

Mit wird der Übergang von Phase I zu Phase II durch das Überschreiten der Ortskoordinaten yF bzw. yK der Ruhefederlänge l01 eingeleitet:

()
Formel

Wohingegen der Übergang von Phase II zu Phase I erreicht ist, wenn entsprechend die Ortskoordinate yK der freien Masse die aktuelle Federposition yF unterschreitet:

()
Formel

Für die Bewegungsabläufe werden die Differentialgleichungen für das Feder-Masse-Reibungssystem (a) bzw. für den Freien Fall (b) zugrunde gelegt. Welche der DGln. gelten, entscheiden die Bewegungsphasen.
(a)
Formel
(b)
Formel

Die beiden Differentialgleichungen gelten für alle auftretenden Schwingfälle. Lediglich die Größe der schwingenden Masse muss angepasst werden:
()
Formel

Wie wir gesehen haben, ist die Modellierung der Bewegungsverläufe durch Differentialgleichungen trivial. Mehr Aufwand erfordert das Ermitteln der Bewegungsphasen. Hierüber soll der folgende Ablaufplan Auskunft geben.
Mit den zwei boolschen Variablen TOUCH (Masse liegt auf der Feder auf) und FREE (Masse bewegt sich unabhängig von der Feder) werden die Phasen gesteuert. Die Bedingung für das Setzen von TOUCH ist, dass die Höhe der Masse nach dem Freien Fall die Höhe der Feder erreicht oder unterschreitet (Ende der Phase II). Die notwendige Bedingung für FREE ist, dass die Feder/Masse die Ruhefederlänge überschreiten (Ende der Phase I). Allerdings unter der Voraussetzung, dass zuvor TOUCH gesetzt war. Die Bedingung für das Überschreiten der Ruhefederlänge ist allerdings logisch mit der Bedingung, dass FREE nicht gesetzt ist, verbunden. So kann der Zeitpunkt des Wechsels von der Phase I zur Phase II genau bestimmt werden. Dies ist für die Parameterübergabe (Ort und Geschwindigkeit) von der Schwingungs-DGl an die Freie-Fall-DGl notwendig!
Auch am Ende der Phase II findet ein Parameteraustausch statt, dann, wenn die Masse nach dem Freien Fall wieder auf der Feder landet, werden die Parameter der Freien-Fall-DGl. an die Schwingungs-DGl. übergeben.
Beachte: Die Parameteraustausche erfolgen ohne Rücksicht auf die Impulserhaltung!

PAP der nichtverbundenen Feder-Masse-Anordnung

Abb. PAP der nichtverbundenen Feder-Masse-Anordnung

Und hier die entsprechenden Programmzeilen:



Abb. Auswertung der Phasen


Das Beispielprogramm zeigt eine auf eine Feder aufgelegte Masse. Diese Masse (hier als Kugel dargestellt) kann jederzeit mit der Maus bewegt werden. Dabei ist zu beobachten, dass ein Herabziehen der Kugel zu einem Zusammenpressen der Feder führt. Das Ziehen über die Ruhefederlänge hinaus führt hingegen zu einem Abheben der Kugel.
Im oberen Feld wird die Zeitfunktion angezeigt; die blaue Linie zeigt die Kugelbewegung, die grüne Linie die Federbewegung. Mit dem Pause-Button kann die aktuelle Zeitfunktion eingefroren werden.

download processing
download p5.js
run program
Ergebnisdiskussion: Nach Programmstart stellt sich infolge der höheren Gesamtmasse mF + mK schwingend ein neues Gleichgewicht ein. Die Schwingfrequenz ist wegen der hohen Gesamtmasse relativ niedrig. Da die potentielle bzw. kinetische Energie der freien Masse infolge der Dämpfung stets geringer wird, wird die ursprünglich Höhe der freien Masse nie wieder erreicht, ein Loslösen der Masse von der Feder beim Rückschwingen ist also ausgeschlossen. Der Bewegungsverlauf erfolgt genau so, wie das von einem verbundenen Feder-Masse-System bekannt ist.
Wird jedoch die Masse abgehoben oder die Feder zusammengepresst, ist die potentielle Energie, entweder der Masse oder die der Feder größer und es kommt zu einer Loslösung der freien Masse beim Rückschwingen. Jetzt ist zu beobachten, dass die Feder (sie hat ja einen eigene Masse mF) mit einer höheren Frequenz weiterschwingt, während die freie Masse den Gesetzen des Freien Falls folgt. Dieses Verhalten ist so lange zu beobachten, bis die überschüssige Energie durch die Dämpfung aufgebraucht ist, und die freien Masse nicht mehr abheben kann.

Vorgespannte Federn

Um die Federkraft bei kleinen zur Verfügung stehenden Federwegen zu erhöhen, werden Federn vorgespannt. D.h. eine Feder der Ruhelänge l0 wird auf die Länge l1 < l0 zusammen gepresst (analoges gilt natürlich auch bei einer vorgespannten Dehnung der Feder!). Federwege > l1 werden durch technische Maßnahmen (Begrenzer) verhindert ().
Die Folge der Vrspannung ist, dass sobald die Feder durch eine äußere Kraft F unter den Wert < l1 gedrückt wird, die Kraft F so groß sein muss, als wenn sie die Feder aus der Ruhefederlänge l0 heraus zusammendrücken würde:
()
Formel
Vorgespannte Feder

Abb. Vorgespannte Feder
Also wirkt bereits bei einer ersten Berührung (d.h. einem Federweg y = l1) eine Kraft von
()
Formel,
was ja auch beabsichtigt ist.

Das Programmbeispiel greift die Aufgabe der Nichtverbundenen Massen auf. Allerdings mit dem Unterschied, dass der Übergang von der Feder­bewegung zum Freien Fall und umgekehrt nicht erst bei voll entspannter Feder y = l0 sondern bereits bei y = l1 erfolgt. Mit dem Griff links der Feder kannst Du den Einsatz des Begrenzers, also die Feder­vor­spannung beeinflussen.
download processing
download p5.js
run program
Die Wirkung der Vorspannung kann demonstriert werden, wenn Du die Kugel leicht auf die Feder aufsetzt, dann nur ein kleines Stück nach unten drückst und loslässt. An der Höhe des Kugelfluges siehst Du die Wirkung einer starken Federkraft. Im Vergleich dazu solltest Du den Begrenzer auf die entspannte Feder einstellen und den Versuch wiederholen.

Ergebisdiskussion: Auch wenn die Lösung der Aufgabe auf den ersten Blick der Lösung der Nichtverbundenen Massen gleicht, gibt es doch einen gravierenden Unterschied. Aus der gleich zu Beginn des Zusammenpressens der Feder wirkenden starken Federkraft resultiert eine starke Beschleunigung. Das hat zur Folge, dass die wohlbekannten Ungenauigkeiten bei der Erkennen der Übergange von einem zum anderen Bewegungszustand aufgrund der Zeitdiskretisierung starke Schwankungen der rückprallenden Kugel verursachen. Daher ist es zweckmäßig, die Zeitincremente dt deutlich zu verkleinern. Im Programmbeispiel wird 1/16 des üblichen Increments gewählt, um so ein unmotiviertes Prellen bei kleinen Werten von y zu verhindern.