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Analytische Lösung von Differential­gleichungen

Alle Themen in diesem Kapitel:
Eine analytische Lösung von Differentialgleichungen bedeutet, dass das Ergebnis der Lösung eine Formel ist, die das zeitliche Verhalten des durch die Differentialgleichung charakterisierte System beschreibt. Dabei können nachträglich Rahmenbedingungen (wie z.B. Startgeschwindigkeit oder -ort eines Objektes) konkretisiert werden. Im Gegensatz dazu steht die numerische Lösung, die für gegebnene konkrete Rahmenbedingungen Zahlenwerte liefert. Diese beschreiben eine Bewegung für die gegebenen konkreten Rahmenbedingungen. In der Theorie der Differentialgleichungen (DGl) werden inhomogene und homogene Differentialgleichungen unterschieden. In der Regel wird eine Differentialgleichung so aufgeschrieben, dass auf der einen Seite der Gleichung alle Ableitungen der gesuchten Variablen in absteigender Ordnung (Anzahl der Ableitungen) sortiert aufgeführt werden. Terme, die diese Variable in beliebiger Form nicht enthalten, werden auf der anderen Seite notiert. Im Beispiel rechts befinden sich die Ableitungen der Variablen auf der linken Seite, alle anderen Ausdrücke auf der rechten.

Eine inhomogene DGl liegt vor, wenn der Ausdruck auf der rechten Seite e(t) ≠ 0 ist:
()
Formel

mit e(t) wird eine zeitabhängige oder auch konstante Störung des Systems bezeichnet. Zum Beispiel wäre die sinusförmige Anregung im Kapitel Feder-Masse-System mit periodischer Anregung eine Zeit abhängige Störung des Feder-Masse-Systems. Oder als Beispiel für eine konstante Störung wäre das Feder-Masse-System unter Gravitationseinfluss anzuführen.

Homogen ist dann im Gegenschluss eine DGl, wenn e(t) = 0 ist:
()
Formel

Diese DGl beschreibt ein System, dass sich selbst überlassen, also ungestört, ist. Damit medelliert die homogene DGl das Eigenverhalten des Systems. In den für unsere Zwecke wichtigen Anwendungsfällen wird wohl die inhomogene Differentialgleichung am häufigsten anzutreffen sein, aber auch der homogene Fall hat seine Berechtigung - umso mehr, als die Lösung der homogenen DGl oftmals die Voraussetzung für die Lösung der inhomogenen DGl ist.

Neben der Ordnung einer DGl, die sich an der höchsten Ableitung der DGl orientiert, gibt es noch den Begriff des Grades einer DGl, der sich an der höchsten auftretenden Potenz orientiert. Die bzw. die sind demnach Differentielgleichungen 2. Ordnung, 1. Grades.
Weitere charakteristische Kenngrößen einer Differentialgleichung findest Du hier.

Lösungsweg für homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung

Am Beispiel der beschleunigten Bewegung unter Reibungseinfluss nach STOKES lösen wir die homogene Differentialgleichung nach der Methode der Trennung der Variablen, deshalb ersetzen wir die abgeleiteten Variablen durch ihre Differentialquotienten:
()
Formel
Wir wissen (siehe Bücherstapel), dass in diesem speziellen Fall die Trennung der Variablen gelingt. Was aber, wenn dies nicht der Fall ist? Es würde schon genügen, dass die Störung e nicht konstant, sondern zeitabhängig e(t) wäre.

Also lösen wir zunächst einmal die homogene DGl, d.h. wir setzen FWirk = 0.
step by step explanation
Mit FWirk = 0 erhalten wir aus
()
Formel
Und daraus wieder durch Anwendung des Differentialquotienten:
()
Formel
Jetzt kann die Trennung der Variablen erfolgen:
()
Formel
damit kann auf beiden Seiten der integriert werden:
()
Formel
und führt schließlich auf
()
Formel
Geistesblitz
on/off

Nun müssen wir die gefundene Lösung noch nach v umstellen. Die Umkehrfunktion des Logarithmus ist die Exponentialfunktion. Nach den Potenzgesetzen kann die Konstante C, die noch als Summand im Exponenten auftritt, auch als Exponent eines separaten Faktors der gleichen Basis geschrieben werden:
()
Formel
Da C eine Konstante ist, ist auch eC eine Konstante. Also können wir eC durch eine anders bezeichnete Konstante K ersetzen:
()
Formel
Üblicher Weise wird die Konstante K so bestimmt, dass die Bedingungen für die Anfangsgeschwindigkeit v0 erfüllt werden. Doch das tun wir jetzt noch nicht, denn im nächsten Schritt wollen wir erst die inhomogene DGl lösen.

Lösungsweg für inhomogene Differential­gleichungen 1. Ordnung

Einer der bekannten Lösungswege ist die von LAGRANGE entwickelte Methode der Variation der Konstanten für lineare gewöhnliche Differentialgleichungen. Hier wird ausgehend von der homogenen Lösung der Differentialgleichung die Integrationskonstante K (im Widerspruch zu ihrer Bezeichnung) als Zeitvariable angesehen. Für die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung gehen wir wieder vom Kräftegleichgewicht () aus:
()
Formel
Im folgenden Beispiel soll die Gravitation als "Störgröße" dienen. Damit lautet die Differentialgleichung:
()
Formel
Auf beiden Seiten der wird durch m dividiert. Stellen wir noch nach y · · = v · um:
()
Formel
so erhalten wir die inhomogene Differentialgleichung der Fallbewegung.
Die weiteren Schritte folgen dem Lagrangeschen Rezept. Zunächst wird die homogene DGl:
()
Formel
gelöst. Vereinfachen wir noch durch die Einführung des Quotienten τ = m r . Er hat die Maßeinheit [Zeit].
Die Lösung dieser Differentialgleichung wurde im Kapitel STOKESsche Reibung ohne Gravitationseinfluss bereits ermittelt (). Sie lautet:
()
Formel
Nun kommt der Trick! Die Konstante K wird als Variable betrachtet:
()
Formel
Im nächsten Schritt wird geprüft, inwieweit diese Lösung die ursprüngliche, also die inhomogene DGl, erfüllen kann. Dazu müssen wir die modifizierte Lösung der homogene DGl in die inhomogene DGl einsetzen. Die erste Ableitung der Geschwindigkeit v erhalten wir durch Differentiation des Ausdrucks für die Geschwindigkeit nach der Produktregel:
()
Formel
Einsetzen in ergibt
()
Formel
Wir sehen, dass die Ausdrücke 1 τ · K · exp (− t τ) auf beiden Seiten gestrichen werden können. Und es bleibt
()
Formel
stellt nun selbst eine Differentialgleichung dar, die aber nach der Methode Trennung der Variablen gelöst werden kann:
()
Formel
beidseitiges Erweitern mit dt
()
Formel
Die Integration erfolgt entsprechend der Integrationsregeln und führt auf:
()
Formel
also
()
Formel
Nach Einsetzen in erhalten wir:
()
Formel
Ausmultiplizieren
()
Formel
jetzt noch die Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit einarbeiten! Für t = 0 gilt v = v0:
()
Formel
somit erhalten wir
()
Formel
Ausmultiplizieren und sortieren ergibt die vollständige Lösung für die Geschwindigkeit eines in einem Medium fallenden Körpers:
()
Formel


Interpretation: der erste Summand in beschreibt das Eigenverhalten des Systems nach dem Start der Bewegung. Er verschwindet mit der Zeit, weil die kinetische Energie, die der Körper durch die Startgeschwindigkeit v0 zu Beginn der Bewegung hatte, durch die Reibung aufgebraucht wird. Wie schnell, bestimmt wieder die Zeitkonstante. Hingegen zeigt der zweite Summand den Einfluss der Störung, also der Schwerkraft G, auf die Bewegung des Objektes. Der Einfluss des 2. Summanden wächst im gleichen Maße, wie der Einfluss des 1. Summenden schwindet! Und wir sehen, dass nicht wie beim freien Fall die Erdbeschleunigungskonstante g, sondern ein gewichteter Beschleunigungsterm wirkt, der nach Ablauf des Ausklingens des Eigenverhaltens zu einer begrenzten, konstanten Geschwindigkeit v=-g·τ führt ().

Überlagerung der <span class=homogenen mit der inhomogenen Lösung">

Abb. Überlagerung der homogenen mit der inhomogenen Lösung



Die zweite Integration zur Bestimmung der Ortskoordinate über der Zeit wird in bewährter Weise nach Trennung der Variablen in ausgeführt:
()
Formel
Nach erfolgter Integration wird die Anfangsbedingung für den Ort eingearbeitet. Für t = 0 gilt y = h:
()
Formel


Interpretation: Nach großen Zeiten t geht in die einer gleichförmigen Bewegung über. Die Wirkung der Startgeschwindigkeit v0 verliert sich exponentiell ().

Bewegungsverlauf über der Zeit

Abb. Bewegungsverlauf über der Zeit