12. Kapitel

Analytische Lösung von Differentialgleichungen

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Eine analytische Lösung von Differentialgleichungen bedeutet, dass das Ergebnis der Lösung eine Formel ist, die das zeitliche Verhalten des durch die Differentialgleichung charakterisierte System beschreibt. Dabei können nachträglich Rahmenbedingungen (wie z.B. Startgeschwindigkeit oder -ort eines Objektes) konkretisiert werden. Im Gegensatz dazu steht die numerische Lösung, die für gegebnene konkrete Rahmenbedingungen Zahlenwerte liefert. Diese beschreiben eine Bewegung für die gegebenen konkreten Rahmenbedingungen. In der Theorie der Differentialgleichungen (DGl) werden inhomogene und homogene Differentialgleichungen unterschieden. In der Regel wird eine Differentialgleichung so aufgeschrieben, dass auf der einen Seite der Gleichung alle Ableitungen der gesuchten Variablen in absteigender Ordnung (Anzahl der Ableitungen) sortiert aufgeführt werden. Terme, die diese Variable in beliebiger Form nicht enthalten, werden auf der anderen Seite notiert. Im Beispiel () befinden sich die Ableitungen der Variablen auf der linken Seite, alle anderen Ausdrücke auf der rechten.

Zur Einordnung sei vorweg geschickt, dass hier nur Differentialgleichungen max. 2. Ordnung, 1. Grades mit konstanten Koeffizienten betrachtet werden sollen. Der Grad einer DGl wird durch die größte auftretente Potenz der Variablen bestimmt.

Eine inhomogene DGl liegt vor, wenn der Ausdruck auf der rechten Seite e(t) ≠ 0 ist:

()

mit e(t) wird eine zeitabhängige oder auch konstante Störung des Systems bezeichnet. Zum Beispiel wäre die sinusförmige Anregung im Kapitel Feder-Masse-System mit periodischer Anregung eine Zeit abhängige Störung des Feder-Masse-Systems. Oder als Beispiel für eine konstante Störung wäre das Feder-Masse-System unter Gravitationseinfluss anzuführen.

Homogen ist dann im Gegenschluss eine DGl, wenn e(t) = 0 ist:

()

Diese DGl beschreibt ein System, dass sich selbst überlassen, also ungestört, ist. Damit medelliert die homogene DGl das Eigenverhalten des Systems. In den für unsere Zwecke wichtigen Anwendungsfällen wird wohl die inhomogene Differentialgleichung am häufigsten anzutreffen sein, aber auch der homogene Fall hat seine Berechtigung - umso mehr, als die Lösung der homogenen DGl oftmals die Voraussetzung für die Lösung der inhomogenen DGl ist.

Neben der Ordnung einer DGl, die sich an der höchsten Ableitung der DGl orientiert, gibt es noch den Begriff des Grades einer DGl, der sich an der höchsten auftretenden Potenz orientiert. Die bzw. die sind demnach Differentielgleichungen 2. Ordnung, 1. Grades.
Weitere charakteristische Kenngrößen einer Differentialgleichung findest Du hier.

Lösungsweg für homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung

Am Beispiel der beschleunigten Bewegung unter Reibungseinfluss nach STOKES lösen wir die homogene Differentialgleichung nach der Methode der Trennung der Variablen, deshalb ersetzen wir die abgeleiteten Variablen durch ihre Differentialquotienten:

()

Wir wissen (siehe Bücherstapel), dass in diesem speziellen Fall die Trennung der Variablen gelingt. Was aber, wenn dies nicht der Fall ist? Es würde schon genügen, dass die Störung e nicht konstant, sondern zeitabhängig e(t) wäre.

Also lösen wir zunächst einmal die homogene DGl, d.h. wir setzen F_Wirk = 0.

Mit F_Wirk = 0 erhalten wir aus

()

Und daraus wieder durch Anwendung des Differentialquotienten:

()

Jetzt kann die Trennung der Variablen erfolgen:

()

Beachte, diese Stammfunktion wird ausnahmsweise anders integriert!

damit kann auf beiden Seiten der integriert werden:

()

und führt schließlich auf

()

on/off

Nun müssen wir die gefundene Lösung noch nach v umstellen. Die Umkehrfunktion des Logarithmus ist die Exponentialfunktion. Nach den Potenzgesetzen kann die Konstante C, die noch als Summand im Exponenten auftritt, auch als Exponent eines separaten Faktors der gleichen Basis geschrieben werden:

()

Da C eine Konstante ist, ist auch e^C eine Konstante. Also können wir e^C durch eine anders bezeichnete Konstante K ersetzen:

()

Üblicher Weise wird die Konstante K so bestimmt, dass die Bedingungen für die Anfangsgeschwindigkeit v₀ erfüllt werden. Doch das tun wir jetzt noch nicht, denn im nächsten Schritt wollen wir erst die inhomogene DGl lösen.

Lösungsweg für inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung

Eine spezielle Lösung ist bekannt

Insbesondere für physikalische Sachverhalte gibt es Zeitfunktionen, die aus der Anschauung oder energetischen Notwendigkeiten resultieren und der jeweiligen inhomogenen Differentialgleichung genügen. D.h. diese Zeitfunktionen stellen eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung dar. Da sie aber nur für den einen Fall (z.B. Wirkung der Gravitation oder eine sinusförmige Anregung) der inhomogenen DGl genügen, werden solche Lösungen als spezielle oder partikuläre Lösungen bezeichnet.
Während die homogene Lösung der DGl. das Eigenverhalten des untersuchten Systems beschreibt, weil eben keine Störfunktion vorliegt, stellt die partikuläre Lösung die Systemantwort auf genau die wirkende Störfunktion dar.
Nach dem Überlagerungssatz zur Gewinnung der allgemeinen Lösung werden die homogene und partikuläre(n) Lösung(en) der Differentialgleichung durch Addition (Überlagerung oder Superposition) beider Lösungen, der homogenenund der partikulärer Lösung, zusammengeführt. Als Beispiel für eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Variablen y.

()

y (t) = y_{h} (t) + y_{p} (t)

Es sei hier noch angefügt, dass die allgemeine Lösung erst dann vollständig ist, wenn ebenso viele partikuläre Lösungen gefunden sind wie die Ordnung der Differentialgleichung besagt.

Nehmen wir als Beispiel den Fall einer Kugel in einem hochviskosen Medium. Dann gilt das Reibungsgesetz nach STOKES und die beschreibende DGl folgt aus dem Kräftegleichgewicht:

()

Daraus folgt eine inhomogene DGl 2. Ordnung, 1. Grades:

()

- m \cdot g = m \cdot \overset{\cdot \cdot}{y} + 6 π \cdot η \cdot R \cdot \overset{\cdot}{y}

In diesem Beispiel stellt die Gravitation die "Störgröße" dar. Der Einfachheit halber ersetzen wir den Faktor

6 π \cdot η \cdot R

durch die Reibungszahl r. Damit lautet die Differentialgleichung jetzt:

()

- m \cdot g = m \cdot \overset{\cdot \cdot}{y} + r \cdot \overset{\cdot}{y}

Erfreulicher Weise können wir durch geeignete Substitution (

\overset{\cdot}{y} = v

) die DGl 2. Ordnung auf eine DGl 1. Ordnung reduzieren. Das bedeutet, wir benötigen nur eine partikuläre Lösung für eine allgemeine Lösung der inhomogenen DGl!

Die nächsten Schritte sind: Division auf beiden Seiten der wird durch m und Umstellen nach

\overset{\cdot \cdot}{y} = \overset{\cdot}{v}

()

so erhalten wir nach Ableitungen geordnet die inhomogene Differentialgleichung der Fallbewegung.
Nun wird die homogene DGl:

()

gelöst. Vereinfachen wir noch durch die Einführung des Quotienten

τ = \frac{m}{r}

. Er hat die Maßeinheit [Zeit].
Die Lösung dieser Differentialgleichung wurde im Kapitel STOKESsche Reibung ohne Gravitationseinfluss bereits ermittelt (). Sie lautet:

()

v_{h} = C \cdot e^{- \frac{t}{τ}}

Eine spezielle Lösung für die inhomogene DGl ergibt sich aus der Tatsache, dass die beschleunigte Bewegung eines Körpers infolge der Gravitation in einem zähen Medium nach einer gewissen Zeit in eine gleichförmige Bewegung übergeht. Das liegt daran, dass ab einer bestimmten Geschwindigkeit die Energie, die durch den Höhenverlust freigesetzt wird (potentielle Energie) vollständig in Wärme umgesetzt wird, so dass kein Zuwachs an kinetischer Energie mehr möglich ist. Theoretisch wird dieser Zustand erst nach unendlich langer Zeit, praktisch aber viel früher erreicht. So wird diese finale Geschwindigkeit Endgeschwindigkeit v_∞ genannt. Damit ist uns eine spezielle (oder auch partikuläre) Lösung bekannt, nämlich

()

v_{p} (t) = v_{\infty} = const

Jetzt wird deutlich, warum diese Lösungen speziell genannt werden. Nun, weil sie eben genau auf diese Art einer konstanten Störung zugeschnitten ist. Andere Störfunktionen verlangen nach anderen speziellen Lösungen!

Prüfen wir, ob diese partikuläre Lösung auch die inhomogene DGl befriedigt. Dazu bilden wir von die erste Ableitung und setzen diese wie auch die Lösung selbst in ein. Das führt auf

()

- m \cdot g = 0 + r \cdot v_{\infty}

womit wir den Wert für v_∞ bestimmen können.

()

v_{\infty} = - \frac{m}{r} \cdot g = - τ \cdot g

Gemäß lautet nun die allgemeine Lösung der inhomogenen DGl

()

v (t) = C \cdot e^{- \frac{t}{τ}} - τ \cdot g

Mit der Anfangsbedingung v(t=0)=v₀ kann nun auch die Integrationskonstante C bestimmt werden:

()

v (t = 0) = v_{0} = C - τ \cdot g

woraus folgt

()

C = v_{0} + τ \cdot g

einsetzen in

()

v (t) = (v_{0} + τ \cdot g) \cdot e^{- \frac{t}{τ}} - τ \cdot g

oder

()

v (t) = v_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} - τ \cdot g \cdot (1 - e^{- \frac{t}{τ}})

Interpretation: Nach großen Zeiten t geht in die einer gleichförmigen Bewegung über. Die Wirkung der Startgeschwindigkeit v₀ verliert sich exponentiell ().

Überlagerung der homogenen mit der inhomogenen Lösung

Abb. Überlagerung von homogener und spezieller zur allgemeinen Lösung

Die zweite Integration, die zur gesuchten Orts-Zeit-Funktion führt, wird auf die bekannte Weise durch Trennung der Variablen ausgeführt ().

Methode der Variation der Konstanten

Ist keine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bekannt, gibt es eine weitere Lösungsmöglichkeit. Das ist die von LAGRANGE entwickelte Methode der Variation der Konstanten für lineare gewöhnliche Differentialgleichungen. Hier wird ausgehend von der homogenen Lösung der Differentialgleichung die Integrationskonstante K = K(t) (im Widerspruch zu ihrer Bezeichnung) als Zeitvariable angesehen.

Auch hier nehmen wir die obige Aufgabe als Lösungsbeispiel. Für die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung gehen wir wieder vom Kräftegleichgewicht () aus. Im Ergebnis erhalten wir die inhomogene Differentialgleichung der Fallbewegung ().
Die weiteren Schritte folgen dem Lagrangeschen Rezept. Zunächst wird wieder die homogene DGl () gelöst. Nun kommt der Trick! Die homogene Lösung mit der nunmehr variablen Konstante C = K(t) soll eine Lösung der inhomogenen DGl sein...

()

...das wird im nächsten Schritt geprüft. Inwieweit kann diese Lösung die ursprüngliche, also die inhomogene DGl, erfüllen? Dazu müssen wir die modifizierte Lösung der homogene DGl in die inhomogene DGl einsetzen. Die erste Ableitung der Geschwindigkeit v erhalten wir durch Differentiation des Ausdrucks für die Geschwindigkeit nach der Produktregel:

()

Einsetzen in ergibt

()

Wir sehen, dass die Ausdrücke

- 1 ∕ τ \cdot K \cdot \exp ((- t ∕ τ))

auf beiden Seiten gestrichen werden können. Und es bleibt

()

stellt nun selbst eine Differentialgleichung dar, die aber nach der Methode Trennung der Variablen gelöst werden kann:

()

beidseitiges Erweitern mit dt

()

Die Integration erfolgt entsprechend der Integrationsregeln und führt auf:

()

also

()

Nach Einsetzen in erhalten wir:

()

Ausmultiplizieren

()

jetzt noch die Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit einarbeiten! Für t = 0 gilt v = v₀:

()

somit erhalten wir

()

Ausmultiplizieren und sortieren ergibt die vollständige Lösung für die Geschwindigkeit eines in einem Medium fallenden Körpers:

()

Interpretation: der erste Summand in beschreibt das Eigenverhalten des Systems nach dem Start der Bewegung. Er verschwindet mit der Zeit, weil die kinetische Energie, die der Körper durch die Startgeschwindigkeit v₀ zu Beginn der Bewegung hatte, durch die Reibung aufgebraucht wird. Wie schnell, bestimmt wieder die Zeitkonstante. Hingegen zeigt der zweite Summand den Einfluss der Störung, also der Schwerkraft G, auf die Bewegung des Objektes. Der Einfluss des 2. Summanden wächst im gleichen Maße, wie der Einfluss des 1. Summenden schwindet! Und wir sehen, dass nicht wie beim freien Fall die Erdbeschleunigungskonstante g, sondern ein gewichteter Beschleunigungsterm wirkt, der nach Ablauf des Ausklingens des Eigenverhaltens zu einer begrenzten, konstanten Geschwindigkeit v_∞=-g·τ führt ().

Wie der Vergleich mit zeigt, führen beide Lösungswege zum selben Ergebnis.

Führen wir noch die zweite Integration zur Bestimmung der Ortskoordinate über der Zeit durch, wird in bewährter Weise nach Trennung der Variablen in die Ortsfunktion y(t) ermittelt:

()

Nach erfolgter 2. Integration wird die Anfangsbedingung für den Ort eingearbeitet. Für t = 0 gilt y = h:

()

Abb. Bewegungsverlauf über der Zeit